江西省2022年中考数学总复习教学案-专题一　多解填空题.docx

专题一　多解填空题授课提示：对应学生用书第104页考情分析满足条件的多解型试题是江西省2013年中考试题开始创设的一类独创性题型，一直放在填空题的最后一题，考查宗旨主要是进一步强调分类讨论和数形结合思想方法的运用．考查类型：代数多解题，①以直角坐标系为背景多解题；②以方程、函数为背景多解题．几何多解题，①以三角形为背景多解题；②以四边形为背景多解题；③以圆为背景多解题. 代数多解题　在直角坐标系xOy中，三个点O(0,0)，A(4,2)，B(0,2)到某一条直线的距离均相等，则这条直线的解析式可以是__________________．解析：在直角坐标系xOy中，三个点O(0,0)，A(4,2)，B(0,2)到某一条直线的距离均相等，则这条直线的解析式可以是：y＝1或x＝2或y＝0.5x＋1.故答案为y＝1或x＝2或y＝0.5x＋1.答案：y＝1或x＝2或y＝0.5x＋1[跟踪训练]1．一组数据6,8,8，x的中位数和平均数相等，则x的值为________．解析：当x≥8时，中位数与平均数相等，则得到(6＋8＋8＋x)＝8，解得x＝10；当x≤6时：(6＋8＋8＋x)＝7，解得x＝6；当6＜x＜8时：(6＋8＋8＋x)÷4＝(x＋8)÷2，解得x＝6，舍去；所以x的值为6或10；故填6或10.答案：6或102．若关于x的函数y＝(a－3)x2－(4a－1)x＋4a的图象与坐标轴只有两个交点，则a的值为__________．解析：①当a－3≠0时，图象与坐标轴只有两个交点，则与x轴只有一个交点，则Δ＝(4a－1)2－4(a－3)×4a＝0，解得a＝－，当抛物线过原点时，图象与坐标轴也只有两个交点，故a＝0；②当a＝3时，y＝－11x＋12，与坐标轴只有两个交点．故答案为－或3或0.答案：－或3或03．(2021·信丰模拟)已知点P(x，y)是直线y＝－x＋4上的一点，且满足|xy|＝4，则点P的坐标可以是____________________________．解析：P(x，y)是直线y＝－x＋4上的一点，∴y＝－x＋4.∵|xy|＝4，∴|x(－x＋4)|＝4.∴x2－4x＋4＝0或x2－4x－4＝0.∴x＝2或x＝2＋2或x＝2－2；∴P(2,2)或P(2＋2，2－2)或P(2－2，2＋2)．故答案为(2,2)或(2＋2，2－2)或(2－2，2＋2)．答案：(2,2)或(2＋2，2－2)或(2－2，2＋2) 　等腰三角形的腰和底不确定　(2021·南昌二模)已知矩形AOBC的边AO，OB分别在y轴、x轴正半轴上，点C的坐标为(8,6)，点E是x轴上任意一点，连接EC，交AB所在直线于点F，当△ACF为等腰三角形时，EF的长为__________．解析：图1△ACF为等腰三角形有三种情况：①如图1，当AF＝CF时，点E与点O重合，由题意，得OB＝8，BC＝6，∴由勾股定理，得OC＝10.∵四边形AOBC为矩形，∴EF＝5；图2②如图2，当AF＝AC＝8时，由①可知OC＝10，∵四边形AOBC为矩形，∴AB＝OC＝10，AC∥OB.∴△AFC∽△BFE.∴＝＝.∴BE＝BF＝10－8＝2.∴在Rt△BCE中，由勾股定理，得CE＝＝2.∵＝＝4，∴EF＝CE＝；图3③如图3，当CF＝AC＝8时，过点C作CD⊥AF于点D，∴AD＝DF.∵AC＝8，BC＝6，∴AB＝10，∴CD＝＝.∴在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD＝＝.∴BD＝AB－AD＝10－＝，DF＝AD＝，AF＝，BF＝DF－BD＝.∵AC∥OE，∴△AFC∽△BFE.∴＝.∴＝.∴BE＝.∵CF＝AC，∴EF＝BE.∴EF＝.综上所述，EF的长为5或或.故答案为5或或.