第4章点的运动和刚体基本运动习题解答080814概要.docx

第四章点的运动和刚体基本运动4本章要点一、点的运动1点运动位置的确定的三种方法i)矢量法：r=r(t);ii)直角坐标法：x=x(t),y=y(t),z=z(t);iii)弧坐标法(轨迹已知)：s=s(t).2点的速度与加速度的矢量表示+、dr、dvdr速度v=一，加速度a=-=—2dtdtdt3点的速度与加速度的直角坐标表示速度在各坐标轴上的投影为d x dtdydtdz dt速度的大小和方向余弦为cos(v,-2 2 2v = vx vy vzvx vyi)= , cos(v, j)=,v vcos(v,■、 vzk) =・v加速度在各坐标轴上的投影为dvxdtd2 x2 , ay dt2dvy d2y dvz , d2 zaz d2"dt dt2 dt dt2加速度的大小和方向余弦分别为a-,；,,；ax2a2a2k)=z.、ax,ayzcos(a,i)=——,cos(a,j)=——,cos(a,aa4点的速度与加速度的弧坐标表示点的速度切向加速度ds v =—dtdva =——Tdtd2 sdt22v法向加速度an=一n,pn表示主法线正向的单位矢量，指向曲率中其中°为切线单位矢量，指向弧坐标增加的方向;心（即指向曲线凹的一方）。

全加速度为a=ar+an全加速度a的大小和它与法线间夹角的正切分别为a=Ja2+a2,tg(a,n)=三an解题要领:1确定动点，根据题意是选择矢量法、直角坐标法还是弧坐标法，三种方法各有所长^2从点的运动方程出发求点的速度和加速度是对时间的求导运算；反之，也可以从加速度出发求速度和运动方程，或从速度出发求运动方程，这是积分运算，但结果都不唯一，积分常数需要用初始条件来确定3从直角坐标形式的运动方程出发计算切向加速度、法向加速度、曲率半径、弧坐标的过程点的速度：v = [vj +v2 +v2 , 切向加速度：at = dv ,dt2曲率半径：p = v-, an2 2 2点的加速度： a = ax - ay az ,法向加速度：an =、a2 — a；,t弧坐标：s= vdt.0二、刚体的平移刚体在运动过程中，其上任意一条直线始终平行于它的初始位置，刚体的这种运动称为平移具有性质：刚体平移时，其上各点的轨迹形状相同，在同一瞬时，各点的速度和加速度也相同刚体的平移问题可以归结为点的运动问题^三、刚体的定轴转动1刚体定轴转动的整体描述d转动方程邛=邛代），角速度8=d-,dtd.d2:角加速度：-=—=d—.dtdt2匀速转动（缶为常量），则中=中0十。

"12匀变速转动（£为吊重），则6=60+0（t,甲=邛0+801+—（/1.22角速度和角加速度的矢量表示3=6k,a=o（k,其中k为沿转动轴方向的单位矢量3转动刚体上各点的速度和加速度距转轴距离为R的点的速度为v=R3,2切向加速度：at=Ra,法向加速度：an=—=R«R全加速度a的大小：a=rJu24加速度a的方向： tgP =a，an2RcD2 .Cl)用矢积表示刚体上各点的速度和加速度切向加速度ap=aMr,法向加速度an=coMv.解题要领1利用三角函数关系写出转动方程，对时间求导一次得到角速度，求导两次得到角加速度方程，角速度或角加速度为正，表明其转向是与角度增加的方向一致；角速度和角加速度同号（异号）表明刚体作加（减）速转动2定轴转动刚体上点的切向和法向加速度的计算公式是点作曲线运动时的特例，不可混淆第四章点的运动和刚体基本运动习题解答4-1图示曲线规尺的杆长OA=AB=200mm,CD=DE=AC=AE=50mm杆OA绕轴转动的规律为邛=gtrad,并且当运动开始时，角*=0,求尺上D点的运动方程和轨迹解：已知中=0.2kt,故点D的运动方程为xD=200cos0.2二tmmyD=100sin0.2二tmm消去时间t得到点D的轨迹方程为2 2上.上_12002 1002(椭圆)4-2 图示AB杆长l,以中=0t的规律绕B点转动，切为常量。

