理论力学第7版第十三章达朗贝尔定理.ppt

第十三章第十三章 动能定理动能定理1. 1. 常力在直线运动中的功常力在直线运动中的功常力在直线运动中的功常力在直线运动中的功: :单位单位单位单位: : J J（（（（焦耳）焦耳）焦耳）焦耳） 1 J = 1 N·m 1 J = 1 N·m 力的功力的功——是力沿路程累积效应的度量是力沿路程累积效应的度量力的功是代数量　　时力的功是代数量　　时力的功是代数量　　时力的功是代数量　　时, ,正功；　　时正功；　　时正功；　　时正功；　　时, ,功为零；　　功为零；　　功为零；　　功为零；　　时时时时, ,负功 13-1 13-1 力的功力的功元功元功元功元功2. 2. 变力在曲线运动中的功变力在曲线运动中的功变力在曲线运动中的功变力在曲线运动中的功: :令：令：力力力力 在在在在 路程上的功：路程上的功：路程上的功：路程上的功：（自然形式）（自然形式）（自然形式）（自然形式）（矢量式）（矢量式）（矢量式）（矢量式）（直角坐标式）（直角坐标式）（直角坐标式）（直角坐标式）1)1)、重力的功、重力的功、重力的功、重力的功质点系质点系质点系质点系: :由由由由重力的功只与始、末位置有关，与路径无关。

重力的功只与始、末位置有关，与路径无关重力的功只与始、末位置有关，与路径无关重力的功只与始、末位置有关，与路径无关3. 常见力的功常见力的功质点：质点：质点：质点：重力在三轴上的投影：重力在三轴上的投影：2 2 2、弹性力的功、弹性力的功、弹性力的功、弹性力的功、弹性力的功、弹性力的功k k————弹簧刚度系数弹簧刚度系数弹簧刚度系数弹簧刚度系数 (N/m)(N/m)弹性力：弹性力：弹性力：弹性力：弹性力的功：弹性力的功：弹性力的功：弹性力的功：因因因因式中式中式中式中即即即即 弹性力的功只与弹弹性力的功只与弹弹性力的功只与弹弹性力的功只与弹簧在初始和末了位置簧在初始和末了位置簧在初始和末了位置簧在初始和末了位置的变形有关，与作用的变形有关，与作用的变形有关，与作用的变形有关，与作用点路径无关点路径无关点路径无关点路径无关3. 3. 3. 定轴转动刚体上作用力的功定轴转动刚体上作用力的功定轴转动刚体上作用力的功定轴转动刚体上作用力的功定轴转动刚体上作用力的功定轴转动刚体上作用力的功若若若若 常量常量常量常量从角从角从角从角 转动到角转动到角转动到角转动到角 过程中力过程中力过程中力过程中力 的功为：的功为：的功为：的功为：同样适用于刚体上作同样适用于刚体上作同样适用于刚体上作同样适用于刚体上作用一力偶所作的功。

用一力偶所作的功用一力偶所作的功用一力偶所作的功当质心由当质心由当质心由当质心由 ，转角由，转角由，转角由，转角由 时，力系的功：时，力系的功：时，力系的功：时，力系的功：平面运动刚体上力系的功，等于力系向质心简平面运动刚体上力系的功，等于力系向质心简平面运动刚体上力系的功，等于力系向质心简平面运动刚体上力系的功，等于力系向质心简化所得的力和力偶作功之和化所得的力和力偶作功之和化所得的力和力偶作功之和化所得的力和力偶作功之和说明：说明：说明：说明：1 1、对任何运动的刚体，上述结论都适用；、对任何运动的刚体，上述结论都适用；、对任何运动的刚体，上述结论都适用；、对任何运动的刚体，上述结论都适用； 2 2、、、、C C点为刚体上任意一点，上述结论仍成立；点为刚体上任意一点，上述结论仍成立；点为刚体上任意一点，上述结论仍成立；点为刚体上任意一点，上述结论仍成立； 3 3、计算力系的主矢、主矩时，不作功的力可、计算力系的主矢、主矩时，不作功的力可、计算力系的主矢、主矩时，不作功的力可、计算力系的主矢、主矩时，不作功的力可 不考虑。

