多值函数单值化方法与技巧.doc

多值函数的单值化方法与技巧多值函数wLnz的单值化方法与技巧1 前言在复变函数中，多值函数是较为复杂的函数，也是较难理解的函数，对于多值函数、多值函数单值化以及在支点、支割线判断上对于教课者和初学者来说都是一个难点，初学者更不易掌握．所以系统的对多值函数单值化方法与技巧做一下研究是很有必需的．我主若是针对多值函数wLnz的单值化方法与技巧来做一下详细研究与总结．多值函数对我们来说是棘手的，但是我们常常不行防备地会遇到它，比方在研究代数函数时就会遇到，但古人在这方面已做了详细的研究．对于多值函数wLnz的单值化方法与技巧．我们有一些传统的方法，比方割破z平面法．其主若是在z平面上从原点z0起割破负实轴的地域D内，可以获取wLnz的无量多个不一样的单值分析分支函数．下边就针对这个课题详细进行商讨一下．2 预备知识看法1支点——设wfz是多值函数，a是z平面上一点，假如z在a点的充分小的邻域内绕a的任一简单闭曲线一周后，wfz从一支进入另一支，即，从它在曲线上一点的任一值连续变动到其余一值，则称a是wfz的一个支点．看法２支割线——用来割破z平面，借以分出多值函数wfz的单值分析分支函数的割线，叫做fz的支割线．3 多值函数wLnz的单值化方法与技巧3.1割破平面法这个方法是很传统的方法，它的步骤是：第一确立多值函数的支点，再在复平面上以连接支点的曲线作支割线得一地域，而后在这一地域内多值函数分成了单值分析分支函数．wLnzlnziargz2kilnz2ki（kZ）．（i）此中，lnzlnziargz（lnz是Lnz的主值）(1) 确立wLnz的支点在0或的充分“小”的邻域内，任作一简单连续曲线C环绕0或．/1依据Argz的连续变化状况，当一点z从C上一点z1出发沿C连续变动一周时，Lnz从它在z1的任一值连续变动到其余一值．这可以由（i）式看出，（任何不是零的复数有无量多个对数，此中任意两个相差2的整数倍）．所以由预备知识看法1，0或称为对数函数wLnz的支点．(2) 对wLnz做支割线，确立地域一般在复平面上，取连接0及的任一条无界简单连续曲线K1作为割线分开z平面．即由预备知识看法2可知K1为支割线．w Lnz就是取这样的K1作为支割线的，且平时是取负实轴．此刻确立地域：设地域D1CK1，而且z1D1，则D1即为所确立地域．(3) 将wLnz单值化在D1内任意取定一点z0，并指定z0的一个辐角值，则在D1内的每一点z，皆可由z0的辐角依连续变化而独一确立z的辐角．若支割线从原点割破负实轴，C是D1内任一简单闭曲线，C不会穿过负实轴，它的内部不包含原点z0，当变点z从z0绕C一周后，这时argz又回到起点的辐角argz0，而z的像点wkwkzlnziargz2ki，（kZ）则画出一条闭曲线而回到本来的地址wkz0，（如图１）．画出的闭曲线是包含在w平面上的宽为2的带形域Bk内Bk：2k1v2k1,kZ这些带形域互不订交而填满w平面．所以，在D1内可获取的无量多个单值分析分支函数，记作wklnzklnziargz2k，（kZ）．同理，wLnz的支割线也可以取正实轴割破z平面，方法同上.2yvw平面z 平面wklnzkkZ3iB1．w1z0D1C．z0iB0Ｏ．z0uOxw0iB1．wz103i图1例１将函数Lnz沿正实轴（包含原点）割破z平面，试在所得地域D内取定函数Lnz在正实轴登岸的点z1处取ln12i的一个分析分支，并求这一分支在z1处的值及正实轴下岸的点z 1处的值（地域的界限可以看作是有不一样两岸，上、下或左、右，且同一单值分析分支在两岸所取的值不一样）．如图２yL1x－１Ｏ１L2图２3解因ln12i，从而arg12，所以取定的单值分析分支函数为lnzlnziArgzL2i，zD．(ArgzL表示Argz在曲线L上的改变量，以下同义)，在D内逆时针作以正实轴登岸的点z1为起点、分别以z1和正实轴下岸的点z1为终点的简单曲线L1和L2,则ArgzL，ArgzL2,12ln1ln1iArgzL12i3i，ln1下ln1iArgzL2i4i．2这里接下来简单介绍一下拥有多个有限支点的对数函数，方法不是很难理解的，与wLnz的单值化方法基真同样．它也是先确立函数的支点，只但是是有多个支点，再合适连接支点作支割线来割破z平面，最后在z平面上以此支割线为界限的地域D内就能分出该函数的单值分析分支．因为，在D内变点z不可以穿过支割线，也就不可以单独绕任一个支点转一周，函数就不可以在D内同一点取不一样的值．看以下例题例２试证Ln1z2在割去线段1,i,1,i，及射线x0,y1的地域内可拿出单值分支？并求z0时等于零的那一支在z2的值解(1)Ln1z2的支点为z1及因ln1z2ln1zln1z，当变点z单绕1或+1一周时,ln1z2的值就改变2i（沿正向）或2i（沿负向），即ln1z2从一支变为另一支；当变点z同绕+1及1一周时,ln1z2共改变4i（沿正向）或4i（沿负向），即ln1z2也从一支变为另一支．将z平面沿题中要求割破后（如图2），变点z既不可以单绕1或+1转一周，也不可以同绕1及+1转一周．于是，在这样割破了的z平面上任一地域D内，Ln1z2就能分出无量多个单值分析分支．(2)当z从z0沿D内一条简单曲线C变动到z2时，由图３4图３arg1z2Carg1z1zCarg1z0Carg1zC．已知此指定分支在z0的值为0，从而此初值的虚部为零，故由公式lnfz2lnfz2iargfzCiargfz1可知该分支在z2的值为ln1z2iln3i．z23.2给定某点函数值法多值函数wLnz有支点z0，z，合适割破z平面后（如沿着负实轴割破z平面，相当于限制z的辐角范围为：argz），多值函数wLnz可分出以下无量多个单值分析分支wklnzklnziargz2k（zD，kZ）（D为割破z平面后的地域），一般是采用从z0开始沿着z的射线来割破z平面，跟着割破z平面的射线采用不一样，z的辐角范围也不同样．于是，有下边在给定某点zz0函数值w wz0时，单值分析分支确立的详细方法：(1)确立z的辐角范围．设割破z平面的射线与x轴正向夹角为（02）则z的辐角范围为z:argz2(2)确立wLnz的带形地域为argw2，并由此得出argwz0的值5(3) 确立各个单值分析分支wk所在的带形：2kargwk2k1kZ并由2kargwz2k1kZ0来求出k值，从而可得所求单值分析分支．例3设wLnz是在沿上半虚轴割破了的z平面上，而且wi左3i（上半虚轴左岸i点2的值），现试在所得地域内取定函数Lnz在正实轴取正实值的一个分析分支，及求wi右的值．解所求的分析分支是lnziargz3argz．22这里3，于是23argz，则3argw．2222又因为wi左3i，所以argwi左，再由23232k2k1kZ，222解得k0故所求得单值分析分支为w0Lnzlnrziz2kkZ，于是wi右w0i右Lni右lni右iargi右0i．2例4设wLnz是在沿正实轴割破了的z平面上，而且w1i，现试在所得地域内取定函数Lnz在正实轴上沿取实值的一个分析分支，及求在正实轴下沿的值．解所求的的分析分支是lnziargz0arg。