2001-2007年大学数学竞赛试题.doc

12001-2007 年天津市大学数学竞赛试题集（2009.3.10 整理）2001 年天津市大学数学竞赛试题（理工类）一、填空：（本题 15 分，每空 3 分请将最终结果填在相应的横杠上面 ）1. 函数 在（-∞，+∞）上连续，则 a = ，， ；， 0cos1e)(2xaxfx2. 设函数 y = y(x) 由方程 所确定，则 )cs(eyy 0dxy3. 由曲线 与 x 轴所围成的图形的面积 A = 234. 设 E 为闭区间[0，4π]上使被积函数有定义的所有点的集合，则Exdsinco5．设 L 是顺时针方向的椭圆 ，其周长为 l ，则 142yxLsyxd42二、选择题：（本题 15 分，每小题 3 分每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。

）1. 若 且 ，则（ ）0)(lim0uxAf)(li0（A） 存在； （B ） ][0fx Axfx)]([lim0（C） 不存在； （D） A、B、C 均不正确)(li02. 设 ， ，则当 时， （ ）xfsin2d43)(xg（A） 与 为同阶但非等价无穷小； （B） 与 为等价无穷小；)(g )(xfg（C） 是比 更高阶的无穷小； （D ） 是比 更低阶的无)(xf)( )(f)(穷小3. 设函数 对任意 x 都满足 ，且 ，其中 a、b 均为非)(f )(1(xafff)0('零常数，则 在 x = 1 处（ ） 2（A）不可导； （B）可导，且 ；af)1(（C）可导，且 ； （D ）可导，且 。

bf)1( b4. 设 为连续函数，且 不恒为零，I= ，其中 s > 0，t > 0，则 I)(xf )(xftsxf0d)(的值（ ）（A）与 s 和 t 有关； （B）与 s、t 及 x 有关；（C）与 s 有关，与 t 无关； （D）与 t 有关，与 s 无关5. 设 u (x，y ) 在平面有界闭区域 D 上具有二阶连续偏导数，且满足 及02yxu，则（ ） 02x（A）u (x ，y ) 的最大值点和最小值点必定都在区域 D 的内部；（B）u (x，y ) 的最大值点和最小值点必定都在区域 D 的边界上；（C）u (x ，y ) 的最大值点在区域 D 的内部，最小值点在区域 D 的边界上；（D）u (x ，y ) 的最小值点在区域 D 的内部，最大值点在区域 D 的边界上以下各题的解答写在试题纸上，可以不抄题，但必须写清题号，否则解答将被视为无效三、求极限 （本题 6 分）)]21ln([ecoslim202xx解： 四、计算 。

（本题 6 分）02de1x解： 3五、设函数 的所有二阶偏导数都连续， ，),(yxu xuyx)2,(22且，求 （本题 6 分）21,(')('1x，解：六、在具有已知周长 2p 的三角形中，怎样的三角形的面积最大？（本题 7 分）解：七、计算 （本题 8 分）解yxyxI dede12214 4八、计算曲面积分 ，  yxazxayzaxI ddd232323其中 Σ 为上半球面 的上侧 （本题 7 分2yz解：九、已知 a>0，x 1>0，定义 L,3213413nxaxnn求证： 存在，并求其值 （本题 8 分）nlim解：十、证明不等式 （本题 7 分），， xxx221ln1证明： 5十一、设函数 在闭区间[0，1] 上连续，在开区间（0 ，1）内可导，且)(xf，求证：在开区间（0，1）内至少存在一点 ，使得 。

（本143)(fdxf 0)('f题 7 分）证明十二、设 在区间 上具有二阶导数，且 ， ，)(xf),[a0)(Mxf2)('xf （本题 8 分）(a20'M证明 62002 年天津市大学数学竞赛试题参考答案（理工类）一、填空：（本题 15 分，每空 3 分请将最终结果填在相应的横线上面 ）1． xx1sin32lim2．设摆线方程为 则此曲线在 处的法线方程为 tycosi3t3． e2)ln1(xd4．设 在点(－1,1)处沿方向 的方向导数 22yz125，l lz5．设 Σ 为曲面 介于 0≤ Z≤ R 的部分，则22x22zyxdS二、选择题：（本题 15 分，每小题 3 分每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。

选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分 ）1. 曲线 的渐近线有（ ）)2(1arctne12xyx（A） 1 条； （B） 2 条；（C） 3 条； （D ） 4 条2. 若 ，则当 n>2 时 （ ）2)]([xff )(xfn（A） ； （B） ； 1!n 1)]([nxf（C） ； （D） xf2)]([ 2!3. 已知函数 f (x)在（－∞，+∞）内有定义，且 x0 是函数 f (x)的极大值点，则（ ）（A）x 0 是 f (x)驻点； （B）在（－∞，+∞）内恒有 f (x)≤ f (x0)；（C）－x 0 是－f (－x)的极小值点； （D）－x 0 是－f (x) 的极小值点。

74. 设 ，则 z = z (x,y)在点（ 0，0） （ ）0,0,22yxyxz（A）连续且偏导数存在； （B）连续但不可微；（C）不连续且偏导数不存在； （D ）不连续但偏导数存在5. 设 ，其中 Ω：x 2+y2+z2≤1， z≥0 则 （ ）dveIzyx)( I（A） ； （B） ；dvez3 dvex3（C） ； （D ） yz)2( z)2(三、已知极限 ，试确定常数 n 和 C 的值 （本题 6 分）01lnarctlim0 Cxx解：四、已知函数 f (x) 连续， ，求 （本题 6 分）xdtftg02)()( )(xg解：五、设方程 ，04bax⑴ 当常数 a ，b 满足何种关系时，方程有唯一实根？⑵ 当常数 a ，b 满足何种关系时，方程无实根。

（本题 7 分）解： 8六、在曲线 y = x2（x ≥ 0）上某点 A 作一切线，使之与曲线及 x 轴所围图形的面积为 ，12试求：⑴ A 点的坐标；⑵ 过切点 A 的切线方程；⑶ 该图形绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积 （本题 8 分）解：七、计算 （本题 7 分）dx32)1(解： 9八、设 ，其中 具有连续的一阶偏导数，xyzxzyfusin,0),(),(2,f且 （本题 7 分）dz， 求0九、求 上的最大值与最小值 （本1),(2),( 22yxSyxyxf 在题 7 分）解：解法 1、，十、计算 ，其中区域 D 为： （本题 7DdxyI)cos( 20,yx 10分）解：十一、证明：当 0 0 为周期的连续函数，且 。

)(xf),(TAdxf0)(求 （本题 7 分）dtx0lim 19七、在椭球面 上求一点，使函数 在该点12zyx 22),(zyxzyf沿方向 的方向导数最大8’jil解：，八、设正整数 ，证明方程 至少有两个实根1n 012122 xaxannnL（本题 6 分）证明 20九、设 证明 存在，并求之（本题 8),21(2)1(,0Lnxxnn nxlim分）证明：十、计算曲面积分 ，其中 是曲线xdyyzxIsin2 绕 z 轴旋转而成的旋转面，其法线向量与 z 轴正向的夹角为锐)1(02xzy角 （本题 7 分）解：十一、设 具有连续的偏导数，且对以任意点 为圆心，以任意),(,yxQP ),(0yx正数 r 为半径的上半。