复习目标 锐角三角函数课标要求1.理解锐角三角函数(sinA,cosA,tanA)的概念,知道30°,45°,60°角的锐角三角函数值;会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值,由已知三角函数值求它对应的锐角.2.运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题.高频考点1.锐角三角函数的概念,特殊角的三角函数值及其运算.2.解直角三角形及其实际应用.知识回顾重点解析探究拓展真题演练第二十五讲第二十六讲第二十七讲 复习目标考向分析结合近几年中考试题分析,锐角三角函数的内容考查主要有以下特点:1.命题方式为锐角三角函数的定义、性质的应用、特殊角三角函数值的求法,运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题,多以中、低档题出现.2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形,建立数学模型,然后用解直角三角形的知识解决问题知识回顾重点解析探究拓展真题演练第二十五讲第二十六讲第二十七讲 知识回顾一、锐角三角函数的概念与性质1.锐角三角函数的概念:在Rt△ABC中,∠C是直角,∠A、∠B、∠C的对边分别是a,b,c,如图.(1)sinA= = .(2)cosA= = .(3)tanA= = .复习目标重点解析探究拓展真题演练第二十五讲第二十六讲第二十七讲 知识回顾锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的 . ➡特别提示:(1)当∠A为锐角时,00.(2)锐角A的正弦、正切值均随着角度的增大而增大,余弦值随着角度的增大而减小.2.锐角三角函数的性质:(1)若∠A为锐角,则有sin(90°-A)= , cos(90°-A)= . (2)同角三角函数的关系:①平方关系:sin2A+cos2A= . ②商数关系: = . 复习目标重点解析探究拓展真题演练第二十五讲第二十六讲第二十七讲 知识回顾二、特殊角的三角函数值 α 30° 45°60°sinαcosαtanα三、解直角三角形1.直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即 和 . 在直角三角形中,由已知元素求 元素的过程,就是解直角三角形. 复习目标重点解析探究拓展真题演练第二十五讲第二十六讲第二十七讲 知识回顾2.在Rt△ABC中,∠C=90°,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边.在解直角三角形的过程中,常用的边角关系:(1)三边之间的关系: ; (2)两锐角之间的关系: ; (3)边角之间的关系：sinA= ,sinB= ,cosA= ,cosB= ,tanA= ,tanB= . 四、解直角三角形的应用1.解直角三角形的应用实际上是将实际问题通过图形使之转化到 中,用锐角三角函数、代数与几何知识综合求解. 复习目标重点解析探究拓展真题演练第二十五讲第二十六讲第二十七讲 知识回顾2.仰角和俯角:如图,在同一铅垂面内视线和水平线间的夹角,视线在水平线上方的叫做 ,在水平线下方的叫做 . 3.坡度(坡比)、坡角:通常把坡面的 和 的比叫坡度(或叫做坡比),用字母 表示;坡面与水平面的夹角叫做 ,记作α. 4.方位角:如图OA的方位角为 角;OC的方位角为 角. 复习目标重点解析探究拓展真题演练第二十五讲第二十六讲第二十七讲 知识回顾【答案】一、1.(1) (2) (3) 锐角三角函数2.(1)cosA sinA (2)①1 ②tanA二、 1 三、1.三条边 两个锐角 未知2.(1)a2+b2=c2 (2)∠A+∠B=90° (3) .四、1.直角三角形 2.仰角 俯角 3.铅直高度 水平宽度 i 坡角 4.北偏东60° 南偏西15° 复习目标重点解析探究拓展真题演练第二十五讲第二十六讲第二十七讲 重点解析知识考点01锐角三角函数的概念 在直角三角形中,已知一锐角的三角函数值,求其他三角函数值时,常用比值设k法,运用勾股定理与三角函数定义求得结果.例1 (2012·宁波)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=6,cosB=,则BC的长为( )A.4 B.2C. D. 复习目标知识回顾探究拓展真题演练第二十五讲第二十六讲第二十七讲 重点解析【思路点拨】 根据cosB= ,可得= = , 再把AB的长代入可以计算出CB的长.【自主解答】 ∵cosB= , ∴ = . ∵AB=6, ∴CB= ×6=4.【答案】 A 复习目标知识回顾探究拓展真题演练第二十五讲第二十六讲第二十七讲 重点解析1.