2020-2021学年湖南省岳阳市临湘城南乡中学高三数学文测试题含解析.docx

2020-2021学年湖南省岳阳市临湘城南乡中学高三数学文测试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的半径为（　　）A．2 B． C．3 D．参考答案：B【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个棱长为2的正方体，切去四个角所得的正四面体，其外接球等同于棱长为2的正方体的外接球，进而得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个棱长为2的正方体，切去四个角所得的正四面体，其外接球等同于棱长为2的正方体的外接球，故2R==2，故R=，故选：B2. 已知点在抛物线上，则P点到抛物线焦点F的距离为(　　)A. 2 B. 3 C. D. 参考答案：B【分析】根据抛物线的定义可求，抛物线上的点到焦点的距离等于到它到准线的距离.【详解】因为抛物线的焦点为，准线为，结合定义P点到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离，故选B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义，利用抛物线定义能实现点到焦点和点到准线距离的转化.3. 函数在一点的导数值为是函数在这点取极值的（    ）A充分条件    B  必要条件    C 充要条件    D 必要非充分条件参考答案：D4. 命题“”的否定是A.     B.     C.     D.参考答案：B特称命题的否定为全称命题，所以B正确.5. 若有直线、和平面、，下列四个命题中，正确的是       （    ）A、若，，则    B、若，，，则C、若，，则D、若，，，则参考答案：D略6. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体表面积为（   ） A．            B．          C．           D．参考答案：C由三视图可知该几何体是由一个棱长为2的正方体（且在上半部分挖去一个半径为1的半球）和一个半圆柱（底面半径为1，母线长为2，且轴截面与正方体的一个侧面重合）则该几何体的表面积为． 7. 设i为虚数单位，复数 z1=3﹣ai，z2=1+2i，若是纯虚数，则实数a的值为(     ) A．﹣ B． C．﹣6 D．6参考答案：B考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念． 专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部等于0且虚部不等于0求得a的值．解答： 解：∵z1=3﹣ai，z2=1+2i，由=是纯虚数，得，解得：a=．故选：B．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．8. 已知函数，若a,b,c互不相等，且，则abc的取值范围是  A.(1,10)     B.(5,6)     C.(10,12)     D.(20,24)参考答案：【知识点】函数的图像及性质.   B7   B8【答案解析】C  解析：不妨设，因为，所以，且，，由得，所以ab=1，又，所以abc的取值范围是(10,12)，故选C.【思路点拨】因为a,b,c互不相等，所以可设，根据得a,b,c的取值范围及关系，从而求得结论.9. 若直线2ax＋by－2＝0(a＞0，b＞0)平分圆，则的最小值是(　　)A．2－          B.－1           C．3＋2         D．3－2参考答案：C略10. 若全集,则集合等于（   ）A.    B.    C.    D.参考答案：D本题主要考查了集合的交、并、补集的计算和识别。

难度较小，基础题或者采用排除法完成二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数(为正整数),若存在正整数满足: ,那么我们将叫做关于的“对整数”.当时,则“对整数”的个数为           个. 参考答案：9∵,∴∴满足要求,∴当时,则“对整数”的个数为9个.12. 若奇函数的定义域为，其部分图像如图所示，则不等式的解集是     ．参考答案：13. 双曲线的离心率为　　．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据事务性的方程可得a，b，c的数值，进而求出双曲线的离心率．【解答】解：因为双曲线的方程为，所以a2=4，a=2，b2=5，所以c2=9，c=3，所以离心率e=．故答案为．14. 如图，函数的图像与y轴交于点（0，1）. 设P是图像上的最高点，M、N是图像与轴的交点，则的夹角的余弦值为                   ． 参考答案：15. 在中，若          参考答案：2试题分析：因为，所以考点：三角恒等变换.16. 展开式中的系数是        （用数字作答）参考答案：答案：  17. 若实数、满足 且的最小值为，则实数的值为　　▲　　。

