《高中数学异面直线夹角自编》.docx

浅谈异面直线所成的角 第13页 共13页异面直线所成角的求法求异面直线夹角主要有三种主要方法，一是几何法，二是矢量法，三是公式法一、几何法：几何法求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识求解基本思路是选择合适的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置的点常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一例：长方体ABCD—A1B1C1D1中，若AB=BC=3，AA1=4，求异面直线B1D与BC1所成角的大小直接平移：常见的利用其中一个直线a和另一个直线b上的一个已知点，构成一个平面，在此平面内做直线a的平行线解法一：如图④，过B1点作BE∥BC1交CB的延长线于E点则∠DB1E就是异面直线DB1与BC1所成角，连结DE交AB于M，DE=2DM=3，∠DB1E= ∴∠DB1E=。

解法二：如图⑤，在平面D1DBB1中过B点作BE∥DB1交D1B1的延长线于E，则∠C1BE就是异面直线DB1与BC1所成的角，连结C1E，在△B1C1E中，∠C1B1E=135°，C1E=3，∠C1BE=，∴∠C1BE=课堂思考：1.如图，PA矩形ABCD，已知PA=AB=8，BC=10，求AD与PC所成角的余切值为 ABCD2.在长方体ABCD- A1B1C1D1中，若棱B B1=BC=1，AB=，求D B和AC所成角的余弦值.例2题图【例2】 如图所示，长方体A1B1C1D1-ABCD中，∠ABA1=45°,∠A1AD1=60°,求异面直线A1B与AD1所成的角的度数.中位线平移法分析：构造三角形找中位线，然后利用中位线的性质，将异面直线所成的角转化为平面问题，解三角形求之解法一：如图①连结B1C交BC1于0，过0点作OE∥DB1，则∠BOE为所求的异面直线DB1与BC1所成的角连结EB，由已知有B1D=，BC1=5，BE=，∴∠BOE= ∴∠BOE=解法二：如图②，连DB、AC交于O点，过O点作OE∥DB1，过E点作EF∥C1B，则∠OEF或其补角就是两异面直线所成的角，过O点作OM∥DC，连结MF、OF。

则OF=，∠OEF=，∴异面直线B1D与BC1所成的角为解法三：如图③，连结D1B交DB1于O，连结D1A，则四边形ABC1D1为平行四边形在平行四边形ABC1D1中过点O作EF∥BC1交AB、D1C1于E、F，则∠DOF或其补角就是异面直线DB1与BC1所成的角在△ADF中DF=，∠DOF=，∴∠DOF=课堂练习1．在正四面体ABCD中，已知E是棱BC的中点，求异面直线AE和BD所成角的余弦值补形法分析：在已知图形外补作一个相同的几何体，以例于找出平行线解法一：如图⑥，以四边形ABCD为上底补接一个高为4的长方体ABCD-A2B2C2D2，连结D2B，则DB1∥D2B，∴∠C1BD2或其补角就是异面直线DB1与BC1所成的角，连C1D2，则△C1D2C2为Rt△，∠C1BD2=－，∴异面直线DB1与BC1所成的角是课堂练习：求异面直线A1C1与BD1所成的角在长方体ABCD-A1B1C1D1的面BC1上补上一个同样大小的长方体，将AC平移到BE，则∠D1BE或其补角就是异面直线A1C1与BD1所成的角，在△BD1E中，BD1=3，   二、矢量法利用向量，设而不找，对于规则几何体中求异面直线所成的角也是常用的方法之一。

常有向量几何法和向量代数法两种解法一：如图⑦，连结DB、DC1，设异面直线DB1与BC1所成的角为，，而=()=+=〈，〉+〈，〉∵　BB1∥DD1 ∴ 〈，〉=〈，〉=∠D1DB1∠D1DB1= 〈，〉=180°－∠DB1C1∵∠DB1C1= ∴〈，〉=－∠DB1C1=－=7 ∴ =，解法二：如图⑧，建立如图所示的空间直角坐标系，则B（3，3，0），B1（3，3，4），D（0，0，0），C1（3，0，4）设和的夹角为，则=∴异面直线与所成的角为课堂练习：长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成的角向量几何法： 为空间一组基向量   所以异面直线A1C1与BD1所成的角为 向量代数法：< 以D为坐标原点，DC、DA、DD1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，1，0）、C（2，0，0），B（2，1，0）、D1（0，0，2），   所以异面直线A1C1与BD1所成的角为  三、公式法公式法实质是矢量几何法的推广：公式一、定理：四面体ADBCD两相对棱AC、BD间的夹角为q则有证明， 所以有：例：长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成的角。

