2024-2025学年山东省青岛五中九年级（上）第一次月考数学试卷（含答案）.docx

2024-2025学年山东省青岛五中九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1.下列方程是一元二次方程的是(    )A. x+2y=1 B. x=2x3−3 C. x2−2=0 D. 3x+1x=12.在平行四边形、菱形、矩形、正方形、等边三角形这五种图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有(    )A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种3.下列命题中，错误的是(    )A. 两条对角线相等的平行四边形是矩形B. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形C. 两条对角线互相垂直的矩形是正方形D. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形4.观察下列表格，一元二次方程x2−x=1.1的一个解x所在的范围是(    ) x1.11.21.31.41.51.61.71.81.9x2−x0.110.240.390.560.750.961.191.441.71A. 1.5

11.方程−5x2=1的一次项系数是______．12.一元二次方程3x2=2x的根是______．13.已知关于x的方程x2+x−a=0一个根为2，则另一个根是______．14.某新能源汽车销售公司，在国家减税政策的支持下，原价25万元每辆的纯电动新能源汽车两次下调相同费率后售价为16万元，求每次下调的百分率.设每次下调的百分率为x，则可列方程为______．15.如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合．若BC=3，则折痕CE的长为______．16.在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个挂图的面积是5 400cm2，设金色纸边的宽为xcm，则可列方程______．17.如图，在长70m，宽40m的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路(如阴影部分所示)，要使观赏路面积占总面积的18，则路宽x应满足的方程是______．18.菱形ABCD，E、F是动点，边长为4，BE=AF，∠BAD=120°，则下列结论正确的序号有______．①△BEC≌△AFC；②△ECF为等边三角形；③∠AGE=∠AFC；④若AF=1，则GFEG=13．三、解答题：本题共8小题，共66分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤19.(本小题5分)尺规作图：一块直角三角形的木板余料，要在上面裁出一块正方形木板，要求：正方形的一个顶点在C点，有两条边在木板的直角边上，且面积最大．20.(本小题5分)解下列方程：(1)4(x−1)2−9=0；(2)x2−2x=4；(3)2x(x−3)=3−x；(4)2x2−9x+8=0．21.(本小题8分)已知关于x的一元二次方程(m+1)x2−4x+1=0有实数根．(1)求m的取值范围；(2)若该方程的一个根为12，求方程另一个根的值．22.(本小题9分)已知：如图，在四边形ABCD中，AB⊥AC，DC⊥AC，∠B=∠D，点E，F分别是BC，AD的中点．(1)求证：△ABC≌△CDA；(2)求证：四边形AECF是菱形；(3)给三角形ABC添加一个条件______，使得四边形AECF是正方形，并证明你的结论．23.(本小题9分)我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用．例如：求代数式x2+4x+5的最小值？解答过程如下：解：x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+2)2+1，∵(x+2)2≥0，∴当x=−2时，(x+2)2的值最小，最小值是0，∴(x+2)2+1≥1，∴当(x+2)2=0时，(x+2)2+1的值最小，最小值是1，∴x2+4x+5的最小值为1．仿照上述方法，求解代数式−x2−6x+12的最大值．24.(本小题9分)把长为40cm，宽为30cm的长方形硬纸板，剪掉2个小正方形和2个小长方形(阴影部分即剪掉的部分)，把剩余部分折成一个有盖的长方体盒子，记剪掉的小的正方形边长为x cm，(纸板的厚度忽略不计)若折成的长方体盒子表面积为950cm2，求此时长方体盒子的体积．25.