单元质检三 导数及其应用(时间:100分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.如果一个物体的运动方程为s=1-t+t2,其中s的单位是米,t的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是( ) A.7米/秒 B.6米/秒 C.5米/秒 D.8米/秒答案C解析根据瞬时速度的意义,可得3秒末的瞬时速度是v=s'|t=3=(-1+2t)|t=3=5.2.设曲线y=x+1x-1在点(3,2)处的切线与直线ax+y+3=0垂直,则a等于( )A.2 B.-2 C.12 D.-12答案B解析因为y=x+1x-1的导数为y'=-2(x-1)2,所以曲线在点(3,2)处的切线斜率k=-12.又因为直线ax+y+3=0的斜率为-a,所以-a·-12=-1,解得a=-2.3.若函数y=ex+mx有极值,则实数m的取值范围是( )A.m>0 B.m<0 C.m>1 D.m<1答案B解析求导得y'=ex+m,由于ex>0,若y=ex+mx有极值,则必须使y'的值有正有负,故m<0.4.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在R上是减函数,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,-3]∪[3,+∞) B.[-3,3]C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-3,3)答案B解析由题意,知f'(x)=-3x2+2ax-1≤0在R上恒成立,故Δ=(2a)2-4×(-3)×(-1)≤0,解得-3≤a≤3.5.函数f(x)=x2+x-ln x的零点的个数是( )A.0 B.1 C.2 D.3答案A解析由f'(x)=2x+1-1x=2x2+x-1x=0,得x=12或x=-1(舍去).当012时,f'(x)>0,f(x)单调递增.则f(x)的最小值为f12=34+ln2>0,所以无零点.6.(2018全国Ⅰ,文6)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为( )A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x答案D解析因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即-x3+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-ax,解得a=1,则f(x)=x3+x.由f'(x)=3x2+1,得在(0,0)处的切线斜率k=f'(0)=1.故切线方程为y=x.7.已知当x∈12,2时,a≤1-xx+ln x恒成立,则a的最大值为 ( )A.0 B.1 C.2 D.3答案A解析令f(x)=1-xx+lnx,则f'(x)=x-1x2.当x∈12,1时,f'(x)<0;当x∈(1,2]时,f'(x)>0.∴f(x)在区间12,1内单调递减,在区间(1,2]上单调递增,∴在x∈12,2上,f(x)min=f(1)=0,∴a≤0,即a的最大值为0.8.已知函数f(x)=ln x+tan α0<α<π2的导函数为f'(x),若方程f'(x)=f(x)的根x0小于1,则α的取值范围为( )A.π4,π2 B.0,π3 C.π6,π4 D.0,π4答案A解析∵f(x)=lnx+tanα,∴f'(x)=1x.令f(x)=f'(x),得lnx+tanα=1x,即tanα=1x-lnx.设g(x)=1x-lnx,显然g(x)在(0,+∞)内单调递减,而当x→0时,g(x)→+∞,故要使满足f'(x)=f(x)的根x0<1,只需tanα>g(1)=1.又0<α<π2,∴α∈π4,π2.9.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0,且g(3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是( )A.(-3,0)∪(3,+∞) B.(-3,0)∪(0,3) C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3)答案D解析∵当x<0时,f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0,即[f(x)g(x)]'>0,∴当x<0时,f(x)g(x)为增函数,又g(x)是偶函数,且g(3)=0,∴g(-3)=0,∴f(-3)g(-3)=0.故当x<-3时,f(x)g(x)<0;∵f(x)g(x)是奇函数,∴当x>0时,f(x)g(x)为增函数,且f(3)g(3)=0,故当00,解得x<344,令f'(x)<0,解得x>344,故f(x)在0,344内递增,在344,+∞内递减,故f(x)的最大值是f344,a=344.11.若函数f(x)=x33-a2x2+x+1在区间12,3内有极值点,则实数a的取值范围是( )A.2,52 B.2,52 C.2,103 D.2,103答案C解析若f(x)=x33-a2x2+x+1在区间12,3内有极值点,则f'(x)=x2-ax+1在区间12,3内有零点,且零点不是f'(x)的图象顶点的横坐标.由x2-ax+1=0,得a=x+1x.因为x∈12,3,y=x+1x的值域是2,103,当a=2时,f'(x)=x2-2x+1=(x-1)2,不合题意.所以实数a的取值范围是2,103,故选C.12.已知函数f(x)=x3+ax2+bx有两个极值点x1,x2,且x10),当x∈(0,1)时,g'(x)>0,则函数g(x)单调递增;当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0,则函数g(x)单调递减.所以当x=1时,函数有最大值,此时最大值为g(1)=a-1,令a-1>1,解得a>2,即实数a的取值范围是(2,+∞).16.(2018东北三省三校一模)已知函数f(x)=xln x+12x2,x0是函数f(x)的极值点,给出以下几个命题:①01e;③f(x0)+x0<0;④f(x0)+x0>0.其中正确的命题是 .(填出所有正确命题的序号) 答案①③解析由已知得f'(x)=lnx+x+1(x>0),不妨令g(x)=lnx+x+1(x>0),由g'(x)=1x+1,当x∈(0,+∞)时,有g'(x)>0总成立,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,且g1e=1e>0,又x0是函数f(x)的极值点,所以f'(x0)=g(x0)=0,即g1e>g(x0),所以00,所以f'(x)=0有两个不相等的实数根.所以不存在实数a,使得f(x)是(-∞,+∞)内的单调函数.18.(12分)已知f(x)=x3-12x2-2x+5.(1)求f(x)的单调区间;(2)过点(0,a)可作y=f(x)的三条切线,求a的取值范围.解(1)f'(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),故f(x)在-∞,-23,(1,+∞)内单调递增,在-23,1内单调递减.(2)设切点为(x0,f(x0)),则切线的方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0),即y-(x03-12x02-2x0+5)=(3x02-x0-2)(x-x0).又点(0,a)在切线上,故a-x03-12x02-2x0+5=(3x02-x0-2)(0-x0),即a=-2x03+12x02+5.令g(x)=-2x3+12x2+5,由已知得y=a的图象与g(x)=-2x3+12x2+5的图象有三个交点,g'(x)=-6x2+x,令g'(x)=0,得x1=0,x2=16,g(x1)=5,g(x2)=51216,故a的取值范围为5,51216.19.(12分)已知函数f(x)=ex-ax(a为常数)的图象与y轴交于点A,曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为-1.(1)求a的值及函数f(x)的极值;(2)证明:当x>0时,x2
