抽象函数经典综合题33例含详细解答.doc

抽象函数经典综合题33例（含详细解答）抽象函数，是指没有具体地给出解析式，只给出它的一些特征或性质的函数，抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识，是考查学生能力的较好途径抽象函数问题既是教学中的难点，又是近几年来高考的热点本资料精选抽象函数经典综合问题33例（含详细解答）1.定义在R上的函数y=f(*)，f(0)≠0，当*>0时，f(*)>1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)，（1） 求证：f(0)=1；（2） 求证：对任意的*∈R，恒有f(*)>0；（3）证明：f(*)是R上的增函数；（4）若f(*)·f(2*-*2)>1，求*的取值*围解 （1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2∵f(0)≠0 ∴f(0)=1（2）令a=*，b=-*则 f(0)=f(*)f(-*)∴由已知*>0时，f(*)>1>0，当*<0时，-*>0，f(-*)>0∴又*=0时，f(0)=1>0∴对任意*∈R，f(*)>0(3)任取*2>*1，则f(*2)>0，f(*1)>0，*2-*1>0∴∴f(*2)>f(*1) ∴f(*)在R上是增函数（4）f(*)·f(2*-*2)=f[*+(2*-*2)]=f(-*2+3*)又1=f(0)，f(*)在R上递增∴由f(3*-*2)>f(0)得：3*-*2>0 ∴0<*<32.已知函数,在R上有定义，对任意的有 且（1）求证：为奇函数（2）若， 求的值解（1）对，令*=u-v则有f(-*)=f(v-u)=f(v)g(u)-g(v)f(u)=f(u-v)=-[f(u)g(v)-g(u)f(v)]=-f(*) （2）f(2)=f{1-(-1)}=f(1)g(-1)-g(1)f(-1)=f(1)g(-1)+g(1)f(1)=f(1){g(-1)+g(1)}∵f(2)=f(1)≠0∴g(-1)+g(1)=1 3.已知函数对任意实数恒有且当*＞0，(1)判断的奇偶性；(2)求在区间[－3,3]上的最大值；(3)解关于的不等式解（1）取则取对任意恒成立 ∴为奇函数.（2）任取， 则.ks5u 又为奇函数 ∴在（－∞，+∞）上是减函数.对任意，恒有而∴在[－3，3]上的最大值为6（3）∵为奇函数，∴整理原式得 进一步可得而在（－∞，+∞）上是减函数，当时，当时，当时，当时,当a>2时，4.已知f(*)在(－1，1)上有定义，f()＝－1，且满足*，y∈(－1，1)有f(*)＋f(y)＝f()⑴证明：f(*)在(－1，1)上为奇函数；⑵对数列*1＝，*n＋1＝，求f(*n);⑶求证(Ⅰ)证明：令*＝y＝0，∴2f(0)＝f(0)，∴f(0)＝0令y＝－*，则f(*)＋f(－*)＝f(0)＝0∴f(*)＋f(－*)＝0 ∴f(－*)＝－f(*)∴f(*)为奇函数(Ⅱ)解：f(*1)＝f()＝－1，f(*n＋1)＝f()＝f()＝f(*n)＋f(*n)＝2f(*n)∴＝2即{f(*n)}是以－1为首项，2为公比的等比数列∴f(*n)＝－2n－1(Ⅲ)解：而∴5.已知函数，满足：对任意都有；（1）试证明：为N上的单调增函数；（2），且，求证：；（3）若，对任意,有，证明：.证明：（1）由①知，对任意，都有，由于，从而，所以函数为上的单调增函数. （2）由（1）可知都有f(n+1)>f(n),则有f(n+1)f(n)+1 f(n+1)-f(n),f(n)-f(n-1) f(2)-f(1)f(1)-f(0)由此可得f(n)-f(0)n f(n)n+1命题得证 （3）（3）由任意,有得由f(0)=1得m=0 则f(n+1)=f(n)+1,则f(n)=n+1 6.已知函数的定义域为，且同时满足：(1)对任意，总有；(2)(3)若且，则有.(I)求的值；(II)求的最大值；(III)设数列的前项和为，且满足.求证：.解：（I）令，由(3),则由对任意，总有（II）任意且，则(III)，即。

故即原式成立 7. 对于定义域为的函数，如果同时满足以下三条：①对任意的，总有；②；③若，都有成立，则称函数为理想函数．(1) 若函数为理想函数，求的值；(2)判断函数是否为理想函数，并予以证明；(3) 若函数为理想函数，假定，使得，且，求证．解：（1）取可得．又由条件①，故．（2）显然在[0，1]满足条件①；-也满足条件②．若，，，则 ，即满足条件③， 故理想函数．（3）由条件③知，任给、[0，1]，当时，由知[0，1]，若，则，前后矛盾；若，则，前后矛盾．故8. 已知定义在R上的单调函数,存在实数,使得对于任意实数,总有恒成立Ⅰ)求的值；(Ⅱ)若,且对任意正整数,有, ,求数列{an}的通项公式； (Ⅲ)若数列{bn}满足，将数列{bn}的项重新组合成新数列，具体法则如下：……，求证：解：(Ⅰ)令，得，①令，得，，②由①、②得，又因为为单调函数，(Ⅱ)由（1）得，，，，(Ⅲ)由{}的构成法则可知，应等于{bn}中的n项之和，其第一项的项数为[1+2+…+(n－1)]+1=+1，即这一项为2×[+1]－1=n(n－1)+1=n(n－1)+1+n(n－1)+3+…+n(n－1)+2n－1=n2(n－1)+=n3当时，解法2：9.设函数是定义域在上的单调函数，且对于任意正数有，已知.（1）求的值；（2）一个各项均为正数的数列满足：，其中是数列的前n项的和，求数列的通项公式；（3）在（2）的条件下，是否存在正数，使对一切成立？若存在，求出M的取值*围；若不存在，说明理由.解：（1）∵，令，有，∴.再令，有，∴，∴（2）∵,又∵是定义域上单调函数，∵，，∴……①当时，由，得，当时，……②由①－②，得，化简，得　，∴，∵，∴，即，∴数列为等差数列.，公差.∴，故. （3）∵，令=,而. ∴=， ∴，数列为单调递增函数，由题意恒成立，则只需=，∴，存在正数，使所给定的不等式恒成立，的取值*围为.10.定义在R上的函数f（*）满足，且时，f（*）<0。

