[初三数学精品教案集]一元二次方程全章总教案（2003.9）.doc

中小学教育资源交流中心 提供一元二次方程的解法(一)　一、教学目的1． 使学生掌握用直接开平方法解一元二次方程．2．引导学生通过特殊情况下的解方程，小结、归纳出解一元二次方程ax2+c=0(a＞0，c＜0)的方法．　　二、教学重点、难点重点：准确地求出方程的根．难点：正确地表示方程的两个根．　　三、教学过程　　复习过程回忆数的开方一章中的知识，请学生回答下列问题，并说明解决问题的依据．求下列各式中的x：　　1．x2=225； 2．x2-169=0；　　3．36x2=49； 4．4x2-25=0．　　回答解题过程中的依据．　　解：1．x=±15；　　2．x=±13；　　　　解题的依据是：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．　　即 一般地，如果一个数的平方等于a(a≥0)，那么这样的数有两个，它们是互为相反数．　　引入新课　　我们已经学过了一些方程知识，那么上述方程属于什么方程呢？[学生答：一元二次方程．]　　新课　　例1 解方程 x2-4=0．　　解：先移项，得x2=4．　　　　即x1=2，x2=-2．　　这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．　　例2 解方程 (x+3)2=2．　　解：因为x+3是2的平方根，　　　　　　　　　　补充例题　　解下列方程：　　(1)x2=196；(2)4x2-3=0；　　(3)(x-2)2=5．　　解：(l)x=±14，　　∴x1=14，x2=-14．　　(2)移项并整理，得　　　　　　　(3)因为x-2是5的平方根，　　　　　　　　　　小结　　1．本节主要学习了简单的一元二次方程的解法——直接法．　　2．直接法适用于ax2+c=0(a＞0，c＜0)型的一元二次方程．　　练习：略．　　作业：略．　　思考题：唯一性选择题　　(1)方程x2=0的实根个数是 [ ]　　A．0个 B．l个　　C．2个 D．以上答案都不对　　(2)方程(x-a)2=b(b＞0)的根是 [ ]　　　　　　　(答案：(1)B (2)D．)　　四、教学注意问题要注意新课前复习开方的有关知识．一元二次方程的解法(二)　　一、教学目的　　1．使学生掌握用配方法解一元二次方程的方法．　　2．使学生能够运用适当变形的方法，转化方程为易于用配方法求解的形式，来解某些一元二次方程．并由此体会转化的思想．　　二、教学重点、难点　　重点：掌握配方的法则．　　难点：凑配的方法与技巧．　　三、教学过程　　复习过程　　用开平方法解下列方程：　　(1)x2=441； (2)196x2-49=0；　　　　解：(1)开方，得x=±21，　　∴x1=21，x2=-21．　　(2)移项，得 196x2=49，　　两边都除以196，得　　　　　　　　　　　　　　　　引入新课　　我们知道，形如x2-A=0的方程，可变形为x2=A(A≥0)，再根据平方根的意义，用直接开平方法求解．那么，我们能否将形如ax2+bx+c=0(a＞0)　　的一类方程，化为上述形式求解呢？这正是我们这节课要解决的问题．　　新课　　我们研究方程x2+6x+7=0的解法：　　将方程视为：x2+2·x·3=-7，　　即 x2+2·x·3+32=32-7，　　∴ (x+3)2=2，　　　　　　　这种解一元二次方程的方法叫做配方法．这种方法的特点是：先把方程的常数项移到方程的右边，再把左边配成一个完全平方式，如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解．　　补充例题　　对下列各式进行配方：　　(1)x2+8x+______=(x+ )2；　　(2)x2-5x+______=(x- )2；　　　　(4)x2+ax+______=(x+ )2；　　　　通过练习，使学生认识到；为了配成完全平方，应填上一次项系数一半的平方．　　通过配方，一元二次方程总可以转化为(x+p)2=q的形式，然后解之，得出方程的解．　　例1 解方程x2-4x-3=0．　　配方法解之．在解的过程中，介绍配方的法则．　　例2 解方程2x2+3=7x．　　　　小结　　应用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的要点是：　　(1)化二次项系数为1；　　(2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数；　　(3)方程两边各加上一次项系数一半的平方；　　方程无实根．　　练习：略．　　作业：略．　　四、教学注意问题　　1．注意配方法解一元二次方程思路的引入．　　2．注意应用配方法解一元二次方程的基本步骤的总结与归纳．一元二次方程的解法(三)　　一、教学目的　　1．使学生掌握一般一元二次方程的求根公式的推导过程，并由此培养学生的分析、综合和计算能力．　　2．使学生掌握公式法解一元二次方程的方法．　　二、教学重点、难点　　重点：要求学生正确运用公式解方程．　　难点：求根公式的推导过程．　　三、教学过程　　复习提问　　提问：当x2=c时，c≥0时方程才有解，为什么？　　练习：用配方法解下列一元二次方程　　(1)x2-8x=20；　　(2)2x2-6x-1=0．　　解：(1)x2-8x+16=20+16，　　∴ (x-4)2=36，即x-4=±6，　　∴ x1=10，x2=-2．　　　　　　　　　　　　　　　