不考虑 4. 4. 平面运动刚体上力系的功平面运动刚体上力系的功平面运动刚体上力系的功平面运动刚体上力系的功例：例：图示弹簧原长图示弹簧原长l=100mm，刚性系，刚性系数数k=4.9KN/m,一端固定在点一端固定在点O，此点，此点在半径为在半径为R=100mm的圆周上如弹簧的圆周上如弹簧的另一端由点的另一端由点B拉至点拉至点A和由点和由点A拉至拉至点点D，，AC垂直垂直BC，，OA和和BD为直径分别计算弹簧力所作的功分别计算弹簧力所作的功COABD解：解：对于弹簧作功：对于弹簧作功：（（m m））（（m m））（（m m））（（m m））2 2、质点系的动能、质点系的动能、质点系的动能、质点系的动能1 1、质点的动能、质点的动能、质点的动能、质点的动能 单位：单位：单位：单位：J J（（（（焦耳）焦耳）焦耳）焦耳）瞬时值瞬时值瞬时值瞬时值, ,与速度方向无关的正标量与速度方向无关的正标量与速度方向无关的正标量与速度方向无关的正标量1 1）平移刚体的动能）平移刚体的动能）平移刚体的动能）平移刚体的动能 即即即即 （（（（2 2）定轴转动刚体的动能）定轴转动刚体的动能）定轴转动刚体的动能）定轴转动刚体的动能 即即即即 13-2 13-2 质点和质点系的动能质点和质点系的动能 平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能 与绕质心转动的动能之和。

与绕质心转动的动能之和与绕质心转动的动能之和与绕质心转动的动能之和速度瞬心：速度瞬心：速度瞬心：速度瞬心：P P（（（（3 3）平面运动刚体的动能）平面运动刚体的动能）平面运动刚体的动能）平面运动刚体的动能上面结论也适用于刚体的任意运动上面结论也适用于刚体的任意运动上面结论也适用于刚体的任意运动上面结论也适用于刚体的任意运动[ [ 习题习题习题习题 P314 13-4 P314 13-4 ] ]两端乘两端乘 ，，1 1、质点的动能定理、质点的动能定理、质点的动能定理、质点的动能定理质点动能的增量等于作用在质点上力的元功质点动能的增量等于作用在质点上力的元功质点动能的增量等于作用在质点上力的元功质点动能的增量等于作用在质点上力的元功————质点动能定理质点动能定理质点动能定理质点动能定理 的微分形式的微分形式的微分形式的微分形式在质点运动的某个过程中，质点动能的改变量等于作在质点运动的某个过程中，质点动能的改变量等于作在质点运动的某个过程中，质点动能的改变量等于作在质点运动的某个过程中，质点动能的改变量等于作用于质点的力作的功。

用于质点的力作的功用于质点的力作的功用于质点的力作的功————质点动能定理质点动能定理质点动能定理质点动能定理 的积分形式的积分形式的积分形式的积分形式13-3 13-3 动能定理动能定理2 2、质点系的动能定理、质点系的动能定理、质点系的动能定理、质点系的动能定理质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所作的质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所作的质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所作的质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所作的元功的和元功的和元功的和元功的和 求和求和求和求和————质点系动能定质点系动能定质点系动能定质点系动能定 理微分形式理微分形式理微分形式理微分形式质点系在某一段运动过程中，起点和终点的动能改变量，质点系在某一段运动过程中，起点和终点的动能改变量，质点系在某一段运动过程中，起点和终点的动能改变量，质点系在某一段运动过程中，起点和终点的动能改变量，等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和。

