几何（全等、相似、垂直平分线、角平分线）.docx

第21讲 全等三角形综合【知识要点】边边边公理（SSS），有三边对应相等的两个三角形全等.边角边公理（SAS）：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 角边角公理（ASA）：有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等.角角边定理（AAS）：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等斜边直角边公理：有斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等.【典型例题】例1．已知，如图，AB=AC，BD=DC，F是AD的延长线上一点，求证：．DCBFAAEDBCMBNB例2．已知如图，△ABC中，AB=AC，D、E分别是AC、AB上的点，M、N分别是CE、BD上的点，若MA⊥CE，AN⊥BD，AM=AN求证：EM=DNADECBFO例3．如图，AB=AC，AD=AE，BE和CD相交于点O，AO的延长线交BC于点F例4．如图所示，BC是和的公共边，AB=DC，AC=DB，AE、DF分别垂直BC于E、F求证：AE=DF例5．如图，D是等边三角形ABC内一点，DB=DA，BE=BA，，求？【小试锋芒】ABDCE1．已知在中，是过点A的直线，于点D，于点E，求证：BD=CE+DE．ABDFCE2．如图，在中，是上一点，于点C，且EC=BD，又已知DF=EF．求证：（1）；（2）．3 如图所示，，，DE=CE。

E是BC上的一点求证：AE=BEABDCEF4 如图，AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，具有BF=AC，FD=CD，试探究BE与AC的位置关系.【大展身手】ABFDCE1．如图，．求证：．AEBOCDF12432．如图，经过AC的中点O，分别交AB和CD于E、F．求证：OE=OF．第22讲 三角形的计算和证明【知识要点】1.三角形的内角和，外角，中线，高线，角平分线，中位线的性质2.等腰三角形的性质：等角对等边，等边对等角，三线合一3.等边三角行的性质：三条边相等，三个角都是60°，三线合一4.直角三角行的性质：两锐角互余，勾股定理，30°和45°直角三角形三边之比【经典练习】等腰三角形和等边三角形一、填空题1.在等腰三角形中顶角为40°时底角等于_________，一个底角为50°，则顶角等于_________.2.等腰三角形的两边分别是7 cm和3 cm，则周长为_________.3.等腰三角形的一边长为2，周长为4+7，则此等腰三角形的腰长为_________.4.如图1，D在AC上，且AB=BD=DC，∠C=40°，则∠A=_________，∠ABD=_________.5.如图2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，且AD=AC，若∠A=40°，则∠ACD=_________，∠DCB=_________，若∠A=α，则∠BCD=_________，由此我们可得出∠BCD与∠A的关系是∠BCD=________.6.△ABC中，若∠A=∠B=∠C，则此三角形为_________三角形.7.一个等边三角形的角平分线、高、中线的总条数为_________.8.等边三角形两条中线相交所成的锐角的度数为_________.二、选择题9.若等腰△ABC的顶角为∠A，底角为∠B=α，则α的取值范围是（ ）A.α＜45° B.α＜90° C.0°＜α＜90° D.90°＜α＜180°10.如果三角形一边的中线和这边上的高重合，则这个三角形是（ ）A.等边三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形三、解答题12.如图3，在AB=AC的△ABC中，D点在AC边上，使BD=BC，E点在AB边上，使AD=DE=EB，求∠EDB.13.如图5，在△ABC中，AB=AC，D是AB上一点，DE⊥BC，E是垂足，ED的延长线交CA的延长线于点F，求证：AD=AF.直角三角形一、填空题14.Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，AD平分∠CAB，点D到AB的距离是3.8 cm，则BC=_________ cm.15.△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，AD⊥BC于D，若DB=4，则AB=_________，BC=_________.16.如下图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中点，DE⊥AC，则∠C=___ __°；CE∶EA=__________.二、选择题17.在直角三角形中，一条边长为a，另一条边长为2a，那么它的三个内角的比为（ ）A.1∶2∶3 B.2∶2∶1 C.1∶1∶2 D.以上都不对18.若三角形的一边等于另一边的一半，那么这边所对的角度为（ ）A.30° B.45° C.60° D.无法确定19.在△ABC中∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，CD⊥AB于D点，AB=a，则BD的长为（ ）A. B. C. D.以上都不对三、解答题20.△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足是D，∠A=60°.求证：BD=3AD.三角形综合一、选择题21.给出下列命题，正确的有（ ）①等腰三角形的角平分线、中线和高重合； ②等腰三角形两腰上的高相等； ③等腰三角形最小边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形A.1个 B.2个 C.3个 D.4个22.下列命题，正确的有（ ）①三角形的一条中线必平分该三角形的面积；②直角三角形中30°角所对的边等于另一边的一半；③有一边相等的两个等边三角形全等；④等腰三角形底边上的高把原三角形分成两个全等的三角形A.1个 B.2个 C.3个 D.4个23．如图，D是等腰Rt△ABC内一点，BC是斜边，如果将△ABD绕点A逆时针方向旋转到△ACD′的位置，则∠ADD′的度数是( )(A)25°． (B)30°． (C)35°． (D)45°．24．如图，分别以的直角边AC，BC为边，在外作两个等边三角形和，连结BE，AF.求证：BE=AF。

