你能证明它们吗二演示文稿.ppt

想一想想一想, 做一做做一做 在等腰三角形中作出一些在等腰三角形中作出一些线线段段(如角平分如角平分线线、中、中线线、、高等高等)，你能，你能发现发现其中一些相等的其中一些相等的线线段段吗吗? 你能你能证证明你的明你的结论吗结论吗? 作作图观图观察察,我我们们可以可以发现发现：：等腰三角形两底角的平分等腰三角形两底角的平分线线相等；两腰上的高、中相等；两腰上的高、中线线也分也分别别相等相等．． 我我们们知道，知道，观观察或度量是不察或度量是不够够的，感的，感觉觉不可靠．不可靠．这这就需要以公理和已就需要以公理和已证证明的定理明的定理为为基基础础去去证证明它，明它，让让人人们们坚坚定不移地去承定不移地去承认认它，相信它．它，相信它． 下面我下面我们们就来就来证证明上面提到的明上面提到的线线段中的一种：段中的一种：等腰等腰三角形两底角的平分三角形两底角的平分线线相等相等．．已知：如已知：如图图，在，在△△ABC中，中， AB=AC，， BD、、CE是是△△ABC的角平分的角平分线线．．例例1. 证明证明: 等腰三角形两底角的平分线相等等腰三角形两底角的平分线相等.用心想一想，马到功成用心想一想，马到功成21EDCBA求求证证：：BD=CE．．证证明：明：∵∵AB=AC，，∴∠∴∠ABC=∠ ∠ACB(等等边对边对等角等角)．． ∵∠∵∠1= ∠ ∠ABC，，∠∠2= ∠ ∠ACB，，∴∠∴∠1=∠ ∠2．． 在在△△BDC和和△△CEB中，中， ∵∠∵∠ACB=∠ ∠ABC，，BC=CB，，∠∠1=∠ ∠2．． ∴△∴△BDC≌△≌△CEB(ASA)．． ∴∴BD=CE(全等三角形的全等三角形的对应边对应边相等相等)．．已知：如已知：如图图，在，在△△ABC中，中， AB=AC，， BD、、CE是是△△ABC的角平分的角平分线线．．例例1. 证明证明: 等腰三角形两底角的平分线相等等腰三角形两底角的平分线相等.用心想一想，马到功成用心想一想，马到功成43EDCBA求求证证：：BD=CE．．证证明：明：∵∵AB=AC，，∴∠∴∠ABC=∠ ∠ACB．． ∵∠∵∠3= ∠ ∠ABC，，∠∠4= ∠ ∠ACB，， ∴∠∴∠3=∠ ∠4．． 在在△△ABD和和△△ACE中，中， ∵∠∵∠3=∠ ∠4，，AB=AC，，∠∠A=∠ ∠A．． ∴△∴△ABD≌△≌△ACE(ASA)．． ∴∴BD=CE(全等三角形的全等三角形的对应边对应边相等相等)．．已知：如已知：如图图，在，在△△ABC中，中， AB=AC，， BD、、CE是是△△ABC的高．的高．1. 证明证明: 等腰三角形两腰上的高相等等腰三角形两腰上的高相等.求求证证：：BD=CE．．EDCBA 分析：分析：要要证证BD=CE，就需，就需证证BD和和CE所在的两所在的两个三角形的全等．个三角形的全等．已知：如已知：如图图，在，在△△ABC中，中， AB=AC，， BD、、CE是是△△ABC的中的中线线．．2. 证明证明: 等腰三角形两腰上的中线相等等腰三角形两腰上的中线相等.求求证证：：BD=CE．．EDCBA 分析：分析：要要证证BD=CE，就需，就需证证BD和和CE所在的两所在的两个三角形的全等．个三角形的全等． 刚刚才，我才，我们们只是只是发现发现并并证证明了等腰三角形中比明了等腰三角形中比较较特殊的特殊的线线段段(角平分角平分线线、中、中线线、高、高)相等，相等，还还有其他的有其他的结论吗结论吗?你能从上述你能从上述证证明的明的过过程中得到什么启示程中得到什么启示? 把腰二等分的把腰二等分的线线段相等，把底角二等分的段相等，把底角二等分的线线段相段相等．如果是三等分、四等分等．如果是三等分、四等分……结结果如何呢果如何呢?想一想想一想, 做一做做一做议一议议一议 1．在等腰三角形．在等腰三角形ABC中，中，(1)如果如果∠∠ABD= ∠ ∠ABC，，∠∠ACE= ∠ ∠ACB，那么，那么BD=CE吗吗?如果如果∠∠ABD= ∠ ∠ABC，，∠∠ACE= ∠ ∠ACB呢呢?由此，你能得到一个什么由此，你能得到一个什么结论结论?(2)如果如果AD= AC，，AE= AB，那么，那么BD=CE吗吗?如果如果AD= AC，，AE= AB呢呢?由此你得到什么由此你得到什么结论结论?小结小结 （（1）在）在△△ABC中，如果中，如果AB=AC，，∠∠ABD= ∠ ∠ABC，，∠∠ACE= ∠ ∠ACB，那么，那么BD=CE. （（2）在）在△△ABC中，如果中，如果AB=AC，，AD= AC，，AE= AB，那么，那么BD=CE. 