(2012·内江)如图所示,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则sinA的值为( )A. B.C. D.【答案】 B复习目标知识回顾探究拓展真题演练第二十五讲第二十六讲第二十七讲 重点解析2.(2012·滨州)把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍,则锐角A的正弦函数值( )A.不变 B.缩小为原来的C.扩大为原来的3倍 D.不能确定【答案】 A3.(2011·福州质检)△ABC中,a、b、c分别是∠A,∠B,∠C的对边,如果a2+b2=c2,那么下列结论正确的是( )A.bcosB=c B.csinA=α C.atanA=b D.tanB=【答案】 B 复习目标知识回顾探究拓展真题演练第二十五讲第二十六讲第二十七讲 重点解析知识考点02特殊角的三角函数 熟记特殊角的三角函数值是解决此类题的关键,特殊角的三角函数值可借助于直角三角板,根据三角函数定义得出:例2 (2012·南昌)计算:sin30°+cos30°·tan60°.【思路点拨】 分别把各特殊角的三角函数值代入,再根据二次根 式混合运算的法则进行计算即可.【自主解答】 原式= + × = + =2. 复习目标知识回顾探究拓展真题演练第二十五讲第二十六讲第二十七讲 重点解析4.(2013·三明中考)计算:(-2)2+ -2sin30°.【解析】 原式=4+3-2× =4+3-1=6.5.计算(-2)2+tan45°-2cos60°.【解析】 原式=4+1-2× =4.6.(2010·龙岩中考)计算:(2010- )0+ -2tan45°+(-2)3.【解析】 原式=1+5-2+(-8)=-4. 复习目标知识回顾探究拓展真题演练第二十五讲第二十六讲第二十七讲 重点解析知识考点03解直角三角形及应用解直角三角形的几种类型如下:1.已知一条直角边和一个锐角(如a,∠A),其解法为:∠B=90°-∠A,c= ,b= (或b= );2.已知斜边和一个锐角(如c,∠A),其解法为:∠B=90°-∠A,a=c·sinA,b=c·cosA(或b= );3.已知两直角边(如a,b),其解法为:c= ,由tanA= 得∠A,∠B=90°-∠A;4.已知斜边和一直角边(如c,a),其解法为:b= , 由sinA= ,求出∠A,∠B=90°-∠A. 复习目标知识回顾探究拓展真题演练第二十五讲第二十六讲第二十七讲 重点解析例3 如图,在△ABC中,∠B=45°,∠C=60°,AB=8,求AC.【思路点拨】 作三角形的高AD,将原三角形转化为两个直角三角 形求解.【自主解答】 过点A作AD⊥BC于D,在Rt△ABD 中,∵∠B=45°,∴BD=AD=AB·sin45°=8× =4 . 在Rt△ACD中,AD=4 ,∠C=60°, ∴AC= = = . °复习目标知识回顾探究拓展真题演练第二十五讲第二十六讲第二十七讲 重点解析7.(2011·三明中考)如图,小亮在太阳光线与地面成35°角时,测得树AB在地面上的影长BC=18 m,则树高AB约为 m(结果精确到0.1 m). 【答案】 12.68.(2013·宁德质检)为响应节能环保号召,小明家打算安装一台太阳能发电装置,已知当地安装电池板的最佳角度为54°.如图,按最佳角度安装,若斜杆AB长为1.50 m,则垂直于地面的竖杆AC长应为 m.(结果精确到0.01 m) 【答案】 1.21 复习目标知识回顾探究拓展真题演练第二十五讲第二十六讲第二十七讲 重点解析知识考点04解直角三角形的实际应用 解直角三角形的应用题型主要有测量(测高求宽)问题,修路筑坝(坡度)问题和航海安全(方位角)问题等,解决问题的关键是构建直角三角形模型,把实际问题转化为数学问题来解决.例4 要测量学校一幢教学楼的高度.如图,先在点C测得教学楼AB的顶点A的仰角为30°,然后向教学楼前进60米到达点D,又测得点A的仰角为45°.请你根据这些数据,求出这幢教学楼的高度.(计算过程和结果均不取近似值)复习目标知识回顾探究拓展真题演练第二十五讲第二十六讲第二十七讲 重点解析【思路点拨】 Rt△ACB和Rt△DAB有公共边AB,分别在这两个三角形 中,用含AB的式子表示CB、DB,再根据CB-DB=CD=60 列方程,求出AB.【自主解答】 在Rt△DAB中,tan45°= =1, ∴DB=AB. 在Rt△CBA中,tan30°= = , ＝ . ∴ = ,∴3AB= AB+60 . ∴AB= = =30 +30(米). ∴这幢教学楼的高度为(30 +30)米.复习目标知识回顾探究拓展真题演练第二十五讲第二十六讲第二十七讲 重点解析9.