 解：连结BC1、A1B在四面体为，易求得  由定理得：   所以  已知平面a的斜线a与a内一直线b相交成θ角，且a与a相交成j1角，a在a上的射影c与b相交成j2角，则有公式2 用几何法研究：在平面a的斜线a上取一点P，过点P分别作直线c、b的垂线PO、PB，垂足为O、B连接OB，则OB⊥b.在直角△AOP中，.在直角△ABC中，.在直角△ABP中，.所以 所以成立（7）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ D ）（A） （B） （C） (D) 解：设的中点为D，连结D，AD，易知即为异面直线与所成的角,由三角余弦定理，易知.故选D 讲解习题：例1  在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=BC=3，AA1=4．求异面直线A1B和AD1所成的角的余弦．（如图1）例2  在长方体ABCD－A1B1C1D1中，∠C1BC=45°，∠B1AB=60°．求AB1与BC1所成角的余弦．（如图2）例3  已知正方体的棱长为a，M为AB的中点，N为B1B的中点．求A1M与C1N所成的角的余弦．（如图3）（1992年高考题）例4  在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1=c，AB=a，AD=b，且a＞b．求AC1与BD所成的角的余弦．（如图4）作业：3．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是正方形ABCD的中心，E，F分别是AB，BC中点．求：（1）异面直线A1D1和CD的距离；（2）异面直线C1O和EF的距离．4．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，∠BAB1=∠B1A1C1=30°．求：（1）AB与A1C1所成的角的度数；（2）A1A与CB1所成的角的度数；（3）AB1与A1C1所成的角的余弦．5、如图，在三棱锥S-ABC中，E、F分别是SC、AB的中点，且，则异面直线SA与BC的夹角为多少？将上例中的问题改为 求SF与BE所成角的余弦值. 解：连结CF，Q取CM的中点G，连结EG、BG ，则EG//SF，∴∠BEG为异面直线SF、BE所成的角.在ΔBEG中，利用余弦定理可解得：COS∠BEG= . 高考题:例1(2005年全国高考福建卷)如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是（ ） A． B． C． D． 解：连B1G，则A1E∥B1G，知∠B1G F就是异面直线A1E与GF所成的角．在△B1GF中，由余弦定理，得 cosB1GF＝＝0， 故∠B1G F＝90°，应选(D)．评注：本题是过异面直线FG上的一点G，作B1G，则A1E∥B1G，知∠B1G F就是所求的角，从而纳入三角形中解决．例2(2005年全国高考浙江卷)设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E(如图)．现将△ADE沿DE折起，使二面角A－DE－B为45°，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、N的连线与AE所成角的大小等于_________．解：取AE中点G, 连结GM、BG∵GM∥ED，BN∥ED，GM＝ED，BN＝ED． ∴ GM∥BN，且GM＝BN．∴BNMG为平行四边形，∴MN//BG∵A的射影为B．∴AB⊥面BCDE．∴∠BEA＝∠BAE＝45°，又∵G为中点，∴BG⊥AE．即MN⊥AE．∴MN与AE所成角的大小等于90度．故填90°．三、平移(或构造)几何体有些问题中，整体构造或平移几何体，能简化解题过程.例3(2005年全国高考天津卷)如图，平面，且，则异面直线PB与AC所成角的正切值等于_____．解：将此多面体补成正方体，与所成的角的大小即此正方体主对角线与棱所成角的大小，在Rt△PDB中，即．故填．点评：本题是将三棱柱补成正方体，从而将问题简化．［例4］在棱长为a的正方体ABCD—A′B′C′D′中，E、F分别是BC、A′D′的中点.(2)解：如图所示，在平面ABCD内，过C作CP∥DE，交直线AD于P，则∠A′CP(或补角)为异面直线A′C与DE所成的角.在△A′CP中，易得A′C=a，CP=DE=a,A′P=a由余弦定理得cosA′CP=故A′C与DE所成角为arccos.［例5］如下图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1长为b,且AA1与AB、AD的夹角都是120°.求：(1)AC1的长；(2)直线BD1与AC所成的角的余弦值.技巧与方法：数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用. ∴BD1与AC所成角的余弦值为.。