单位圆与周期性.ppt

单位圆与周期性单位圆与周期性角 和角 的终边与单位圆的交点的纵坐标有什么关系? 　它们的正弦函数值有什么关系?相等相等相等相等xyr=1O角 和 角 呢? 角 和角 呢? 角 和角 呢? 由上述问题的讨论，不难得出：终边相同的角的正弦函数值相等，即          sin(2kπ+x)＝＝sinx  (k∈∈Z) 同理，对于余弦函数也有同样的结论：终边相同的角的余弦函数值相等，即 cos(2kπ+x)＝＝cosx  (k∈∈Z) 例如：－4π，－2π，2π，4π等都是它们的周期.2π是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为最小正周期．最小正周期． 上述两个等式说明：对于任意一个角x，每增加2π的整数倍，其正弦函数值、余弦函数值均不变．所以正弦函数值、余弦函数值均是随角的变化呈周期性变化的生活中有许多周期性变化的现象，例如，钟摆的摆心到铅垂线的距离随时间的变化呈周期性变化从而我们把自变量的变化呈周期性变化的函数叫作周期函数。

正弦函数、余弦函数正弦函数、余弦函数是周期函数周期函数，(备注：同学们回忆目前你学过那些类型的函数？)称2kπ (k∈Z,k≠0)为正弦函数、余弦函数的周期周期 一般地， 对于函数f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x值，都有f(x+T) =f(x) 我们就把f(x)称为周期函数周期函数，T称为这个函数的周期周期 一般地，对于周期函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫作f(x)的最小正周最小正周期期注意注意:(1)(1)只有个别只有个别x x的值满足，不能说是周期函数；的值满足，不能说是周期函数；(2)(2)自变量加上的常数才算周期，比如：自变量加上的常数才算周期，比如：f(2x+T)=f(2x)f(2x+T)=f(2x)，我们说，我们说f(2x)f(2x)是周期函数，但周是周期函数，但周期是期是T/2T/2；；(3)(3)如果如果f(x)f(x)是周期函数，是周期函数，T T为其周期，那么，为其周期，那么，x+kTx+kT也属于其定义域，也就是说，周期函也属于其定义域，也就是说，周期函数的定义域是一个无限集；数的定义域是一个无限集； (4)(4)对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，一般我们所说的周期都是指最小正周期。

事实上，如果一般我们所说的周期都是指最小正周期事实上，如果T T为周期，那么为周期，那么kT(k≠0)kT(k≠0)也是它的也是它的周期周期. .(5)(5)部分函数虽然是周期函数，但是没有最小正周期，例如部分函数虽然是周期函数，但是没有最小正周期，例如f(x)=c,(,(c为常数，为常数，x∈∈R).).(6)(6)定义域的变化会对函数的周期性长生一定的影响，例如定义域的变化会对函数的周期性长生一定的影响，例如f(x)=sinx,xf(x)=sinx,x ∈∈[0,10π]例题分析 例1（1）若函数f(x)的定义域为R，且对任意x ∈R,都有f(x+4)=f(x),则f(x)的周期是 （ ） （2）sinα= 1/3，则 sin(4π +α)=( )  例2已知函数f(x)是周期为4的奇函数，且当0≤x≤2时，f(x)=x2,求f(-2015)的值 正弦函数、余弦函数的一个重要性质是终边相同的角的正弦函数值、余弦函数值相终边相同的角的正弦函数值、余弦函数值相等等它是化简三角函数的一个重要公式。

　　周期性也是三角函数的一个重要性质，最小正周期最小正周期是它的主要特征。