(2011·漳州质检)为了测量河对岸大树AB的高度,九年级(1)班数学兴趣小组设计了如图所示的测量方案,并得到如下数据: 图1 图2(1)小明在大树底部点B的正对岸点C处,测得仰角∠ACB=30°;(2)小红沿河岸测得DC=30米,∠BDC=45°.(点B、C、D在同一平面内,且CD⊥BC)复习目标知识回顾探究拓展真题演练第二十五讲第二十六讲第二十七讲 重点解析请你根据以上数据,求大树AB的高度.(结果保留一位小数)(参考数据: ≈1.414, ≈1.732)【解析】 ∵∠CDB=45°,CD⊥BC,DC=30, ∴BC=CD=30. 在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°, tan∠ACB= , tan30°= , ∴AB=30tan30°=10 ≈17.32≈17.3(米) 答:大树AB的高约为17.3米. 复习目标知识回顾探究拓展真题演练第二十五讲第二十六讲第二十七讲 探究拓展方位角的应用 方位角是在规定“上北下南,左西右东”的原则下,确定物体的位置的一种方法;方位角往往与解直角三角形的知识联系在一起进行考查,当然有时也与行程问题中的方程联系在一起. 复习目标知识回顾重点解析真题演练第二十五讲第二十六讲第二十七讲 探究拓展例 如图,一艘轮船以每小时20海里的速度沿正北方向航行,在A处测得灯塔C在北偏西30°方向,轮船航行2小时后到达B处,在B处测得灯塔C在北偏西60°方向.当轮船到达灯塔C的正东方向的D处时,求此时轮船与灯塔C的距离.(结果保留根号) 复习目标知识回顾重点解析真题演练第二十五讲第二十六讲第二十七讲 探究拓展复习目标知识回顾重点解析真题演练第二十五讲第二十六讲第二十七讲 探究拓展复习目标知识回顾重点解析真题演练第二十五讲第二十六讲第二十七讲 探究拓展复习目标知识回顾重点解析真题演练第二十五讲第二十六讲第二十七讲 探究拓展复习目标知识回顾重点解析真题演练第二十五讲第二十六讲第二十七讲 探究拓展复习目标知识回顾重点解析真题演练第二十五讲第二十六讲第二十七讲 探究拓展复习目标知识回顾重点解析真题演练第二十五讲第二十六讲第二十七讲 真题演练复习目标知识回顾重点解析探究拓展第二十五讲第二十六讲第二十七讲 真题演练2.如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,已知CD=2,AC=3,则sinB的值是( )A. B. C. D.【解析】 选C.∵CD是直角三角形ACB斜边的中线, 且CD=2,∴AB=4.∵AC=3,∴sinB= .复习目标知识回顾重点解析探究拓展第二十五讲第二十六讲第二十七讲 真题演练复习目标知识回顾重点解析探究拓展第二十五讲第二十六讲第二十七讲 真题演练4.(2012·德阳)某时刻海上点P处有一客轮,测得灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向,且相距20海里.客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行小时到达B处,那么tan∠ABP=( )A. B.2C. D.【答案】 A复习目标知识回顾重点解析探究拓展第二十五讲第二十六讲第二十七讲 真题演练5.(2011·泉州质检)如图,点P(m,1)是双曲线y= 上的一点,PT⊥x轴于点T,把△PTO沿直线OP翻折得到△PT’O,则∠T’OT等于( )A.30° B.45°C.50° D.60°【答案】 D 复习目标知识回顾重点解析探究拓展第二十五讲第二十六讲第二十七讲 真题演练二、填空题(每小题6分,共24分)6.计算:sin60°·cos30°- = . 【解析】 原式= × - = .【答案】 复习目标知识回顾重点解析探究拓展第二十五讲第二十六讲第二十七讲 真题演练7.如图,将以A为直角顶点的等腰直角△ABC沿直线BC平移得到△A'B'C',使得B'与C重合,连接A'B,则tan∠A'BC'的值为 . 【解析】 过点A'作A'D⊥BC'于点D,可设BC=a, 则BD= a,A'D= ,∴在直角三角形A'BD中, tan∠A'BD= = = . 即tan∠A'BC'= .【答案】 复习目标知识回顾重点解析探究拓展第二十五讲第二十六讲第二十七讲 真题演练8.(2013·黔东南)将一副三角尺如图所示叠放在一起,则 的值是 . 【解析】 ∵∠BAC=∠ACD=90°,∴AB∥CD. ∴△ABE∽△DCE.∴ = . 在Rt△ACB中,∠B=45°,∴AB=AC. 在Rt△ACD中,∠D=30°,∴CD= = AC. ∴ = = .【答案】 复习目标知识回顾重点解析探究拓展第二十五讲第二十六讲第二十七讲 真题演练9.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图.