简简述述为为：： （（1）在）在△△ABC中，如果中，如果AB=AC，，∠∠ABD=∠ ∠ACE，那么，那么BD=CE. （（2）在）在△△ABC中，如果中，如果AB=AC，，AD=AE，那么，那么BD=CE. 2．前面已．前面已经证经证明了等腰三角形的两个底角相等，明了等腰三角形的两个底角相等，反反过过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗吗?议一议议一议已知：在已知：在△△ABC中，中，∠∠B=∠ ∠C，，求求证证：：AB=AC．． 分析：分析：只要构造两个全等的三角形，使只要构造两个全等的三角形，使AB与与AC成成为对应边为对应边就可以了就可以了. 比如作比如作BC的中的中线线，或，或作角作角A的平分的平分线线，或作，或作BC上的高，都可以把上的高，都可以把△△ABC分成两个全等的三角形．分成两个全等的三角形． CBA定理：定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形有两个角相等的三角形是等腰三角形. (等角等角对对等等边边.)等腰三角形的判定定理：等腰三角形的判定定理：想一想想一想 小明小明说说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这这两个角所两个角所对对的的边边也不相等．你也不相等．你认为这认为这个个结论结论成立成立吗吗?如果成如果成立，你能立，你能证证明它明它吗吗? 我我们们来看一位同学的想法：来看一位同学的想法： 如如图图，在，在△△ABC中，已知中，已知∠∠B≠∠ ∠C，此，此时时AB与与AC要么相等，要么不相等．要么相等，要么不相等． 假假设设AB=AC，那么根据，那么根据“等等边对边对等角等角”定定理可得理可得∠∠C=∠ ∠B，但已知条件是，但已知条件是∠∠B≠∠ ∠C．．“∠∠C=∠ ∠B”与已知条件与已知条件“∠∠B≠∠ ∠C”相矛盾，因相矛盾，因此此 AB≠AC 你能理解他的推理你能理解他的推理过过程程吗吗?CBA 再例如，我再例如，我们们要要证证明明△△ABC中不可能有两个直角，也可中不可能有两个直角，也可以采用以采用这这位同学的位同学的证证法法. 假假设设有两个角是直角，不妨有两个角是直角，不妨设设∠∠A=90°，，∠∠B=90°，，可得可得∠∠A+∠ ∠B=180°，但，但△△ABC中中∠∠A+∠ ∠B+∠ ∠C=180°“∠ ∠A+∠ ∠B=180°”与与“∠∠A+∠ ∠B+∠ ∠C=180°”相矛盾，相矛盾，因此因此△△ABC中不可能有两个直角．中不可能有两个直角． 上面的上面的证证法有什么共同的特点呢法有什么共同的特点呢? 在上面的在上面的证证法中，都是先假法中，都是先假设设命命题题的的结论结论不成立，然不成立，然后由此推后由此推导导出了与已知或公理或已出了与已知或公理或已证证明明过过的定理相矛盾，的定理相矛盾，从而从而证证明命明命题题的的结论结论一定成立．我一定成立．我们们把它叫做把它叫做反反证证法法．． 已知：如已知：如图图，，∠∠CAE是是△△ABC的外角，的外角，AD∥ ∥BC且且∠∠1=∠ ∠2．．求求证证：：AB=AC．．随堂练习随堂练习 课时小结课时小结 本本节课节课我我们们通通过观过观察探索、察探索、发现发现并并证证明了等腰三明了等腰三角形中相等的角形中相等的线线段，并由特殊段，并由特殊结论归纳结论归纳出一般出一般结论结论，，接着用接着用“反反过过来来”思考思考问题问题的方法的方法获获得并得并证证明了等腰三明了等腰三角形的判定定理角形的判定定理“等角等角对对等等边边”，最后，最后结结合合实实例了解了例了解了反反证证法的含法的含义义．． 活动与探究活动与探究 如如图图，，BD平分平分∠∠CBA，，CD平分平分∠∠ACB，且，且MN∥ ∥BC，，设设AB=12，，AC=18，，则则△△AMN的周的周长长是是 . 分析：分析：要求要求△△AMN的周的周长长，，则则需求出需求出AM+MN+AN，而，而这这三条三条边边都是未知的．由已知都是未知的．由已知AB=12，，AC=18，可使我，可使我们联们联想到想到△△AMN的周的周长长需需转转化成与化成与AB、、AC有关系有关系的形式．而已知中的角平分的形式．而已知中的角平分线线和平和平行行线线告告诉诉我我们图们图形中有等腰三角形形中有等腰三角形出出现现，因此，找到，因此，找到问题问题的突破口．的突破口． NMCBAD。