(本小题9分)某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出，已知生产x只熊猫的成本为R(元)，售价每只为P(元)，且R、P与x的关系式分别为R=500+30x，P=170−2x．(1)当日产量为40只时，每日获利多少元？(2)当日产量为多少时每日获得的利润为1750元？26.(本小题12分)某旅行社为吸引市民组团去某风景区旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过25人，人均旅游费用为1000元；如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于700元．某单位组织员工去这个风景区旅游，共支付给旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少员工去这个风景区旅游．参考答案1.C 2.C 3.B 4.B 5.B 6.B 7.D 8.B 9.C 10.A 11.0 12.x1=0，x2=23 13.−3 14.25(1−x)2=16 15.2 3 16.(80+2x)(50+2x)=5400 17.(70−3x)(40−2x)=40×70×(1−18) 18.①②③④ 19.解：如图，作∠ACB的平分线，交AB于点D，再过点D分别作BC，AC的垂线，垂足分别为E，F，则正方形CEDF即为所求． 20.(1)解：4(x−1)2−9=0，∴(x−1)2=94，∴x−1=±32，x−1=32，x−1=−32，解得：x1=52，x2=−12；(2)解：x2−2x=4，∴x2−2x+1=5，∴(x−1)2=5，∴x−1=± 5，x−1= 5，x−1=− 5，解得：x1= 5+1，x2=− 5+1；(3)解：2x(x−3)=3−x，∴2x(x−3)+(x−3)=0，∴(x−3)(2x+1)=0，2x+1=0，x−3=0，解得：x1=−12，x2=3；(4)解：2x2−9x+8=0，a=2，b=−9，c=8，Δ=(−9)2−4×2×8=81−64=17>0，∴x=−b± b2−4ac2a=9± 174，解得：x1=9+ 174，x2=9− 174． 21.解：(1)∵关于x的一元二次方程(m+1)x2−4x+1=0有实数根，∴Δ=(−4)2−4(m+1)×1≥0且m+1≠0，解得m≤3且m≠−1；(2)将x=12代入方程(m+1)x2−4x+1=0，即(m+1)×(12)2−4×(12)+1=0，解得m=3．将m=3代入原方程，即4x2−4x+1=0，设方程的另一个根为x2，则12+x2=−−44，解得x2=12，∴方程的另一个根是12． 22.(1)证明：∵AB⊥AC，DC⊥AC，∴∠BAC=∠DCA=90°，在△ABC和△CDA中，∠BAC=∠DCA∠B=∠DAC=CA,∴△ABC≌△CDA(AAS)；(2)证明：∵△ABC≌△CDA，∴AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD/​/BC，∵点E，F分别是BC，AD的中点，∴EC=12BC，AF=12AD，∴EC=AF，∴四边形AECF是平行四边形．∵∠BAC=90°，点E是BC的中点，∴AE=12BC=EC，∴平行四边形AECF是菱形；(3)AB=AC；解：添加一个条件是AB=AC．∵AB=AC，点E是BC的中点，∴AE⊥BC，即∠AEC=90°，∵平行四边形AECF是菱形，∴四边形AECF是正方形．故答案为：AB=AC． 23.解：−x2−6x+12 =−x2−6x−9+21 =−(x2+6x+9)+21 =−(x+3)2+21，∵(x+3)2≥0，∴−(x+3)2≤0，∴−(x+3)2+21≤21，∴当x=−3时，−x2−6x+12的最大值是21． 24.解：∵长方体盒子的高是x cm；∴长方体盒子的长是(30−2x)cm；长方体盒子的宽是(40−2x)÷2=20−x，即(20−x)cm；根据题意得：40×30−2x2−2×20x=950，解得：x1=5，x2=−25(不合题意，舍去)，∴长方体盒子的体积=x(30−2x)(20−x)=5×20×15=1500(cm3). 答：长方体盒子的体积为1500cm3． 25.解：(1)当x=40时，(170−2x)x−(500+30x)=(170−2×40)×40−(500+30×40)=1900(元)，答：当日产量为40只时，每日获利1900元；(2)由题意得：(170−2x)x−(500+30x)=1750，解得：x1=25，x2=45(不符合题意舍去)．答：当日产量为25只时每日获得的利润为1750元． 26.解：∵1000×25=25000(元)，25000<27000，∴该单位这次去这个风景区旅游的人数超过25人；∵27000÷700=3847(人)，3847不为整数，∴人均旅游费用不能为700元．设该单位这次共有x名员工去这个风景区旅游，则人均旅游费用为1000−20(x−25)=(1500。