其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线,∠ABC=150°,BC的长是8 m,则乘电梯从点B到点C上升的高度h是 . 【解析】 过点C作CE⊥AB,交AB的延长线于E点, ∠CBE=180°-150°=30°,在Rt△BCE中, CE= BC= ×8=4(m), 又CE=h,故h=4 m.【答案】 4 m复习目标知识回顾重点解析探究拓展第二十五讲第二十六讲第二十七讲 真题演练三、解答题(共46分)10.(10分)(1)(2012·达州)计算:(-2012)0+-4sin45°+( )-1;(2)(2012·阜新)计算: +(π-2012)0- cos45°.【解析】 (1)原式=1+2 -4× +2=1+2 -2 +2=3. (2) +(π-2012)0- cos45° =3+1- × =3. 复习目标知识回顾重点解析探究拓展第二十五讲第二十六讲第二十七讲 真题演练11.(12分)(2013·漳州中考)超速行驶是引发交通事故的主要原因之一.上周末,小辉和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速.如图,观测点设在A处,离胜利西路的距离(AC)为30米.这时,一辆小轿车由西向东匀速行驶,测得此车从B处行驶到C处所用的时间为8秒,∠BAC=75°.(1)求B、C两点的距离;复习目标知识回顾重点解析探究拓展第二十五讲第二十六讲第二十七讲 真题演练(2)请判断此车是否超过了胜利西路60千米/小时的限制速度?(计算时距离精确到1米,参考数据:sin75°≈0.9659,cos75°≈0.2588,tan75°≈3.732,≈1.732,60千米/小时≈16.7米/秒)【解析】 (1)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=75°,AC=30, ∴BC=AC·tan∠BAC=30×tan75°≈30×3.732≈112(米). (2)∵此车速度=112÷8=14(米/秒)<16.7(米/秒) =60(千米/小时) ∴此车没有超过限制速度.复习目标知识回顾重点解析探究拓展第二十五讲第二十六讲第二十七讲 真题演练12.(12分)(2012·漳州中考)极具特色的“八卦楼”(又称“威镇阁”)是漳州的标志性建筑,它建立在一座平台上.为了测量“八卦楼”的高度AB,小华在D处用高1.1米的测角仪CD,测得楼的顶端A的仰角为22°;再向前走63米到达F处,又测得楼的顶端A的仰角为39°(如图是他设计的平面示意图).已知平台的高度BH约为13米,请你求出“八卦楼”的高度约多少米?(参考数据:sin22°≈ ,tan22°≈ ,sin39°≈ ,tan39°≈ )复习目标知识回顾重点解析探究拓展第二十五讲第二十六讲第二十七讲 真题演练【解析】 在Rt△ACG中,tan22°= , ∴CG= AG. 在Rt△AEG中tan39°= , ∴EG= AG. ∵CG-EG=CE. ∴ AG- AG=63, ∴AG=50.4. ∵GH=CD=1.1,BH=13,∴BG=13-1.1=11.9. ∴AB=AG-BG=50.4-11.9=38.5. ∴“八卦楼”的高度约为38.5米.复习目标知识回顾重点解析探究拓展第二十五讲第二十六讲第二十七讲 真题演练【探究创新】13.(12分)如图(1),由直角三角形边角关系,可将三角形面积公式变形,得S△ABC=bc·sinA ①即三角形的面积等于两边之长与夹角正弦之积的一半.如图(2),在△ABC中,CD⊥AB于D,∠ACD=α,∠DCB=β.∵S△ABC=S△ADC+S△BDC,由公式①得, AC·BC·sin(α+β)= AC·CD·sinα+ BC·CD·sinβ,即AC·BC·sin(α+β)=AC·CD·sinα+BC·CD·sinβ ②你能利用直角三角形的边角关系,消去②中的AC、BC、CD吗?若不能,说明理由;若能,写出解答过程.复习目标知识回顾重点解析探究拓展第二十五讲第二十六讲第二十七讲 真题演练【解析】 能利用直角三角形的边角关系, 消去②中的AC、BC、CD. 在Rt△ACD中,cosα= , ∴CD=AC·cosα. 在Rt△BCD中,cosβ= , ∴CD=BC·cosβ, 把CD=AC·cosα,CD=BC·cosβ,代入②,得 AC·BC·sin(α+β)=AC·BC·sinα·cosβ+AC·BC·cosα·sinβ. 两边都除以AC·BC得sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ.复习目标知识回顾重点解析探究拓展第二十五讲第二十六讲第二十七讲 。
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