第三章用变换菜单作图.doc

第三章 用变换菜单作图观察下图，不难看出，这个图形都是由一些基本图形经过旋转变换得到的， 求下面图形中阴影部分的面积，会涉及到轴对称变换 数学中所谓“变换”，是指从一个图形（或表达式）到另一个图形（或表达式）的演变，在几何画板中，研究的是图形的演变我们能对图形进行平移、旋转、缩放、反射、迭代等变换几何画板中实现图形的变换，有两种方法，一种是前面学习过的变换工具，另一种方法就是现在介绍的变换菜单一、学习目标1、会按“固定的角度”并或按“标记的角度”旋转对象;2、会在极坐标系或直角坐标系中平移对象，会按“标记”平移对象；3、会基于标记的中心按“固定比例”或按“标记比例”缩放对象；4、会基于“标记的镜面”（对称轴）作轴对称；5、会用“迭代”或“深度迭代”画图说明：“变换”菜单中的命令项是否可用，取决于工作区中选中的对象是否符合使用该菜单项的前提条件另外，对于“旋转”、“缩放”，要基于一个标记中心，对于“反射”，要先“标记镜面”如果要按可变的量进行变换，还要标记相关的量不过，在4.0版中，还有一些比较另类的用法，即使你事先没有标记中心，仍然可以选中对象，在弹出“旋转”或“缩放”对话框后，再在工作区中单击一点，此点可以被标记为中心，这种方法也可以用于改变事先标记好的中心；同样，标记角可以在弹出旋转对话框后通过单击工作区中的一个角度值来实现；标记距离就比较特殊，如果事先没有标记，在弹出平移对话框后也可以单击工作区中的一个或两个距离值来标记；标记比可以在出现“缩放”对话框后能过单击工作区中的一个比值、无单位的参数、两条线段（单击的顺序会影响比值）等方法来立即标记一个比。

每个菜单项的详细使用方法见附录，在这里我们将以一些简单的实例来说明各菜单项的使用方法二、功能范例（一）旋转对象例1 画一个正方形运行结果：画一个正方形，拖动任一顶点改变边长或改变位置，都能动态地保持图形是一个正方形基本思路：本例将学习按固定的角度来旋转对象，1、画一条线段，用来做正方形的一边；2、双击左端点，标记为中心，选中线段和右端点，绕标记的中心旋转900（逆时针方向），得第二条边；3、双击第一条线段的右端点，标记为中心，选择第一条线段和它的左端点，绕标记的中心旋转－900（顺时针方向），得第三条边；4、连结出第四条边操作步骤：1、画线段AB2、用选择工具双击点A，点A被标记为中心3、用选择工具选取点B和线段AB，由菜单“变换”---“旋转”，在弹出的“旋转”对话框中作如图1的设置图14、双击点B，标记新的中心5、用选择工具选取点A和线段AB，由菜单“变换”---“旋转”，在弹出的“旋转”对话框中作如图2的设置图26、连结上方两个顶点得第四边拓展应用：1、本例的方法可以用来作任意的正多边形，只要计算出正多边形的内角，旋转时按内角度数进行即可，但这并不是最方便的方法，具体请参阅深度迭代画正多边形。

2、并不是每次用正方形都要从头来画，事实上可以把这个画图的过程创建成一个自定义工具，请参考相关的章节3、画正方形的方法比较多，本例介绍的是较为简便的一种，其余方法请自行尝试例2 中心对称运行结果：拖动点F，使∠DEF从00到1800变化，中间结果最后结果基本思路：本例将在前面学习的基础上，学习“按标记的角”旋转对象，同时能通过改变角的大小来动态演示对象的旋转过程1、为了方便观察，连结对称中心和各关键点间的虚线段，让研究对象和虚线段绕对称中心旋转1800，形成中心对称，；2、画一个角并标记这个角；3、再次选择原来的对象及虚线段，按标记的角旋转；4、拖动标记的角为00，观察到的图形为中心对称，拖动标记的角从00到1800，可以看到旋转1800后重合的过程操作步骤：1、准备工作，完成到如图32、用选择工具双击点O，标记为中心3、同时选择点A、B、C，线段AB、AC、BC、OA、OB、OC，绕点O旋转1800，得如图4图44、用选择工具确保按顺序点D、E、F选中这三点，并注意不要多选其它对象，由菜单“变换”---“标记角”，如果标记成功，会看到一段小动画5、同时选择点A、B、C，线段AB、AC、BC、OA、OB、OC，由菜单“变换”---“旋转”，在弹出的对话框中作如图5的设置。

图56、为便于观察，改按角度旋转所得的所有对象为红色，如图6图67、拖动点F，使线段EF与ED重合，可以看到红色三角形与△ABC重合说明：本例中标记的角度是图形，这种情况要注意选取三个点的顺序，按“边上的点、顶点、边上的点”来选，如果选择时按逆时针方向，标记的是正角；按顺时针方向，标记的是负角，这将影响对象的旋转方向标记的角也可以是度量角所得的度数（这时只能是正角），还可以是由计算器计算出来的度数（可正可负）练习：1、用旋转交换的方法画一个正三角形，并与前面用工具画正三角形的方法比较，你觉得哪种方法简便些？（二）平移对象 平移是指：对于两个几何图形，如果在它们的所有点与点之间可以建立起一一对应关系，并且以一个图形上任一点为起点，另一个图形上的对应点为终点作向量，所得的一切向量都彼此相等，那么 其中一个图形到另一个图形的变换叫做平移平移是一个保距变换，又是一个保角变换几何画板中，平移可以按三大类九种方法来进行，其中的有些方法事先要标记角、标记距离或标记向量在极坐标系中最多可以组合出四种方法，如图7 图7 图8在直角坐标系中可以组合出四种方法，如图8按标记的向量平移有一种方法，如图9图9例3 画一个半径为cm的圆运行结果：得到一个半径为cm的圆，无论如何移动位置，半径保持不变。