等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和————质点系动能定质点系动能定质点系动能定质点系动能定 理积分形式理积分形式理积分形式理积分形式3 3、理想约束、理想约束、理想约束、理想约束定义：约束力作功等于零的约束为定义：约束力作功等于零的约束为定义：约束力作功等于零的约束为定义：约束力作功等于零的约束为理想约束理想约束理想约束理想约束1 1）光滑固定面约束、活动铰支座、向心轴承）光滑固定面约束、活动铰支座、向心轴承）光滑固定面约束、活动铰支座、向心轴承）光滑固定面约束、活动铰支座、向心轴承、、一一一一 端固定的绳索类约束端固定的绳索类约束端固定的绳索类约束端固定的绳索类约束————力与位移垂直力与位移垂直力与位移垂直力与位移垂直2 2）固定铰支座、固定端约束）固定铰支座、固定端约束）固定铰支座、固定端约束）固定铰支座、固定端约束————位移为零位移为零位移为零位移为零3 3）光滑铰链、刚体二力杆、不可伸长绳索类约束）光滑铰链、刚体二力杆、不可伸长绳索类约束）光滑铰链、刚体二力杆、不可伸长绳索类约束）光滑铰链、刚体二力杆、不可伸长绳索类约束————约束反力成对出现，作功之和为零约束反力成对出现，作功之和为零约束反力成对出现，作功之和为零约束反力成对出现，作功之和为零4 4）不计滚动摩阻时，纯滚动（只滚不滑）的接触点）不计滚动摩阻时，纯滚动（只滚不滑）的接触点）不计滚动摩阻时，纯滚动（只滚不滑）的接触点）不计滚动摩阻时，纯滚动（只滚不滑）的接触点————无位移无位移无位移无位移 对理想约束，在动能定理中只计入主动力的功即可。

对理想约束，在动能定理中只计入主动力的功即可对理想约束，在动能定理中只计入主动力的功即可对理想约束，在动能定理中只计入主动力的功即可ll质点系质点系质点系质点系内力作功之和不一定等于零内力作功之和不一定等于零内力作功之和不一定等于零内力作功之和不一定等于零质点系内力作功问题：质点系内力作功问题：质点系内力作功问题：质点系内力作功问题：1）相互吸引或排斥的质点，两力作功和不为零相互吸引或排斥的质点，两力作功和不为零2）当力作用点有滑动摩擦时，滑动摩擦力与）当力作用点有滑动摩擦时，滑动摩擦力与 物体的相对位移相反，摩擦力作负功物体的相对位移相反，摩擦力作负功ll刚体（特殊的质点系）所有内力作功的和等于零刚体（特殊的质点系）所有内力作功的和等于零刚体（特殊的质点系）所有内力作功的和等于零刚体（特殊的质点系）所有内力作功的和等于零 [ [例例例例1]1] 已知：轮已知：轮已知：轮已知：轮OO的的的的R R11、、、、mm11, ,质量分布在轮缘上质量分布在轮缘上质量分布在轮缘上质量分布在轮缘上; ; 均质轮均质轮均质轮均质轮C C的的的的R R22、、、、mm22纯滚动纯滚动纯滚动纯滚动, , 初始静止初始静止初始静止初始静止 ; ;θ θ, , MM为常力偶。

为常力偶为常力偶为常力偶求：轮心求：轮心求：轮心求：轮心C C走过路程走过路程走过路程走过路程S S时的速度时的速度时的速度时的速度和加速度和加速度和加速度和加速度解：解：解：解：其中：其中：式式式式(a)(a)是函数关系式，两端对是函数关系式，两端对是函数关系式，两端对是函数关系式，两端对t t求导，求导，求导，求导，已知：轮已知：轮已知：轮已知：轮OO的的的的R R11、、、、mm11,; ,; 均质轮均质轮均质轮均质轮C C的的的的R R22、、、、mm22纯滚动纯滚动纯滚动纯滚动, , 初始静止初始静止初始静止初始静止 ; ;θ θ, , MM为常力偶为常力偶为常力偶为常力偶求：轮心求：轮心求：轮心求：轮心C C走过路程走过路程走过路程走过路程S S时的速度和加速度时的速度和加速度时的速度和加速度时的速度和加速度 [ [例例例例2]2] 冲击试验机冲击试验机冲击试验机冲击试验机mm=18kg , =18kg , l l=840mm, =840mm, 杆重不计，在杆重不计，在杆重不计，在杆重不计，在 时静止释放，冲断试件后摆至时静止释放，冲断试件后摆至时静止释放，冲断试件后摆至时静止释放，冲断试件后摆至求：冲断试件需用的能量求：冲断试件需用的能量求：冲断试件需用的能量求：冲断试件需用的能量冲断试件需要的能量为冲断试件需要的能量为冲断试件需要的能量为冲断试件需要的能量为解：解：解：解：设冲断试件所损失的能量为设冲断试件所损失的能量为设冲断试件所损失的能量为设冲断试件所损失的能量为WWKK[ [例例例例3]3] 行星齿轮传动机构行星齿轮传动机构行星齿轮传动机构行星齿轮传动机构, , 放在水平面内。