结合上述求解过程，引导学生回忆解一元二次方程时，应用配方法求解的基本步骤．　　引入新课　　我们思考用配方法解一般形式的一元二次方程，应如何配方来进行求解？　　新课　　(引导学生讨论)用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的步骤．　　解：∵a≠0，两边同除以a，得　　把常数项移到方程右边，并两边各加上一次项系数的一半的平方，得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(a≠0)的求根公式．用此公式解一元二次方程的方法叫做公式法．　　要在这里指点学生，应用求根公式解一元二次方程的关键在于：(1)将方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)；(2)将各项的系数a，b，c代入求根公式．　　例1 解方程x2-3x+2=0．　　解：∵a=1，b=-3，c=2，b2-4ac=(-3)2-4×1×2=1＞0，　　　　　　　注意讲此例时，要强调对a，b，c的值，要注意其正负符号，如此题中b=-3．　　例2 解方程2x2+7x=4．　　解：移项，得2x2+7x-4=0，　　∵a=2，b=7，c=-4，b2-4ac=72-4×2×(-4)=81＞0，　　　　　　　注意讲此例时，要强调化方程为一般形式后，再确定a，b，c的值．　　小结　　1．本节课我们推导出了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式，即　　要重点让学生注意到应用公式的大前提，即b2-4ac≥0．　　2．应注意把方程化为一般形式后，再用公式法求解．　　练习：略．　　作业：略．　　四、教学注意问题　　1．推导求根公式时，步骤要规范．　　2．讲例1、例2时，每一个解题步骤都应严格按教材要求讲，使学生注意步骤的规范性．一元二次方程的解法(四)一、教学目的　　使学生进一步熟练掌握利用求根公式解一元二次方程的方法．　　二、教学重点、难点　　重点：用求根公式求一元二次方程的根的方法．　　难点：含有字母参数的一元二次方程的公式解法．　　三、教学过程　　复习提问　　1．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么？　　　　2．求根公式成立的前提是什么？　　答：b2-4ac≥0．　　引入新课　　在用求根公式解一元二次方程时，是否会遇到一些特殊现象？可看下述几例．　　新课　　　　　　　　　　　　　　　　注意强调：b2-4ac=0时，一元二次方程有相等的两个实根．　　例4 解方程x2+x-1=0．(精确到0.001)　　解：∵a=1，b=1，c=-1，　　　　　　　　　　　　　注意在解求近似解的方程时，应按要求保留近似值的位数．　　例5 解关于x的方程　　x2-m(3x-2m+n)-n2=0．　　解：展开，整理得　　x2-3mx+(2m2-mn-n2)=0，　　∵a=1，b=-3m，c=2m2-mn-n2，　　b2-4ac=(-3m)2-4×1×(2m2-mn-n2)=m2+4mn+4n2=(m+2n)2≥0，　　　　∴x1=2m+n，x2=m-n．　　在讲此例时，应注意“分析”中的要点：即化方程为一元二次方程的一般形式，再确定b2-4ac≥0，继而求解．要把这些给学生讲清楚．　　小结　　　2．在解含有字母系数的一元二次方程时，应注意化方程为一般形式，确定b2-4ac≥0后，再用求根公式解之．　　练习 略．　　作业 略．　　四、教学注意问题　　1．给学生讲清楚：有了求根公式，解方程的问题就转化为求代数式的值的问题．这是一种重要的化未知为已知的求解思想．　　2．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有无实数根的关键在于b2-4ac的值是正、是负还是等于0，因此应用公式一般应先计算b2-4ac的值，这样可以简化运算过程．一元二次方程的解法(五)　　一、教学目的　　使学生掌握应用因式分解法解某些系数较为特殊的一元二次方程的方法．　　二、教学重点、难点　　重点：用因式分解法解一元二次方程．　　难点：将方程化为一般形式后，对左侧二次三项式的因式分解．　　三、教学过程　　复习提问　　1．在初一时，我们学过将多项式分解因式的哪些方法？　　答：提取公因式法；平方差公式；逆用乘法公式；十字相乘法等．　　2．方程x2=4的解是多少？　　∵x2=4， ∴x=±2，　　即 x1=2，x2=-2．　　引入新课　　方程x2=4还有其他解法吗？　　新课　　众所周知，方程x2=4还可用公式法解．　　由x2-4=0知a=1，b=0，c=-4，则b2-4ac=0-4×1×(-4)=16＞0，　　　　即 x1=2，x2=-2．　　此法要比开平方法繁冗．本课，我们将介绍一种较为简捷的解一元二次方程的方法——因式分解法．　　我们仍以方程x2=4为例．　　移项，得 x2-4=0，　　对x2-4分解因式，得　　(x+2)(x-2)=0．　　我们知道：　　　　　　∴ x+2=0，x-2=0．　　即 x1=-2，x2=2．　　由上述过程我们知道：当方程的一边能够分解成两个一次因式而另一边等于0时，即可解之．这种方法叫做因式分解法．　　例1 解下列方程：　　(1)x2-3x-10=0；　　(2)(x+3)(x-1)=5．　　在讲例1(1)时，要注意讲应用十字相乘法分解因式；　　讲例1(2)时，应突出讲将方程整理成一般形式，然后再分解因式解之．　　例2 解下列方程：　　(1)3x(x+2)。