2011年高考真题详解——广东卷(文科数学).doc

2011 年普通高等学校招生全国统一考试【广东卷】 （文科数学）本试卷分第Ⅰ卷（ 选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第 1 至第 2 页，第Ⅱ卷第3 页至第 4 页．全卷满分 150 分，考 试时间 120 分钟．第Ⅰ卷（选择题 共 50 分）一、选择题：（每小题 5 分，共 50 分）【2011 广东文，1】1．设复数 z满足 1i，其中 i为虚数单位，则 z= ( )．A． i B． i C． D． 1 【答案】A． 【解析】 1()iz．【2011 广东文，2】2．已知集合 ,|Axy、为实数，且 21xy，,|Bxy、为实数，且 1，则 B的元素个数为( )．A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C．【解析】 的元素个数等价于圆 21xy与直线 xy的交点个数，显然有 2 个交点．【2011 广东文，3】3．已知向量 (,)(,0)(3,4)abc．若 为实数，()ab∥ c，则  ( )．A． 14 B． 12 C． 1 D． 2 【答案】B．【解析】 (,)ab，由 ()ab∥ c，得 64()0，解得 1．【2011 广东文，4】4．函数 1lg()fxx的定义域是( )．A． (,1) B． (,) C． ,1 D． (,) 【答案】C．【解析】 101x且 x，则 ()fx的定义域是 (1,))．【2011 广东文，5】5．不等式 20的解集是( )．A． 1(,)2 B． (1,) C． ,1)2, D． 1(,)(,)2【答案】D．【解析】 20()20xxx或 ，则不等式的解集为1(,)(,．【2011 广东文，6】6． 已知平面直角坐标系 xOy上的区域 D由不等式组02xy给定，若 ,Mxy为 D上的动点，点 A的坐标为 2,1，则 zMOA的最大值为( )．A．3 B．4 C． 3 D． 42 【答案】B．【解析】 2zxy，即 2xz，画出不等式组表示的平面区域，易知当直线y经过点 (,)时， 取得最大值， max24．【2011 广东文，7】7．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为2011 年全国高考【广东卷】 （文科数学）试题 第 3 页（共 20 页）它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有( )．A．20 B．15 C．12 D．10 【答案】D．【解析】正五棱柱中，上底面中的每一个顶点均可与下底面中的两个顶点构成对角线，所以一个正五棱柱对角线的条数共有 5210条．【2011 广东文，8】8．设圆 C与圆 22(3)1xy外切，与直线 0y相切．则 C的圆心轨迹为( )．A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．圆【答案】A．【解析】依题意得， C的圆心到点 (0,3)的距离与它到直线 1y的距离相等，则 C的圆心轨迹为抛物线．【2011 广东文，9】9．如图，某几何体的正视图（主视图） ，侧视图（左视图）和俯视图分别为等边三角形、等腰三角形和菱形，则该几何体体积为( )．A． 43 B． 4 C． 2 D． 2【答案】C．【解析】该几何体是一个底面为菱形的四棱锥，菱形的面积 123S，四棱锥的高为 3，则该几何体的体积 123VSh．【2011 广东文，10】10．设 ||HOT是 R 上的任意实值函数．如下定义两个函数fgx和 fxA；对任意 ,()fgxf；()．则下列等式恒成立的是( )．A． ()fhxfghxA B． gC． ()fxfxD． hghAA【答案】B．【解析】 对 A 选项 ()fgA　 　h()x)fg(xh()fgxh，f　 AA　 ()fA()gxh()f，故排除 A；对 B 选项 ()fg　 h()xghx()(fh，2011 年全国高考【广东卷】 （文科数学）试题 第 5 页（共 20 页）()fhA　 　()gx()()fhgx()fhgx，故选B；对 C 选项 ()f())(f()f，g　 　 h　 x()ghxfghx　．()f，故排除 C；对 D 选项 ()fA　 ())(()fA，()fg　 　 hx(fghxgxh，故排除 D．解析二：二、填空题：本大题共 5 小题．考生 作答 4 小题．每小题 5 分，满分 20分．（一）必做题（11～13 题）第Ⅱ卷（非选择题 共 100 分）二、填空题：（每小题 5 分，共 20 分）【2011 广东文，11】11．已知 na是递增等比数列， 243,a，则此数列的公比q．【答案】 2．【解析】 22434402()10aqa2q或 1∵ {}n是递增的等比数列，∴ ．【2011 广东文，12】12．设函数 3()cos1.fx若 ()fa，则 ()fa ．【答案】 9．【解析】 3()cos1fa，即 3()cos10fa，则 )() 9．【2011 广东文，13】13．