放在水平面内放在水平面内放在水平面内 动齿轮半径动齿轮半径动齿轮半径动齿轮半径r r , ,重重重重P P, , 视为均质圆盘；曲柄重视为均质圆盘；曲柄重视为均质圆盘；曲柄重视为均质圆盘；曲柄重Q Q, , 长长长长l l , , 作用一力偶作用一力偶作用一力偶作用一力偶, , 矩为矩为矩为矩为MM( (常量常量常量常量), ), 曲柄曲柄曲柄曲柄由静止开始转动；由静止开始转动；由静止开始转动；由静止开始转动； 求曲柄的角速度求曲柄的角速度求曲柄的角速度求曲柄的角速度 ( (以转角以转角以转角以转角    的函数表示的函数表示的函数表示的函数表示) ) 和角和角和角和角加速度解：取整个系统为研究对象解：取整个系统为研究对象解：取整个系统为研究对象解：取整个系统为研究对象根据动能定理，根据动能定理，根据动能定理，根据动能定理，将将将将式对式对式对式对t t 求导数，求导数，求导数，求导数，由由由由 ，得，得，得，得1 1、功率：、功率：、功率：、功率：功率等于切向力与力作用点速度的乘积。

功率等于切向力与力作用点速度的乘积功率等于切向力与力作用点速度的乘积功率等于切向力与力作用点速度的乘积 单位单位单位单位:W:W（（（（瓦特）瓦特）瓦特）瓦特）, ,千瓦（千瓦（千瓦（千瓦（千瓦（千瓦（kWkWkW），），），），），），1W=1J/S1W=1J/S作用在转动刚体上的力的功率作用在转动刚体上的力的功率作用在转动刚体上的力的功率作用在转动刚体上的力的功率: :——单位时间力所作的功单位时间力所作的功13-4 13-4 功率、功率方程、机械效率功率、功率方程、机械效率2 2、功率方程、功率方程、功率方程、功率方程 质点系动能对时间的一阶导数，等于作用于质点系动能对时间的一阶导数，等于作用于质点系动能对时间的一阶导数，等于作用于质点系动能对时间的一阶导数，等于作用于质点系的所有力的功率的代数和质点系的所有力的功率的代数和质点系的所有力的功率的代数和质点系的所有力的功率的代数和或或或或两端除以两端除以dt——功率方程功率方程3 3、机械效率、机械效率、机械效率、机械效率机械效率机械效率机械效率机械效率多级传动系统多级传动系统多级传动系统多级传动系统 表明机器对输入功率的有效利用程度。

是评定机表明机器对输入功率的有效利用程度是评定机器质量优劣的重要指标之一器质量优劣的重要指标之一对于有对于有n级传动的系统，总效率等于各级效率的连乘级传动的系统，总效率等于各级效率的连乘积  ＜１＜１)[ [例例例例1]1] 已知：车床电动机功率已知：车床电动机功率已知：车床电动机功率已知：车床电动机功率求：允许切削力求：允许切削力求：允许切削力求：允许切削力F F的最大值？若的最大值？若的最大值？若的最大值？若 ，问，问，问，问 允许的允许的允许的允许的F F的最大值的最大值的最大值的最大值解解解解: :当当当当当当当当[ [例例例例2]2] 已知已知已知已知 物块质量物块质量物块质量物块质量mm ；弹簧；弹簧；弹簧；弹簧原长原长原长原长 l l0 0 . .刚度系数刚度系数刚度系数刚度系数k k，，，，质量不计；质量不计；质量不计；质量不计；滑轮半径滑轮半径滑轮半径滑轮半径R R ，，，，转动惯量转动惯量转动惯量转动惯量J J求：系求：系求：系求：系统的运动微分方程。