ABCDO25.如图，点是等边内一点，．将绕点按顺时针方向旋转得，连接．（1）求证：是等边三角形；（2）当时，试判断的形状，并说明理由；第23讲 垂直平分线和角平分线【知识要点】1、垂直平分线性质及判定定理判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.2、角平分线性质及判定定理判定定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.性质定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.定理：三角形的三条内角平分线相交于一点，并且这一点到三条边距离相等.3、用尺规作图画线段垂直平分线，已知角的平分线.垂直平分线 一、判断题 1.如图（1），OC=OD直线AB是线段CD的垂直平分线2.如图（1），射成OE为线段CD的垂直平分线3.如图（2），直线AB的垂直平分线是直线CD4.如图（3），PA=PB，P′A=P′B，则直线PP′是线段AB的垂直平分线 （1） （2） （3）二、填空题1.如图，已知直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足为D，点P是MN上一点，若AB=10 cm，则BD=__________cm；若PA=10 cm，则PB=__________cm；此时，PD=__________cm.2.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，△ABD的周长是12 cm，AC=5cm，则AB+BD+AD=________cm；AB+BD+DC=__________cm；△ABC的周长是__________cm.3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=15°,DE是AB的中垂线，垂足为D，交BC于E，BE=5，则AE=__________，∠AEC=__________，AC=__________ .4. 如图（1）已知线段AB及一点P，PA=PB=3cm，则点P在__________上.5.如图（2），在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC交BC于D，则点D在__________上. （1） （2） （3）6.如图（3），BC是等腰△ABC和等腰△DBC的公共底，则直线AD必是__________的垂直平分线.三、选择题1.下列各图形中，是轴对称图形的有多少个①等腰三角形 ②等边三角形 ③点 ④角 ⑤两个全等三角形A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.如左下图，AC=AD，BC=BD，则A.CD垂直平分AD B.AB垂直平分CD C.CD平分∠ACB D.以上结论均不对 3.如右上图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5 cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm4.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是A.直角三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形 D.等边三角形四、解答题如右图，P是∠AOB的平分线OM上任意一点，PE⊥CA于E，PF⊥OB于F，连结EF.求证：OP垂直平分EF.角平分线一、判断题1.角的平分线上的点到角的两边的距离相等2.到角的两边距离相等的点在角的平分线上3.角的平分线是到角两边距离相等的点的集合4.角平分线是角的对称轴二、填空题1.如图（1），AD平分∠BAC，点P在AD上，若PE⊥AB，PF⊥AC，则PE__________PF.2.如图（2），PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE，连接AP，则∠BAP__________∠CAP.3.如图（3），∠BAC=60°，AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，若AD=，则PE=__________.4.已知，如图（4），∠AOB=60°,CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，若CD=CE，则∠COD+∠AOB=_________度.5.如图（5），已知MP⊥OP于P，MQ⊥OQ于Q，S△DOM=6 cm2，OP=3 cm，则MQ=__________cm.三、选择题1.如左下图，在△ABC中，∠ACB=90°,BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于。