基本思路：根据勾股定理，让一个点在直角坐标系中按水平方向、垂直方向都平移1cm，得到的点与原来的点总是相距cm，然后以圆心和圆周上的点画圆即可操作步骤：1、画一个点A2、选取点A，由菜单“变换”---“平移”， 在弹出的对话框中作如图10的设置，平移后得如图11 图10 图113、选中这两点，（先选的为圆心），由菜单“构造”---“以圆心和圆周上的点绘圆”4、最后得如图12，无论如何移动，圆的半径固定为cm图12例4 全等三角形运行结果：图13拖动点F段DE上移动，可演示两个三角形重合和分开，可用来说明全等形基本思路：本例学习根据标记的向量平移对象，1、画好一个三角形2、另画一条线段（为方便观察，画成水平线）3、段上画一点4、标记线段左端点到线段上一点的向量5、将三角形按标记的向量平移操作步骤：1、画△ABC2、画线段DE，在DE上画一点F；3、用选择工具先选取点D，后选取点F，由菜单“变换”---“标记向量”，标记从点D到F的向量。

4、选取△ABC的三边和三个顶点，由菜单“变换”---“平移”，在弹出的对话框中作如图14的设置（如果标记好向量，会自动设置为按标记的向量平移）图145、用文本工具标记新三角形的三个顶点，最后如图13所示例 平行四边形的画法前面在学习构造菜单时，我们学习过根据平行四边形的定义，用构造平行线的方法来画一个平行四边形，这种画法对于一般情况下是没有问题的，但如果你想用来说明向量加法的平行四边形法则，你会发现当两个向量共线时，无法构造平行线的交点，因而就无法正确表示两个向量的和本例介绍根据标记的向量平移的方法来画平行四边形，这样的平行四边形可以正确演示向量加法的平行四边形法则操作步骤：1、新建一个几何画板文件2、用“画线段”工具和“文本工具”先完成如图3、用“选择工具”按顺序选取点A、B，由菜单“变换”---“标记向量”标记一个从点A指向点B的向量4、确保只选中线段AD和点D，由菜单“变换”---“平移”，设置线段AD和点D按向量AB平移，如图5、作出第四条边，改第四顶点标签为C三）缩放对象缩放是指对象关于“标记的中心”按“标记的比”进行位似变换其中标记比的方法有：（1）选中两条线段，由菜单“变换”----“标记线段比例”（此命令会根据选中的对象而改变），标记以第一条线段长为分子，第二条线段长为分母的一个比，这种方法也可以事先不标记，在弹出“缩放”对话框后依次单击两条线段来标记。

2）选中度量得的比或选中一个参数（无单位），由菜单“变换”---“标记比例系数”，可以标记一个比在弹出“缩放”对话框后单击工作区中的相应数值也可以“现场”标记一个比3）选中同一直线上的三点，由菜单“变换”---“标记比例”，可以标记以一、三点距离为分子，一、二点距离为分母的一个比这种方法控制比最为方便，根据方向的变化，比值可以是正、零、负等例5 相似三角形运行结果：通过拖动点F，让图形动态发生变化，以下三图是F点所在三个不同位置对相似三角形位置的影响： 基本思路：1、由在同一直线上的三个点标记一个比2、让三角形以其中一个顶点为中心，按标记的比缩放3、拖动比值控制点让图形在“A”形和“X”型中转变操作步骤：1、画△ABC2、画一条直线，隐藏直线上的两个控制点，如图16图163、在直线上画三个点D、E、F，用选择工具依次选取点D、E、F，由菜单“变换”---“标记比例”，标记一个比4、选取三角形的三边和三个顶点，由菜单“变换”---“缩放”弹出缩放对话框后如图17下设置单击点A，确保对话框中的旋转中心为A，图175、拖动点F在直线上移动，可以看到相似三角形的变化，还可以通过度量相关的值来帮助理解。

四）反射对象反射是指将选中的对象按标记的镜面（即对称轴，可以是直线、射线或线段）构造轴对称关系但并不是所有的对象都可以反射，例如轨迹就不能反射反射命令不会弹出对话框，反射前必须标记镜面，否则即使能够进行反射，得到的结果一般不会是你想要的例6 轴对称运行结果：从左到右演示了拖动三角形顶点改变其位置和形状，可以观察到动态保持的对称关系和相关性质基本思路：1、画一条直线并标记它为镜面；2、在直线的一旁画一个三角形；3、选取这个三角形的全部，进行反射；4、拖动其中一个三角形的顶点改变它的形状和位置，可以观察到轴对称的相关性质操作步骤：1、用画直线工具画一条直线2、选中这条直线，由菜单“变换”---“标记镜面”，标记这条直线为对称轴3、在直线的一旁画一个△ABC，结果如图18 图18 图194、选取△ABC的全部，由菜单“变换”---“反射”，并用文本工具标记反射所得的三角形的顶点，得如图19例 用对称变换画一个等腰三角形本例将介绍用变换的方法来画一个动态的等腰三角形。

操作步骤：1、新建一个几何画板文件2、先用工具完成到如。