统的运动微分方程统的运动微分方程统的运动微分方程解：解：解：解：令令令令 为弹簧静伸长，即为弹簧静伸长，即为弹簧静伸长，即为弹簧静伸长，即mg=k mg=k , ,以自然位置为参考点以自然位置为参考点以平衡位置为参考点以平衡位置为参考点1. 1. 势力场势力场势力场势力场势力场：势力场：势力场：势力场： 力场：力场：力场：力场： 若质点在某空间内的任何位置都受到一若质点在某空间内的任何位置都受到一若质点在某空间内的任何位置都受到一若质点在某空间内的任何位置都受到一个大小和方向完全由所在位置确定的力个大小和方向完全由所在位置确定的力个大小和方向完全由所在位置确定的力个大小和方向完全由所在位置确定的力的作用，则此空间称为的作用，则此空间称为的作用，则此空间称为的作用，则此空间称为力场力场力场力场　重力场、弹性力场、万有引力场都是势力场重力场、弹性力场、万有引力场都是势力场重力场、弹性力场、万有引力场都是势力场重力场、弹性力场、万有引力场都是势力场场力的功只与力作用点的始、末位置有关，场力的功只与力作用点的始、末位置有关，场力的功只与力作用点的始、末位置有关，场力的功只与力作用点的始、末位置有关，与路径无关。

与路径无关与路径无关与路径无关 质点在势力场中受到的场力称为质点在势力场中受到的场力称为质点在势力场中受到的场力称为质点在势力场中受到的场力称为有势力有势力有势力有势力( (保守力保守力保守力保守力) )如重力、弹力等如重力、弹力等如重力、弹力等如重力、弹力等13-5 13-5 势力场势力场. .势能势能. .机械能守恒定律机械能守恒定律（（（（1 1）重力场中的势能）重力场中的势能）重力场中的势能）重力场中的势能（（（（2 2）弹性力场的势能）弹性力场的势能）弹性力场的势能）弹性力场的势能2. 2. 势势势势 能能能能 在势力场中在势力场中在势力场中在势力场中, , 质点从位置质点从位置质点从位置质点从位置M M 运动到任选位置运动到任选位置运动到任选位置运动到任选位置MM0 0, , 有势力有势力有势力有势力所作的功称为所作的功称为所作的功称为所作的功称为质点在位置质点在位置质点在位置质点在位置M M 相对于位置相对于位置相对于位置相对于位置MM0 0的势能MM0 0作为基准位置，势能为零，称为作为基准位置，势能为零，称为作为基准位置，势能为零，称为作为基准位置，势能为零，称为零势能点零势能点零势能点零势能点。

势能具有相对性势能具有相对性势能具有相对性势能具有相对性取弹簧的自然位置为零势能点，取弹簧的自然位置为零势能点，取弹簧的自然位置为零势能点，取弹簧的自然位置为零势能点， 则有则有 （（（（3 3）万有引力场中的势能）万有引力场中的势能）万有引力场中的势能）万有引力场中的势能（零势能点）（零势能点）（零势能点）（零势能点）取零势能点在无穷远取零势能点在无穷远取零势能点在无穷远取零势能点在无穷远质点系的质点系的质点系的质点系的“ “零势能位置零势能位置零势能位置零势能位置” ”是各质点都处于其零是各质点都处于其零是各质点都处于其零是各质点都处于其零势能点的一组位置势能点的一组位置势能点的一组位置势能点的一组位置若质点系受到多个有势力的作用，各有势力可若质点系受到多个有势力的作用，各有势力可若质点系受到多个有势力的作用，各有势力可若质点系受到多个有势力的作用，各有势力可有各自的零势能点有各自的零势能点有各自的零势能点有各自的零势能点质点系在某位置的势能质点系在某位置的势能质点系在某位置的势能质点系在某位置的势能———— 质点系从某位置到其质点系从某位置到其质点系从某位置到其质点系从某位置到其“ “零势能位置零势能位置零势能位置零势能位置” ”的运动的运动的运动的运动过程中，各有势力作功的代数和。

