函数中探索性问题北师大人教版教案.doc

函数中探索性问题执教教师：上海市奉贤中学数学组教学目的：1，引导学生运用已有函数的认识探索未知的函数问题，形成自觉运用数学基础知识、基本技能和数学思想方法分析问题解决问题的能力和意识2，创设问题情景，激发学生数学学习的兴趣，培养学生主动参与、团结协作的精神，体验数学探索研究的魅力3，揭示数学研究活动的一般过程，培养学生观察、类比、联想、归纳的探索研究的思维方法，培养学生研究性学习的能力和创新精神 教学重点：函数性质研究的思想方法和数学研究活动的一般过程教学难点：运用多条性质构造函数 教学过程：一、引入由国际数学家大会引发的“数学热”导出课题二、学生探索过程问题一（1）函数是奇函数；（2）对于任意，都有；（3）函数在上单调递减；（4）不是函数的最小值根据以上条件，写出一组能满足其中三条性质的函数的解析式 （学生研究讨论，教师巡视指导）（学生成果展示，教师适时提问）教师点评小结：数学研究活动的一般过程发现问题产生联想进行修正归纳论证问题二给出新的概念：对于任意定义在区间D上的函数，若存在实数，满足，则称是函数在区间D上一个不动点对函数不动点概念的学习）请同学们在刚才研究1的基础上，探求自己所得到的函数的不动点。

将问题研究1中性质（1）（2）（3）中一条修改为：“函数有2个或2个以上的不动点能否写出同时满足四条性质的一个函数解析式学生研究讨论，教师巡视指导）（学生成果展示，教师适时提问）是否还有其他的研究设想？教师点评小结： 函数新性质的理解中渗透了数形结合的思想 数学研究活动的一般过程是发现与论证两个过程三、课堂小结1，研究函数性质的思想方法；2，数学研究活动的一般过程；3，数学学习的魅力四、课后学习1、函数不动点的后续学习：（1）若函数在没有不动点，求a的范围2）对特殊函数不动点个数的研究思考：a、是否存在无限个不动点的函数？若有指出其函数特征b、定义在R上的奇函数的不动点若为有限个，则数目有什么特点？请证明你的结论定义域不是R呢？c、问题b能否推广至其他特殊的函数？2、每一位同学在学习中多尝试对探索性问题的研究，将自己遇到的觉得有研究价值的问题推荐作为每日一题的材料，提供给大家讨论研究教案设计说明：函数中的一些开放性、研究性等探索问题，往往是围绕着函数的基本性质展开的函数的性质与图象是高中数学中重要的内容，在高三数学复习教学中占据重要地位要求学生能够灵活运用函数的性质，掌握常用函数的图象特征，并能运用函数的思想方法解决一些具体问题。

本节课是“问题解决”课堂教学模式与开放型教学模式的综合实践课，在教学中以问题解决为核心，以学生探索为课堂主要活动方式 “问题解决”课堂教学模式就是通过问题情境创设，激发学生求知欲，以独立思考和交流讨论的形式，发现并解决问题，培养学生收集处理信息、获取新知、应用知识的能力，培养科学探索的思维习惯，增强团结协作的意识开放型教学模式就是在课堂教学中使学生自然成为认知的主体，尊重学生以自己的方式构建知识，体验知识创新的乐趣，培养学生学习能力、探索能力与创新能力函数中探索性问题的课题设计前提首先是根据对高三学生知识层面、能力水平的了解，学生已能独立地研究一些函数问题；其次是平时在对新知识、新概念教学中实施“问题解决”课堂教学模式的实践基础上，尝试开放性教学模式的研究与实践，也为下阶段在其他数学知识的复习中加强探索性问题的研究作好铺垫本节课的教学情感目标力求激发学生学习的兴趣，让学生体验探索研究的乐趣，努力创设“自主、合作、体验、发展”的课堂研究氛围教学知识目标的设计中考虑到学生探索未知函数问题的需要，着重培养学生观察、类比、联想、归纳的数学探索的思维方法，形成自觉运用数学基础知识、基本技能和数学思想方法分析问题解决问题的能力和意识。

