高二数学选修不等式证明四法（比较法、综合法、分析法、反证法与放缩法）.docx

高二数学选修不等式证明四法（比较法、综合法、分析法、反证法与放缩法） 不等式证明一〔比拟法〕比拟法是证明不等式的一种最重要最根本的方法比拟法分为：作差法和作商法 一、 作差法w.w.w.k.s.5.u.c.o.m假设a，b∈R，那么： a－b＞0?a＞b；a－b＝0?a＝b；a－b＜0?a＜b 它的三个步骤：作差——变形——判定符号〔与零的大小〕——结论.作差法是当要证的不等式两边为代数和形式时，通过作差把定量比拟左右的大小转化为定性判定左—右的符号，从而降低了问题的难度作差是化归，变形是手段，变形的过程是因式分解〔和差化积〕或配方，把差式变形为假设干因子的乘积或假设干个完全平方的和，进而判定其符号，得出结论.例1、求证：x2 + 3 > 3x 证：∵(x2 + 3) ? 3x = x?3x?()?()?3?(x?)? ∴x2 + 3 > 3x 例2、 〔课本P22例2〕确定a, b, m都是正数，并且a 0 ∴a?mam(b?a)? ?0 即：b?mbb(b?m) 变式：假设a > b，结果会怎样？假设没有“a a2b3 + a3b2 证：(a5 + b5 ) ? (a2b3 + a3b2) = ( a5 ? a3b2) + (b5 ? a2b3 )= a3 (a2 ? b2 ) ? b3 (a2 ? b2) = (a2 ? b2 ) (a3 ? b3) = (a + b)(a ? b)2(a2 + ab + b2)∵a, b都是正数，∴a + b, a2 + ab + b2 > 0又∵a ? b，∴(a ? b)2 > 0 ∴(a + b)(a ? b)2(a2 + ab + b2) > 0 即：a5 + b5 > a2b3 + a3b2例4、 甲乙两人同时同地沿同一路途走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，假如m ? n，问：甲乙两人谁先到达指定地点？ 1 解：设从启程地到指定地点的路程为S，甲乙两人走完全程所需时间分别是t1, t2，那么：t1tm?1n?S,222SS(m?n)SS,t2???t2 可得：t1? m?n2mn2m2n2SS(m?n)S[4mn?(m?n)2]S(m?n)2∴t1?t2? ????m?n2mn2(m?n)mn2mn(m?n)∵S, m, n都是正数，且m ? n，∴t1 ? t2 0，b>0，那么：aaa＞1?a＞b；＝1?a＝b；＜1?a＜b bbb它的三个步骤：作商——变形——判定与1的大小——结论.作商法是当不等式两边为正的乘积形式时，通过作商把其转化为证明左/右与1的大小。

例5、设a, b ? R，求证：ab?(ab)+aba?b2?abba〔左≥右为课本P22例3〕证：先证不等式左≥中：由于要比拟的两式呈幂的构造，故结合函数的单调性，故可采纳作商比较法证明. 作商：aabb(ab)a?b2?aa?b2bb?a2a?()ba?b2，由指数函数的性质a当a = b时，()ba?b2?1a?ba?0,()2ba?b2a 当a > b > 0时，?1,b?1a?b2a当b > a > 0时， 0??1,b即ab?(ab)aba?b2a?ba?0,()2b?1 2 1a?bbaa?b?(a?b)〕 〔中≥右请自己证明，题可改为a, b ? R，求证：2+作业补充题：1.确定a、b?0,求证：42ba11??? a2b2ab32求证：1?2x?x?2x3.确定a,b?R?,m,n?N*,m?n,求证：a?b?a4.确定c＞a＞b＞0，求证mmm?n?bn?an?bm?nab?. c?ac?baa?cc??. bb?dd5.确定a、b、c、d都是正数，且bc＞ad，求证不等式证明二〔综合法〕三、 综合法：从确定条件启程，利用定义、公理、定理、某些已经证明过的不等式及不等式的性质经过一系列的推理、论证等而推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法。