过程中，各有势力作功的代数和过程中，各有势力作功的代数和过程中，各有势力作功的代数和[ [注注注注] ]：：：：例：已知均质杆例：已知均质杆例：已知均质杆例：已知均质杆l, ml, m，，，， 弹簧刚弹簧刚弹簧刚弹簧刚度度度度 k, ABk, AB水平时平衡，弹簧拉长水平时平衡，弹簧拉长水平时平衡，弹簧拉长水平时平衡，弹簧拉长变形变形变形变形 弹簧取自然位置弹簧取自然位置弹簧取自然位置弹簧取自然位置OO为零势能点为零势能点为零势能点为零势能点, ,重力以杆水平位置为零势能点重力以杆水平位置为零势能点重力以杆水平位置为零势能点重力以杆水平位置为零势能点: :取杆平衡位置为弹簧和杆的零势能点取杆平衡位置为弹簧和杆的零势能点取杆平衡位置为弹簧和杆的零势能点取杆平衡位置为弹簧和杆的零势能点: : （重力（重力（重力（重力- -弹力系统常采用）弹力系统常采用）弹力系统常采用）弹力系统常采用）系统平衡系统平衡质点系在势力场中运动质点系在势力场中运动质点系在势力场中运动质点系在势力场中运动, ,有势力功可通过势能计算有势力功可通过势能计算有势力功可通过势能计算有势力功可通过势能计算。

zxyM1M2M0（零势能点）（零势能点）（零势能点）（零势能点） 有势力所作的功等于质点有势力所作的功等于质点有势力所作的功等于质点有势力所作的功等于质点系在运动过程的初始与终了位系在运动过程的初始与终了位系在运动过程的初始与终了位系在运动过程的初始与终了位置的势能的差置的势能的差置的势能的差置的势能的差3. 3. 机械能守恒定律机械能守恒定律机械能守恒定律机械能守恒定律即：质点系即：质点系即：质点系即：质点系仅在有势力作用下仅在有势力作用下仅在有势力作用下仅在有势力作用下运动时，机械能守运动时，机械能守运动时，机械能守运动时，机械能守恒此系统称恒此系统称恒此系统称恒此系统称保守系统保守系统保守系统保守系统　　机械能：系统的动能与势能的代数和机械能：系统的动能与势能的代数和机械能：系统的动能与势能的代数和机械能：系统的动能与势能的代数和如质点系还受到非保守力的作用，则类系统称如质点系还受到非保守力的作用，则类系统称如质点系还受到非保守力的作用，则类系统称如质点系还受到非保守力的作用，则类系统称非非非非保守系统保守系统保守系统保守系统——非保守力的功非保守力的功非保守力的功非保守力的功卡住前卡住前卡住前卡住前 ：：：： 卡住时：卡住时：卡住时：卡住时：解：解：解：解：[ [例例例例] ] 已知：重物已知：重物已知：重物已知：重物mm=250kg, =250kg, 以以以以v v=0.5m/s=0.5m/s匀速下降，钢索匀速下降，钢索匀速下降，钢索匀速下降，钢索 k k=3.35× N/m=3.35× N/m，求，求，求，求: : 轮轮轮轮DD突然突然突然突然卡住时，钢索的最大张力。