教学能力目标是力求学生的探索活动中有意识地总结数学研究活动的一般过程，从问题的提出，运用函数图象类比联想到常见函数，再进行不断的检验修正，并经过实践论证后直至问题的解决构成一个数学问题的发现过程与论证过程从而培养学生学习和实践的能力以及创新精神，在巩固基础性学力的基础上，逐步形成发发展性学力改变学生的学习方式，推进学生数学素养的发展，主要取决于学生主体意识的形成和对学生主体参与能力的培养在这堂课的设计中，从课题的引入到问题的研究，课后学习的延伸都以此为目标：1、课题引入：通过对国际数学家大会介绍，让学生体验数学美，并且在探索知识过程能感受到数学美，从而激发学生学习的兴趣2、问题研究1的情景创设为学生营造了浓厚的研究气氛，促使他们去思索，去探求鉴于学生已学过函数的性质，为他们探索未知函数性质具备了一定的基础让学生通过独立研究和小组的交流，变被动学习为主动探索，并逐步形成对数学研究活动的一般过程的认识问题研究2是函数不动点性质的逐步理解和运用的过程而对自己构造的函数进一步研究使学生的主体参与意识增强，同时也与问题研究1前后呼应在教学过程中，使学生能自觉的形成从方程的角度去研究函数的“数”的特征，从图象的角度去研究函数“形”的特征的数学思想。

3、40分钟的学习毕竟是有限，课后准备的学习材料能使学生重温课堂研究的成果，学习的时间和空间得以延伸发现问题产生联想进行修正归纳论证这堂课的教学重点一是函数性质研究的数学思想方法，数形结合，类比联想；二是揭示数学研究活动的一般过程：由性质探求未知的函数解析式思维的关键是根据性质绘出图像，突破口是根据图象性质写出解析式前者需要数形结合，后者需要合理类比联想揭示数学研究学习的普遍性规律，可使学生在探索活动中自觉地运用积累的学习经验，使之更有经验，更具目的，也可发挥自己的想象力与创造力，进行发散性思维，从而发展了学生的数学思维，增强了数学素养，提高他们分析问题解决问题的能力这堂课的教学难点在于运用若干函数性质构造函数因此课堂上的会出现意想不到的结果，这需要教师随机应变一是学生在问题研究中存在开放性在学生不尽相同的思维角度下，不同函数性质的组合，联想出不同的函数特征；相似的函数图象，也会有不同的解析式二是教师教法的开放性学生对单一函数性质的感性认识容易得到不完善的猜想，这就需要教师主导作用的发挥，指导他们不断检验，修正猜想中不正确的部分最终归纳出改进的结论学生活动的开放性，使教学中存在不确定因素，因此对教学提出了挑战，这就需要教师要有充分的思想准备。

详案）一、引入师：今年八月底，在北京召开了第24届国际数学家大会这次大会充分显示了中国数学在世界数学界的地位，提出了“还数学于美丽”的口号当然数学真正的魅力只有在研究与探索问题的过程中才能体验到今天，我们就一起去探索与函数性质有关的问题，体验数学研究的魅力引出课题——板书：“函数中的探索性问题”）二、学生探索过程函数的性质：（1）函数是奇函数；（2）对于任意，都有；（3）函数在上单调递减；（4）不是函数的最小值师：在一堂研究函数性质的课上，老师与同学们一起研究了某个函数的性质小王同学在笔记中记下了以下几条：（创设情景，屏幕显示）在后来复习过程中，他发现，由于自己的疏忽，没有记下该函数的解析式，可能也记错了一条性质根据这些信息，我们能否找到一个具备上述四条性质的函数？请同学们思考，给出回答学生思考问答）（1分钟左右）生：不能性质1，2，3存在矛盾师：为什么？可能的研究：因为奇函数在上单调递减，则必在上单调递减，不可能是对称轴若在上单调递减，有对称轴，则必在上单调递增，则不可能是奇函数若奇函数有对称轴，则必有对称轴，若在单调递减，必在单调递增，与函数在上单调递减矛盾寻找能满足其中三条性质的一个函数解析式。