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月 1 号到 5 号每天打时间 x（单位：小时）与当于投篮命中率 y 之间的关系：时间 x 1 2 3 4 5命中率 y 0．4 0．5 0．6 0．6 0．4小李这 5 天的平均投篮命中率为 ，用线性回归分析的方法，预测小李该月 6 号打6 小时篮球的投篮命中率为 ．【答案】 0.5；0.53．【解析】小李这 5 天的平均投篮命中率 1(0.45.60.4)5y3x， 1222()..(.).1()1niiiiixb， 0.47aybx∴线性回归方程 0..47yx，则当 6x时， 0.53y∴预测小李该月 6 号打 6 小时篮球的投篮命中率为 ．（二）选做题（14、15 题，考生只能从中选做一题）【2011 广东文，14】14． （坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为sinco5yx（0≤  ＜ 和254xty（t∈R） ，它们的交点坐标为 ．【答案】 2(1,)5．2011 年全国高考【广东卷】 （文科数学）试题 第 7 页（共 20 页）【解析】 5cosinxy表示椭圆215xy(501)xy且，254xt表示抛物线 24，2 221(501)5 45014xyxyxx且或 5（舍去） ，又因为 01y，所以它们的交点坐标为 (1,)5．【2011 广东文，15】15． （几何证明选讲选做题）如图 4，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB＝ 4，CD ＝2，E、F 分别为 AD、BC 上点，且 EF＝3，EF∥AB ，则梯形 ABFE与梯形 EFCD 的面积比为 ．【答案】 75．【解析】如图，延长 ,ADBC， P，∵ 23CEF，∴ 49PEFS∵ 4AB，∴ 16PCDEF∴ 75EFCDS梯 形梯 形 ．三、解答题：（本大题共 6 小题，共 80 分）【2011 广东文，16】16． （本小题满分 12 分）已知函数 12sin()36fxx， R．(Ⅰ) 求 0f的值； (Ⅱ) 设 10,,(3),2f 6(3),5f求 si的值．【解析】 ．(Ⅰ) 02sin()16f；(Ⅱ) 103[3)]2sin63，即 5sin136)si(()f ，即 co∵ ,0,2，∴ 1cosin3， 24sin1cos5∴ 363i()sco．【2011 广东文，17】17． （本小题满分 13 分）在某次测验中，有 6 位同学的平均成绩为 75 分．用 nx表示编号为 1,26n 的同学所得成绩，且前 5 位同学的成绩如下：编号 n 1 2 3 4 5成绩 x70 76 72 70 72(Ⅰ) 求第 6 位同学成绩 6，及这 6 位同学成绩的标准差 s；(Ⅱ) 从前 5 位同学中，随机地选 2 位同学，求恰有 1 位同学成绩在区间 68,7中的概率．【解析】 ．(Ⅰ) 617nx56 0762079,nx22221()(1351)4s，7.(Ⅱ) 从 5 位同学中随机选取 2 位同学，共有如下 10 种不同的取法：{1，2}，{1，3}，{1 ，4} ，{1，5} ，{2，3}，{2 ，4}，{2 ，5}，{3，4}，{3 ，5}，{4，5} ，选出的 2 位同学中，恰有 1 位同学的成绩位于（68，75）的取法共有如下 4 种取法：{1，2}，{2，3}，{2 ，4} ，{2，5} ，故所求概率为 5．解法二：（1） 6(706270)75x，解得 690x，2011 年全国高考【广东卷】 （文科数学）试题 第 9 页（共 20 页）标准差 222222161[()()()](5315)76sxxx ．（2）前 5 位同学中随机选出的 2 位同学记为 ,ab， ,{,4}且 ab，则基本事件有 (1,)， ,3， (1,4)， 5， (23)， ， (25)， 3,， (,5)，(4,)共 10 种，这 5 位同学中，编号为 1、3、4、5 号的同学成绩在区间（68，75）中设 A 表示随机事件“从前 5 位同学中随机选出 2 位同学，恰有 1 位同学成绩在区间（68，75）中” ，则 A 中的基本事件有 (,)、 ,、 (,4)、 2,5共 4 种，则42()10P．【2011 广东文，18】18． （本小题满分 12 分）如图所示，将高为 2，底面半径为 1 的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右平移到的 ,AB分别为AA,,CDE的中点， 12,,O分别为 ,CDE的中点．(Ⅰ) 证明： 12,B四点共面；(Ⅱ) 设 G为 中点，延长 1到 H,使得 11O,证明： 2HBG面 ．【解析】 ．//(Ⅰ) A,,CD分 别 为 中点，11/O连接 BO2直线 BO2 是由直线 AO1 平移得到1/AB2O1,,共面．(Ⅱ) 将 AO1 延长至 H 使得 O1H=O1A，连接 1,HB由平移性质得 12=HB2/BO11,, 2AGAGA H12OG2BH121222,,OBO2O平 面12B2HG2.O平 面解法二：。