〔也叫顺推证法或由因导果法〕例1、确定a, b, c是不全相等的正数，求证：a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc分析：不等式左边含有“a+b”的形式，我们可以运用根本不等式：a+b≥2ab;还可以这样思索：不等式左边出现有三次因式：ab,bc,ca,ab,bc,ca的“和”，右边有三正数a,b,c的“积”，我们可以运用重要不等式：a+b+c≥3abc. 证：∵b2 + c2 ≥ 2bc , a > 0 , ∴a(b2 + c2) ≥ 2abc 同理：b(c2 + a2) ≥ 2abc , c(a2 + b2) ≥ 2abc ∴a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) ≥ 6abc 当且仅当b=c,c=a,a=b时取等号，而a, b, c是不全相等的正数 ∴三式不同时取等号，三式相加得 a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc 本例证法可称为三合一法，当要证的不等式关于字母具有对称形式时，我们常可把其看成是由假设干个构造一样但所含字母较少的不等式相加或相乘而得，我们只要先把减了元的较简洁的不等式证出，即可完成原不等式的证明。

例2、a , b, c?R, 求证：1?(a?b?c)(3332222222222111??)?9 abc 31119??)? a?bb?cc?a2abc3??? 3?b?cc?aa?b22?(a?b?c)(证：1?、法一：a?b?c?33abc, 法二：左边?1111, 两式相乘即得 ???33abcabca?b?ca?b?ca?b?cbacacb???3?(?)?(?)?(?) abcabacbc ≥ 3 + 2 + 2 + 2 = 9 2?、∵a?bb?cc?a33???(a?b)(b?c)(c?a) 22221111 ???33a?bb?cc?a(a?b)(b?c)(c?a) 两式相乘即得3?、由上题：(a?b?c)(1119??)? a?bb?cc?a2cab9?1??1?? ∴1?a?bb?cc?a2abc3??? 即：b?cc?aa?b2例3、确定a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，求证：a2?b2?c2?(a?b?c)2 证明：左－右=2〔ab+bc－ac〕，∵a，b，c成等比数列，∴b?ac又∵a，b，c都是正数，所以0?b?2ac≤a?c?a?c，∴a?c?b 2∴2(ab?bc?ac)?2(ab?bc?b2)?2b(a?c?b)?0∴a2?b2?c2?(a?b?c)2说明：此题在证明过程中运用了比拟法、根本不等式、等比中项性质，表达了综合法证明不等式的特点例4、制造一个容积为V〔定值〕的圆柱形容器，试分别就容器有盖及无盖两种状况，求：怎样选取底半径与高的比，运用料最省？分析：依据1题中不等式左右的构造特征，考虑运用“根本不等式”来证明.对于2题，抓住容积为定值，建立面积目标函数，求解最值，是此题的思路. 解：设容器底半径为r,高为h,那么V=πrh,h=(1)当容器有盖时，所需用料的面积： 4 2 V. 2?rS=2πr+2πrh=2πr+222VV2V2VV=2πr++≥332?r???332?V2 rrrrr当且仅当2πr=2Vr1VV,即r=3,h=2=2r,取“=”号.故?时用料最省.?rh2r2?22〔2〕当容器无盖时，所需用料面积：S=πr+2πrh=πr+2VV2V=πr++≥33?V2rrr当且仅当πr=作业补充题：2VVV,r=3,h=2=r.即r=h时用料最省.?rr?1、设a, b, c ? R，1?求证：a?b?222(a?b) 2c2?a2?2(a?b?c)22222?求证：a?b?b?c?3?假设a + b = 1, 求证：a?11?b??2 222、设a>0,b>0,c>0且a+b+c=1,求证：8abc≤(1-a)(1-b)(1-c).3、设a,b,c为一个不等边三角形的三边，求证：abc>(b+c-a)(a+b-c)(c+a-b).a?b3a3?b3)?4、确定a, b?R，求证：( 22+5、设a>0, b>0，且a + b = 1，求证：(a?12125)?(b?)2? ab2不等式证明三〔分析法〕 当用综合法不易发觉解题途径时，我们可以从求证的不等式启程，逐步分析寻求使这个不等式成立的充分条件，直至所需条件为确定条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的不等式成立，这种执果所因的思索和证明方法叫做分析法。

运用分析法证明时，要留意表述的标准性，当问题比拟困难时，通常把分析法和综合法结合运用，以分析法寻求证明的思路，而用综合法进展表述，完成证明过程例1、求证：3?7?25证：分析法： 综合表述： 5本文来源：网络收集与整理，如有侵权，请联系作者删除，谢谢！第8页 共8页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页。