答案：5或或等腰三角形的腰和底不确定需分：①等腰三角形的边是底边还是腰；②等腰三角形的中线(或高线)已知，但未明确是腰上还是底边上的中线(或高线)，故需分腰和底边上的中线(或高线)来进行讨论，另外，若是等腰三角形的高线，还需要分腰上的高线在三角形内和三角形外的情况．　[跟踪训练]4．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，将△ABC沿射线BC方向平移m个单位得到△DEF，顶点A，B，C分别与D，E，F对应，若以A，D，E为顶点的三角形是等腰三角形，且AE为腰，则m的值是________．解析：分2种情况讨论：①当DE＝AE时，作EM⊥AD，垂足为M，AN⊥BC于N，则四边形ANEM是平行四边形，∴AM＝NE，AM＝AD＝m，CN＝BC＝4.∴m＋m＝8－(4－m)．∴m＝8；②当AD＝AE＝m时，∵将△ABC沿射线BC方向平移m个单位得到△DEF，∴四边形ABED是平行四边形．∴BE＝AD＝m.∴NE＝m－4.∵AN2＋NE2＝AE2，∴32＋(m－4)2＝m2.∴m＝.综上所述，当m＝8或时，△ADE是等腰三角形．故答案为8或.答案：8或5．如图，在▱ABCD中，点E是BC的中点，tan∠ABC＝2，AB＝2，BC＝10，点P为边AD上的动点，若△BEP是以BE为腰的等腰三角形，则PD的长为__________．解析：如图1，作EH⊥AD于H，过A作AO⊥BC于O，∴AH＝OE，HE＝AO.∵BC＝10，点E是BC的中点，∴BE＝5.∵tan∠ABC＝＝2，∴设AO＝2x，BO＝x.∴AB＝x＝2.∴x＝2.∴OA＝4，OB＝2，OE＝3.∴AH＝3，HE＝4.如图1，当EP＝EB＝5时，PH＝3，∴PD＝AD－AH－HP＝10－3－3＝4或PD＝AD＝10；如图2，当BP＝BE＝5时，过P作PQ⊥BC于Q，∴PQ＝AO＝4.∴BQ＝＝3.∴AP＝OQ＝1.∴PD＝AD－AP＝10－1＝9.综上所述，PD的长为10或9或4.故答案为10或9或4.答案：10或9或4 直角三角形的直角顶点不确定　已知Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∠ACB＝90°，以AC为一边在Rt△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为__________．解析：①如图1中，以点C所在顶点为直角时，∵AC＝CD＝4，BC＝3，∴BD＝CD＋BC＝7；②如图2中，以点D所在顶点为直角时，作DE⊥BC于E，连接BD.在Rt△BDE中，DE＝2，BE＝5，∴BD＝＝；③如图3中，以点A所在顶点为直角时，作DE⊥BC的延长线于E，在Rt△BDE中，DE＝4，BE＝7，∴BD＝＝.故答案为7或或.答案：7或或直角三角形直角顶点不确定时需要考虑以下两方面：①从角考虑哪个顶点为直角顶点；②从边考虑，哪条边为直角边，哪条边为斜边．　[跟踪训练]6.如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝2，BC＝3，∠B＝45°，点P在BC边上，若以A，B，P为顶点的三角形是等腰三角形，则BP的长是__________．解析：①当AB＝BP＝2时，△ABP是等腰三角形；②当AB＝AP＝2时，∵∠B＝45°，∴△ABP是等腰直角三角形，BP＝AB＝2；③当BP＝AP时，∵∠B＝45°，∴△ABP是等腰直角三角形，BP＝AB.∴BP＝＝；综上所述，若以A，B，P为顶点的三角形是等腰三角形，则BP的长是2或2或.故答案为2或2或.答案：2或2或 点位置不确定　在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AC＝8，BD为边AC上的中线，点E在边BC上，且BE∶BC＝3∶8，点P在Rt△ABC的边上运动，当PD∶AB＝1∶2时，EP的长为__________．