而与杆连接的滑块 B以s = a+bsin«i t的规律沿水平线作谐振动， a、b为常量求A点的轨迹解：采用直角坐标法，取图示直角坐标系 Oxy,则A点位置坐标为x=s+lsin中,y =」cos中，即x = a，tb l sin ty = -l c o s t.消去时间t得A点轨迹方程为:(x-a)2 (bl)22y+ [=1.(椭圆)l2题4-2图4-3 套筒A由绕过定滑轮B的绳索牵引而沿导轨上升， 滑轮中心到导轨的距离为l,如图所示设绳索以等速 V0拉下,忽略滑轮尺寸求套筒A的速度和加速度与距离 x的关系式解：设t = 0时，绳上C点位于b处，在瞬时t,到达图示位置则 AB +BC =收 +l2 +v0t =常量，将上式求导，得到管套A的速度和加速度为aAdvAdt2. 2VoI3x题4-3图负号表示Va,Ha的实际方向与x轴相反4-4如图所示，半径为R的圆形凸轮可绕O轴转动，带动顶杆BC作铅垂直线运动设凸轮圆心在A点，偏心距OA=e,华=st,其中8为常量试求顶杆上B点的运动方程、速度和加速度解：以O点为原点建立坐标系，由余弦定理可得AB2=OA2OB2-2OAOBcost其中OA=e,AB=R，设OB=yB代入上式可以得到yB2—2eyBcos讥+e2-R2=0,解出一一.2.2_2.题4-4图_2ecost\(2ecost)-4(e-R)=ecos，t.R2-e2sin2tVbdyBdtesin 2 t--e (sin t )2、, R2 -e2sin2 t2.2.dvB,,ecos2tesint、aB「二-e(cost——2223).dt.R-esin22.224(R-esint)2速度和加速度。

解：由右图所示题4-5图4-5若将题4-4中的顶杆换成平底的物块M,其余条件不变试求物块上B点的运动方程、yB=R+ecos0t,dyB=-e©sin0t,dtdvB2,aB==e■cost.dt4-6图示a、b、c三种机构，已知机构尺寸h和杆OA与铅直线的夹角平=8t,其中&为常量，分析并比较它们的运动:1）穿过小环M的杆OA绕轴转动，同时拨动小环沿水平导杆滑动，求小环的速度和加速度轴转动的杆OA,推动物块M沿水平面滑动，求物块M上一点的速度和加速度3）杆OA绕O轴转动时，通过套在杆上的套筒M带动杆MN沿水平轨道运动，求MN上点的速度和加速度a）b）c）题4-6图解：经分析图a）、b）、c）中M点速度和加速度相同为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴对图在a）、b）、c）中M点都有h■x=htg中=htgcot,v=x=2-,cost~ 2.2h - sin ta = x = 3 cos t4-7图示滑道连杆机构已知BO=0.1m；OA=0.1m,滑道连杆BC绕轴B按中=10t的规律转动（中以rad计）试求滑块A的速度和加速度解：如右图所示以B为极点和BO为极轴建立极坐标系，则A点的运动方程为P=2OAcos10t）,中=10t.A点的速度为题4-7图v：二空二-20dt一、d:OAsin(10t),vcp=P—=20OAcos(10t),dtviv2、v2-20OA2=2m.s.A点的加速度为d2rd:2八ap=-2--P(——)=-400OAcos(10t),dt2dt1d~2d：一a=(:——)=-4OAsin10t.：dtdta=

4-8如图所示，一直杆以中=切0t绕其固定端O转动，其中80为常量沿此杆有一滑块以匀速Vo滑动设运动开始时，杆在水平位置，滑块在O点，试求滑块的轨迹（以极坐标表示）解：以O为极点，水平方向为极轴，点M的运动方程为P=v°t,④二区消去时间t,得到滑块以极坐标表示的轨迹方程为D=辿：.■0题4-8图4-9点在平面上运动，其轨迹的参数方程为x=2sin二t(m)y=4+4sinj(m),33设t=0时，s=0;坐标s的起点和t=0时点的位置一致，s的正方向相当于x增大的方向试求轨迹的直角坐标方程y=f(x)、点沿轨迹运动的方程s=g(t)、点的速度和切向加速度与时间的函数关系解：由运动方程消去t,得轨迹方程:y=2x+4,(-2

解：点的切向加速度和法向加速度为dv.at==0，dt式中dyx=e ，d2 ydx2=1,y=1有 P=2J2, a =arctany =45°,anv 一 八—=36 2 m s二当y=1m时点的速度和加速度在坐标轴上的投影为:vx=vy=—^~v=6\2m.s, 2ax = --an2= -36m/s2 , ay =、^any 2=36 m, s24-11如图所示，曲柄CB以等角速度缶0绕C轴转动，其转动方程为呼=8°t通过滑块B带动摇杆OA转动设OC=h,CB=r求摇杆转动方程解：由题图所示:rsin=h-rcostan二由此解出杆的转动方程为题4-11图,rsinot1-arctanh - r c o sot4-12已知图示机构的尺寸如下：01A=O2B=AM=r=0.2m；O1O2=AB如轮O1按中=15冠（中单位为rad）的规律转动，求当t=0.5s时，杆AB上的点M的速度和加速度解：点M与点A有相同的速度和加速度，即vA=vM=r=15二0.2=9.42msaA=aM=,f2r=（15二）20.2=444.15ms2题4-12图4-13机构如图所示，假设AB杆以匀速u运动,开始时平=0。

试求当中=:时，摇杆OC的角速度和角加速度解：OC杆转角中满足tan④=",对时间t求导得l5—cos2%研=-vsin2邛ll将中=一代入得42vv0=一,a=一一-.2l2l负号表示a与中方向相反4-14纸盘由厚度为a的纸条卷成，令纸盘的中心不动，题4-14图而以等速。