师：既然这样，就请同学们探究出一组满足三条性质的函数解析式屏幕上打出研究问题）要求同学们能独立研究（1分钟左右）可以小组讨论，将自己的想法与同学共享，进行集体合作研究（4分钟左右）学生思考讨论，教师巡视指导）Oxy师：请部分小组派代表将他们的研究成果进行交流展示上台交流的同学分别谈谈独立思考的过程和小组交流的过程，展示你们研究探索的经历，让同学们一起感受你们的得失成败学生成果交流，教师适时追问）可能的研究： （设问）满足1，3，4（发现问题）奇函数（联想）——正比例函数或奇次幂函数递减（修正）—— 更一般性的形式（归纳论证）—— 注意：回答简洁明了——给予表扬：你的回答很好，说明对已学函数的性质图象掌握自如Oxy若已回答出之类的——提出追问：是否还有更具一般性的形式？满足2，3，4（发现问题）对称轴（联想）——二次函数或V字形折线（分段函数）递减（检验修正）—— 更一般性的形式（归纳论证）——注意：若回答出二次函数——提出问题：二次函数的性质同学们掌握的情况相当好，是否还有更具一般性的形式？Oxy若没有出折线——（巡视）提出要求：是否还有不同与二次函数的研究设想？满足1，2，4（发现问题）对称轴（联想）——二次函数奇函数（修正）——有周期性（联想）——三角函数（修正）——（归纳论证）——注意：若能有周期性折线——深入追问：这位同学的想法十分精彩，那么能否写出解析式？（不能，较为复杂）是否可以由此联想到比较熟悉的数学知识呢？问题一的小结师：平时我们较多的是由已知函数出发探究函数性质与图象，今天正好反其道而行之。

小王同学的粗心大意为大家提供一次进行逆向思维的过程，提供了一次运用所学的知识、能力思想方法解决问题的机会发现问题产生联想给予修正加以归纳在问题一的探索中，同学们的研究过程往往有以下共性：比如由性质2，3，4组成所需研究的问题；再根据对称轴、单调性的性质联想到了二次函数，；经过其他性质的检验，我们不断修正自己探索中的函数表达式，最后归纳出更具一般性的形式加以论证象这样的过程是数学研究的一般过程板书——“数学研究的一般过程”及流程图）我们首先发现所需研究的问题，根据某些条件能联想到已知的数学知识，再经过不断检验，修正自己的研究假设，最后归纳出一般的结论加以科学的论证，使该问题得以解决了解数学研究活动的一般过程有助于我们更好的进行探索研究另外，象这类条件和结论都不唯一函数开放性问题研究时要求同学们能辨析问题的主干，结合对函数性质与常见函数知识的迁移、联想，合理运用数学思想比如数形结合、类比联想、分类讨论等来解决问题，小王同学在一次课外阅读中发现了一个新的概念，就请老师推荐给同学们屏幕显示）（学生阅读思考）对于任意定义在区间D上的函数，若存在实数，满足，则称是函数在D上一个不动点师：思考一下，你们是如何理解这个概念的？注意：若回答“函数值与自变量相等”——追问：由此能联想到什么熟悉的数学知识呢？若回答出“交点”——追问：如何求解？可能的想法：函数的不动点是方程的解，从图象上观察是函数图象和直线的交点的横坐标。

板书——函数的不动点是方程的解，是函数图象和直线的交点的横坐标师：既然有方程的解与图象交点的这两个研究角度，那么我们就可以是从数和形两个方面去研究这条性质就请同学们对你所得到的函数，进行一番函数不动点个数的研究可以讨论学生研究）（1分钟）师：有什么样的发现？生：我们发现函数不动点不一定存在，存在也不一定唯一若将问题研究1中性质（1）（2）（3）中某一条修改为：“函数。