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习题课1. 定积分的应用定积分的应用几何方面几何方面 : 面积、 体积、弧长、 表面积 .物理方面物理方面 : 质量、作功、 侧压力、引力、2. 基本方法基本方法 : 元素法元素形状 : 条、段、 带、 片、扇、环、壳 等.定积分的应用 第六六章 表示为一、什么问题可以用定积分解决一、什么问题可以用定积分解决 ? 1) 所求量 U 是与区间[a , b]上的某分布 f (x) 有关的2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过“大化小大化小, 常代变常代变, 近似和近似和, 取极限取极限”定积分定义一个整体量 ;二二 、如何应用定积分解决问题、如何应用定积分解决问题 ?第一步第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量的微分表达式第二步第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的积分表达式这种分析方法称为元素法元素法 (或微元分析法微元分析法 )元素元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等近似值精确值一、平面图形的面积一、平面图形的面积1. 直角坐标情形直角坐标情形设曲线与直线及 x 轴所围曲则边梯形面积为 A ,2. 极坐标情形极坐标情形求由曲线及围成的曲边扇形的面积 .在区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为二、平面曲线的弧长二、平面曲线的弧长定义定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 , 当折线段的最大边长 →0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 ,此极限为曲线弧 AB 的弧长 , 即并称此曲线弧为可求长的.则称(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:弧长元素(弧微分) :因此所求弧长(2) 曲线弧由参数方程给出:弧长元素(弧微分) :因此所求弧长(3) 曲线弧由极坐标方程给出:因此所求弧长则得弧长元素(弧微分) :三三、已知平行截面面积函数的立体体积、已知平行截面面积函数的立体体积设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), 则对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为上连续,例例1. 求抛物线在(0,1) 内的一条切线, 与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.解解: 设抛物线上切点为则该点处的切线方程为它与 x , y 轴的交点分别为所指面积使它故为最小值点, 因而所求切线为得[ 0 , 1] 上的唯一驻点。