卡住时，钢索的最大张力卡住时，钢索的最大张力卡住时，钢索的最大张力平衡）（平衡）（平衡）（平衡） 重物只受重力和弹力，重物只受重力和弹力，重物只受重力和弹力，重物只受重力和弹力，系统机械能守恒系统机械能守恒系统机械能守恒系统机械能守恒零势能点）（零势能点）（零势能点）（零势能点）即即即即由由由由 有有有有已知：重物已知：重物已知：重物已知：重物mm, , v v匀速下降，钢索匀速下降，钢索匀速下降，钢索匀速下降，钢索 k k，求，求，求，求: : 轮轮轮轮DD突然卡住时，钢索的突然卡住时，钢索的突然卡住时，钢索的突然卡住时，钢索的最大张力最大张力最大张力最大张力动量、动量矩动量、动量矩动量、动量矩动量、动量矩 动能动能动能动能矢量，有大小方向矢量，有大小方向矢量，有大小方向矢量，有大小方向只有外力能可使之改变（内力不可）只有外力能可使之改变（内力不可）只有外力能可使之改变（内力不可）只有外力能可使之改变（内力不可）约束力是外力时对之有影响。

约束力是外力时对之有影响约束力是外力时对之有影响约束力是外力时对之有影响不与能量相互转化不与能量相互转化不与能量相互转化不与能量相互转化应用时不考虑能量的转化与损失应用时不考虑能量的转化与损失应用时不考虑能量的转化与损失应用时不考虑能量的转化与损失当外力主矢为零时，系统动量当外力主矢为零时，系统动量当外力主矢为零时，系统动量当外力主矢为零时，系统动量 守恒守恒守恒守恒当外力对定点当外力对定点当外力对定点当外力对定点O O或质心的主矩为零时系统或质心的主矩为零时系统或质心的主矩为零时系统或质心的主矩为零时系统对定点或者质心的动量矩守恒对定点或者质心的动量矩守恒对定点或者质心的动量矩守恒对定点或者质心的动量矩守恒动量定理描述质心的运动变化动量定理描述质心的运动变化动量定理描述质心的运动变化动量定理描述质心的运动变化动量矩定理描述绕质心或绕定点的运动变动量矩定理描述绕质心或绕定点的运动变动量矩定理描述绕质心或绕定点的运动变动量矩定理描述绕质心或绕定点的运动变化非负的标量，与方向无关非负的标量，与方向无关非负的标量，与方向无关非负的标量，与方向无关内力作功时可以改变动能内力作功时可以改变动能内力作功时可以改变动能内力作功时可以改变动能理想约束不影响动能理想约束不影响动能理想约束不影响动能理想约束不影响动能只有作功可改变动能只有作功可改变动能只有作功可改变动能只有作功可改变动能可进行能量转化可进行能量转化可进行能量转化可进行能量转化应用时完全从功与能的观点出发应用时完全从功与能的观点出发应用时完全从功与能的观点出发应用时完全从功与能的观点出发在保守系中，机械能守恒在保守系中，机械能守恒在保守系中，机械能守恒在保守系中，机械能守恒动能定理描述质心运动及相对质心运动能定理描述质心运动及相对质心运动能定理描述质心运动及相对质心运动能定理描述质心运动及相对质心运动中动能的变化。

动中动能的变化动中动能的变化动中动能的变化13-6 13-6 普遍定理的综合应用普遍定理的综合应用[ [ 例例例例1]1] 已知已知已知已知 轮轮轮轮I I ：：：：MM，，，，r, r, mm11; ; 轮轮轮轮III :III :r r，，，，mm33; ; 轮轮轮轮II II ：：：：R R=2=2r r, , mm22; ;压力角为压力角为压力角为压力角为2020oo，，，，物块：物块：物块：物块：mmAA；；；；摩擦力不计求：摩擦力不计求：摩擦力不计求：摩擦力不计求：OO11 OO22处的约束力处的约束力处的约束力处的约束力其中其中其中其中解解解解: :其中其中其中其中MM研究研究研究研究 I I 轮轮轮轮压力角为压力角为压力角为压力角为研究物块研究物块研究物块研究物块AA研究研究研究研究IIII轮轮轮轮aA[ [例例例例2]2] 已知已知已知已知 mm，，，，R , k, CAR , k, CA=2=2R R为无重弹簧为无重弹簧为无重弹簧为无重弹簧原长，原长，原长，原长，MM为常力偶求：圆心为常力偶求：圆心为常力偶求：圆心为常力偶求：圆心C C 无初速无初速无初速无初速度由最低点到达最高点时，度由最低点到达最高点时，度由最低点到达最高点时，度由最低点到达最高点时，OO处约束力处约束力处约束力处约束力. .解：解：解：解：整个系统：整个系统：OO已知，已知，已知，已知，mm，，，，R, k, CAR, k, CA=2=2R R为弹簧原长，为弹簧原长，为弹簧原长，为弹簧原长，M M 为常力偶。