1）设，求数列的前n项和；（2）判断f（*）的单调性，并证明解：（1）令*=n，y=1，则所以，故数列是首项为－1，公差为－2的等差数列因此，（2）设，且，则所以于是又所以，而函数f（*）在R上是减函数11.设函数f（*）定义在R上，对于任意实数m、n，恒有，且当*>0时，01；（2）求证：f（*）在R上单调递减；（3）设集合，，若，求a的取值*围解：（1）令m=1，n=0，得f（1）= f（1）·f（0）又当*>0时，0< f（*）<1，所以f（0）=1设*<0，则－*>0令m=*，n=－*，则f（0）= f（*）·f（－*）所以f（*）·f（－*）=1又0< f（－*）<1，所以（2）设，且，则所以从而又由已知条件及（1）的结论知f（*）>0恒成立所以所以所以f（*2）< f（*1），故f（*）在R上是单调递减的3）由得：因为f（*）在R上单调递减所以，即A表示圆的内部由f（a*－y+2）=1= f（0）得：a*－y+2=0所以B表示直线a*－y+2=0所以，所以直线与圆相切或相离，即解得：12.定义在R上的函数f（*）对任意实数a、b都有f（a+b）+ f（a－b）=2 f（a）·f（b）成立，且。

1）求f（0）的值；（2）试判断f（*）的奇偶性；（3）若存在常数c>0使，试问f（*）是否为周期函数？若是，指出它的一个周期；若不是，请说明理由解：（1）令a=b=0则f（0）+ f（0）=2 f（0）·f（0）所以2 f（0）·[f（0）－1]=0又因为，所以f（0）=1（2）令a=0，b=*，则f（*）+ f（－*）=2 f（0）·f（*）由f（0）=1可得f（－*）= f（*）所以f（*）是R上的偶函数3）令，则因为所以f（*+c）+ f（*）=0所以f（*+c）=－ f（*）所以f（*+2c）=－ f（*+c）= －[－f（*）]= f（*）所以f（*）是以2c为周期的周期函数13.已知函数f（*）的定义域关于原点对称，且满足：（1）（2）存在正常数a，使f（a）=1求证：（1）f（*）是奇函数；（2）f（*）是周期函数，并且有一个周期为4a证明：（1）设，则所以函数f（*）是奇函数2）令，则即解得：f（2a）=0所以所以因此，函数f（*）是周期函数，并且有一个周期为4a14.已知对一切，满足，且当时，，求证：（1）时，（2）在R上为减函数证明：对一切有且，令，得，现设，则，，而，设且，则，即为减函数。

15.已知函数是定义在上的减函数，且对一切实数*，不等式恒成立，求k的值分析：由单调性，脱去函数记号，得由题意知(1)(2)两式对一切恒成立，则有16.设定义在上的函数对于任意都有成立，且，当时，1）判断f(*)的奇偶性，并加以证明；（2）试问：当-2003≤≤2003时，是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由；（3）解关于的不等式，其中.分析与解：⑴令*=y=0，可得f(0)=0令y=-*，则f(0)=f(－*)+f(*)，∴f(－*)= －f(*)，∴f(*)为奇函数⑵设－3≤*1＜*2≤3，y=－*1，*=*2则f(*2－*1)=f(*2)+f(－*1)=f(*2)－f(*1)，因为*＞0时，f(*)＜0，故f(*2－*1)＜0，即f(*2)－f(*1)＜0∴f(*2)＜f(*1)、f(*)在区间[－2003、2003]上单调递减∴*=－2003时，f(*)有最大值f(－2003)=－f(2003)=－f(2002+1)=－[f(2002)+f(1)]=－[f(2001)+f(1)+f(1)]=…=－2003f(1)=40062003时，f(*)有最小值为f(2003)= －4006。

⑶由原不等式，得[f(b*2) －f(b2*)]＞f(*) －f(b)即f(b*2)+f(－b2*)＞2[f(*)+f(－b)]∴f(b*2－b2*)＞2 f(*－b)，即f[b*(*－b)]＞f(*－b)+f(*－b)∴f[b*(*－b)]＞f[2 f(*－b)]由f(*)在*∈R上单调递减，所以b*(*－b)＜2(*－b)，∴(*－b)(b*－2) ＜0∵b2≥2, ∴b≥或b≤－当b＞时，b＞，不等式的解集为当b＜－时，b＜，不等式的解集为当b=－时，不等式的解集为当b=时，不等式解集为φ17.已知定义在上的函数满足：（1）值域为，且当时，；（2）对于定义域内任意的实数，均满足：试回答下列问题：（Ⅰ）试求的值；（Ⅱ）判断并证明函数的单调。