参考答案：【知识点】线性规划   E5由题得：b＞0，对应的可行域如图：，由图得，当目标函数过B时，z=2x+y有最小值，所以，解得故答案为.【思路点拨】画出满足条件的可行域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数的方程组，消参后即可得到的取值．三、 解答题：本大题共5小题，共72分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”， 它们是由整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数 的和，如，，，…，则第10行第4个数（从左往右数）为     参考答案：略19. 在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为．（1）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）过点P(2,0)作斜率为1直线l与圆C交于A，B两点，试求的值．参考答案：（1）由得：,C的直角坐标方程为：.  （   或者   ）（2）设A,B两点对应的 参数分别为，直线和圆的方程联立得：所以,<0所以,20. 已知椭圆右顶点、上顶点分别为A、B，且圆O：x2+y2=1的圆心到直线AB的距离为．（1）求椭圆M的方程；（2）若直线l与圆O相切，且与椭圆M相交于P，Q两点，求|PQ|的最大值．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由A（a，0），B（0，1），故直线AB的方程为：，利用点到直线的距离公式，解得：，即可求得椭圆M的方程；（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=±1，代入，得，此时．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式，根据基本不等式的性质即可求得|PQ|的最大值．【解答】解：（1）据题意：椭圆焦点在x轴上，则A（a，0），B（0，1），故直线AB的方程为：，即：x+ay﹣a=0．∴点O到直线AB的距离为：，解得，故椭圆的方程为．（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=±1，代入，得，此时．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），∵直线l与圆O相切，所以，即m2=1+k2，由，消去y，整理得（1+3k2）x2+6kmx+3（m2﹣1）=0，△=36k2m2﹣12（1+3k2）（m2﹣1）=12（1+3k2﹣m2）=24k2，由△＞0，得k≠0，则，∴，则=，当且仅当1+k2=2k2，即k=±1时，|PQ|取得最大值．综上所述，|PQ|最大值为．21. 设a为实数，函数f（x）=ex﹣2x+2a，x∈R．（1）求f（x）的单调区间与极值；（2）当x＞0时，求证：a＞ln2﹣1是ex＞x2﹣2ax+1的充分不必要条件．参考答案：【考点】6D：利用导数研究函数的极值；2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）由f（x）=ex﹣2x+2a，x∈R，知f′（x）=ex﹣2，x∈R．令f′（x）=0，得x=ln2．列表讨论能求出f（x）的单调区间区间及极值．（2）设g（x）=ex﹣x2+2ax﹣1，x∈R，于是g′（x）=ex﹣2x+2a，x∈R．由（1）知当a＞ln2﹣1时，g′（x）最小值为g′（ln2）=2（1﹣ln2+a）＞0．于是对任意x∈R，都有g′（x）＞0，所以g（x）在R内单调递增．由此能够证明ex＞x2﹣2ax+1．【解答】（1）解：∵f（x）=ex﹣2x+2a，x∈R，∴f′（x）=ex﹣2，x∈R．令f′（x）=0，得x=ln2．于是当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，ln2）ln2（ln2，+∞）f′（x）﹣0+f（x）单调递减2（1﹣ln2+a）单调递增故f（x）的单调递减区间是（﹣∞，ln2），单调递增区间是（ln2，+∞），f（x）在x=ln2处取得极小值，极小值为f（ln2）=eln2﹣2ln2+2a=2（1﹣ln2+a），无极大值．（2）证明：设g（x）=ex﹣x2+2ax﹣1，x∈R，于是g′（x）=ex﹣2x+2a，x∈R．由（1）知当a＞ln2﹣1时，g′（x）最小值为g′（ln2）=2（1﹣ln2+a）＞0．于是对任意x∈R，都有g′（x）＞0，所以g（x）在R内单调递增．于是当a＞ln2﹣1时，对任意x∈（0，+∞），都有g（x）＞g（0）．而g（0）=0，从而对任意x∈（0，+∞），g（x）＞0．即ex﹣x2+2ax﹣1＞0，故当a＞ln2﹣1且x＞0时，ex＞x2﹣2ax+1．【点评】本题考查函数的单调区间及极值的求法和不等式的证明，具体涉及到导数的性质、函数增减区间的判断、极值的计算和不等式性质的应用．解题时要认真审题，仔细解答．22. 设函数f（x）=|3x﹣1|+ax+3（Ⅰ）若a=1，解不等式f（x）≤4；（Ⅱ）若函数f（x）有最小值，求a的取值范围．参考答案：考点：绝对值不等式的解法． 专题：不等式．分析：（Ⅰ）需要去掉绝对值，得到不等式解得即可，（Ⅱ）把含所有绝对值的函数，化为分段函数，再根据函数f（x）有最小值的充要条件，即可求得．解答： 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=|3x﹣1|+x+3，当x时，f（x）≤4可化为3x﹣1+x+3≤4，解得 ；当x时，f（x）≤4可化为﹣3x+1+x+3≤4，解得 ．综上可得，原不等式的解集为{x|}，（Ⅱ）f（x）=|3x﹣1|+ax+3=函数f（x）有最小值的充要条件为，即﹣3≤a≤3．点评：本题主要考查含有绝对值不等式的解法，关键是去绝对值，需要分类讨论，属于基础题．。