求：圆心为常力偶求：圆心为常力偶求：圆心为常力偶求：圆心 C C 无初速度由最低无初速度由最低无初速度由最低无初速度由最低点到达最高点时，点到达最高点时，点到达最高点时，点到达最高点时，O O 处约束力处约束力处约束力处约束力. .F研究轮研究轮C：：actacn质心运动定理：质心运动定理：解：解：解：解：( 1 )( 1 )动能定理：动能定理：mgatcancx xy y[ [例例例例3 ]3 ]均质杆均质杆均质杆均质杆ABAB，，，，l, ml, m, ,初始铅直静止，无摩擦初始铅直静止，无摩擦初始铅直静止，无摩擦初始铅直静止，无摩擦求：求：求：求：1)1) B B端未脱离墙时，摆至端未脱离墙时，摆至端未脱离墙时，摆至端未脱离墙时，摆至θ θ角位角位角位角位 置时的置时的置时的置时的　　　　 ，，，， , ,, ,F FBBxx , , F FBy By 2)2) B B端脱离瞬时的端脱离瞬时的端脱离瞬时的端脱离瞬时的θ θ1 1 , , 3) 3) 杆着地时的杆着地时的杆着地时的杆着地时的v vCC及及及及 22（（（（ 2 2 ）脱离瞬间时）脱离瞬间时）脱离瞬间时）脱离瞬间时脱离瞬时：脱离瞬时：脱离瞬时：脱离瞬时：已知：杆已知：杆已知：杆已知：杆ABAB，，，，l, ml, m, ,初始铅直静止，无摩擦初始铅直静止，无摩擦初始铅直静止，无摩擦初始铅直静止，无摩擦求：求：求：求：1)1)B B端未脱离墙时，摆至端未脱离墙时，摆至端未脱离墙时，摆至端未脱离墙时，摆至θ θ角位角位角位角位 置时的置时的置时的置时的　　　　 ，，，， , ,, ,F FBBxx , , F FBy By 2)2)B B端脱离瞬间的端脱离瞬间的端脱离瞬间的端脱离瞬间的θ θ１１１１, , 3)3)杆着地时的杆着地时的杆着地时的杆着地时的v vCC及及及及 22（（（（ 3 3 ））））脱离瞬间脱离瞬间脱离瞬间脱离瞬间————杆着地过程：杆着地过程：杆着地过程：杆着地过程：杆着地时：杆着地时：杆着地时：杆着地时：水平不受力水平不受力水平不受力水平不受力, , 故故故故水平方向动量守恒水平方向动量守恒水平方向动量守恒水平方向动量守恒v vc cx xy yv vB Bv vc cB Bv vB B在在在在yy轴上投影轴上投影轴上投影轴上投影::已知：杆已知：杆已知：杆已知：杆ABAB，，，，l, ml, m, ,初始铅直静止，无摩擦初始铅直静止，无摩擦初始铅直静止，无摩擦初始铅直静止，无摩擦求：求：求：求：1.1.B B端未脱离墙时，摆至端未脱离墙时，摆至端未脱离墙时，摆至端未脱离墙时，摆至θ θ角位角位角位角位 置时的置时的置时的置时的　　　　 ，，，， , ,, ,F FBBxx , , F FBy By 2. 2. B B端脱离瞬间的端脱离瞬间的端脱离瞬间的端脱离瞬间的θ θ１１１１, , 3.3.杆着地时的杆着地时的杆着地时的杆着地时的v vCC及及及及 22式中式中式中式中v vB Bv vcBcBv vB B由由由由铅直铅直铅直铅直————水平全过程：水平全过程：水平全过程：水平全过程：动能定理：动能定理：动能定理：动能定理：第十三章结束第十三章结束第第13章章 动能定理动能定理。