解析：∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AC＝8，∴AB＝AC＝4，BC＝4，∠A＝60°.∵PD∶AB＝1∶2，∴PD＝2.过D作DF⊥AB于F，则DF∥BC，∵BD为边AC上的中线，∴AD＝CD＝BD.∴AF＝BF.∴DF＝2.∵点P在Rt△ABC的边上运动，PD＝2＜2，∴当PD∶AB＝1∶2时，点P在AC或BC上．当点P在BC上时，∵PD＝2＝AB，∴P为BC的中点．∴BP＝BC＝2.∵BE∶BC＝3∶8，∴BE＝.∴EP＝BP－BE＝；当P点段AD上时，∵PD＝2，AD＝4，∴P为AD的中点．∴AP＝2.过P作PG⊥BC于G，∴PG∥AB.∴△CPG∽△CAB.∴＝＝.∴＝＝.∴PG＝3，CG＝3.∴GE＝.∴PE＝＝；当P点段CD上时，∵PD＝2，CD＝4，∴PC＝2.过P作PH⊥BC于H，∴PH＝1，CH＝.∴EH＝.∴PE＝＝.综上所述，EP的长为或或.故答案为或或.答案：或或[跟踪训练]7．定义：到三角形两边距离相等的点叫做三角形的准内心．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点P是△ABC的准内心(不包括顶点)，且点P在△ABC的边上，则CP的长为__________．解析：图1如图1中，当点P在AB边上时，∵AC＝6，BC＝8，∠ACB＝90°，∴AB＝＝10.∵点P是△ABC的准内心，∴∠PCB＝∠PCA＝45°，作PE⊥AC于E.易知PE＝CE＝，∴PC＝；图2如图2中，当点P在AC边上时，作PE⊥AB于E，设PE＝x，∵点P是△ABC的准内心，∴∠PBA＝∠PBC.∵PE⊥AB，PC⊥BC，∴PE＝PC＝x，BE＝BC＝8.∴AE＝2.∴22＋x2＝(6－x)2.图3解得x＝；如图3中，当点P在BC边上时，同理可得PC＝3.故答案为或或3.答案：或或38．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，BC＝12，∠B＝120°，E是BC的中点，点P在平行四边形ABCD的边上，若△PBE为等腰三角形，则EP的长为__________．解析：当P点在BA上，BP＝BE＝6，作BH⊥PE于H，如图1，则PH＝EH，∵∠B＝120°，∴∠BPE＝∠BEP＝30°.在Rt△BEH中，BH＝BE＝3，EH＝BH＝3，∴PE＝2EH＝6.当P点在AD上，BP＝PE，作BG⊥AD于G，PF⊥BE于F，如图2，则BF＝EF＝3，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC.∵∠ABC＝120°，∴∠A＝60°.在Rt△ABG中，AG＝AB＝4，BG＝AG＝4，∴PF＝4.在Rt△PEF中，PE＝＝；当点P在CD上，如图3，EB＝EP＝6.综上所述，PE的长为6或6或.故答案为6或6或.答案：6或6或授课提示：对应学生用书第105页1．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝____________.解析：①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为＝50°，∴特征值k＝＝.②当∠A为底角时，顶角的度数为180°－80°－80°＝20°∴特征值k＝＝.综上所述，特征值k为或.故答案为或.答案：或2．(2021·南昌一模)在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，点P是斜边AB上一点，若△PAC是等腰三角形，则线段AP的长可能为____________．解析：若△PAC是等腰三角。