数学现实、数学化.pdf

1 数学现实 1.1 数学现实的内涵 数学是在数学化的过程中产生的 这个现象学的事实在教学上由有指导的再 创造的原理加以说明 数学化是将现实数学化——现实的许多片段，现实是复杂 的数学化可以成为学生自己的活动什么是现实， 对于人们来说这依赖于许多 可变的因素 现实世界已经被数学化得非常广泛现实中很多数学的常识被看作 是理所当然的， 而且它的影响有多少、 有多大都依赖于个别人的思想和他所处的 具体环境 数学不仅是一种语言， 即使语言也不仅仅是一个形式体系为了教有联系的 数学，应该从数学与学生亲身体验的现实之间去寻找联系数学与现实结构密切 联系，属于从属关系， 这种联系会在成长的过程中得到发展决定其深度的是与 现实生活经历的联系， 有了这种联系才能保证学生记忆的持久性结合现实是从 创造、加强和保持与现实的结合中简化而来的在教学中强调背景教学， 教师要 将学生的经验与背景组织在一起 背景过去被定义为展现给学生以便进行数学化 的现实领域至于“场所、故事、设计和主题”这些领域有目的的被教师和研究 人员所界定， 他们想让学生去再创造某些数学化的过程和结果背景本身就是信 息，数学则是解码的手段 数学来源于现实， 并且应用于现实， 这是弗赖登塔尔的基本出发点。

数学是 现实世界中人类经验的总结 数学现实因每个人所处的环境不同而不同，数学教 育的内容应该与现实密切联系并能应用于现实的数学，不能单纯的强调数学的抽 象性质和体系， 不能单纯的进行纵向的数学化，横向的数学化， 即与现实密切的 联系是不可或缺的 70 年代布尔巴基学派发起的“新数运动”的失败就是忽视 数学现实的结果 现实不一定局限于特定的一些事物，每个人对待生活、 事物、世界的角度和 方法都不同， 所处的现实也是不同的， 所以在学习数学过程中， 将数学与现实相 联系所形成的数学现实也是多样化的儿童的数学现实可能是几只铅笔、玩具的 形状等，成人的数学现实可能会是股票的涨跌、工资表的数字等， 而数学家的数 学现实可能就涉及到拓扑空间、群理论等等 因此，应该注意的是， 在选取现实问题时需要尽可能地贴近学生亲身经历的 场景，不能生搬硬套 尤其是在低年级， 学生的学习对于自己的亲身经历依赖性 很强如：在初次接触乘法时，若学生的现实是“每天早饭吃一个包子”教师 就不应举例“每天的早饭吃2 根油条，那么三天吃几根？” ，对于他们来说，非 亲身经历的问题都太过 “抽象” ， 因为此时学生还不能摆脱其亲身经历看待问题。

在亲身经历中学习数学知识，会使学生认识到数学是他们认识世界良好的工具， 避免学生认为数学是脱离现实的东西，并且因为是学生的亲身体验， 增加了学生 的主观能动性，激发学生的学习兴趣 1.2 数学现实在数学教育上的实用性 数学现实在数学教育上的应用可以理解为横向的数学化在教学中的具体应 用教师要了解每个学生的数学现实，因材施教，采用相应的方法丰富其内涵， 将学生的数学现实不断完善， 扩充其外延， 同时也促进了教师本身的发展及数学 教育的发展随着学生的发展，不同的学生在不同阶段的数学现实又有所不同， 所以教师因材施教，要用发展性的眼光看待每一位学生的进步和变化 在教学过程中， 可以提出一些简单实际问题， 通过简单的变换就可以转化为 数学问题，让学生体会到数学与他们所在的现实世界的密切联系而后提出具体的现实问题， 让学生自己去寻找其中的数学问题及解决方法，经过组织结构， 将 数学作为工具来解决具体的问题对于高年级的学生， 抽象的逻辑思维已经得到 很好的发展， 教师可以将现实世界的具体材料从客观世界中抽象出来，让学生建 立新的数学模型，并寻找解决方法 弗赖登塔尔的数学现实与通常所说的理论联系实际原则有所区别。

数学现实 是人的数学认识与客观现实的结合， 是客观世界与数学问题相联系并相互转化的 一种能力不是生硬的先去学习理论， 而后与实际联系，也不是从实际问题引入， 套公式做题 数学现实既包括认识现实世界的数学概念和方法，又包括学生的主 观能动性，现实、学生和数学融合为一个有机的整体另外，数学现实体现了因 材施教的教学原则荷兰的数学教育很好的贯彻了弗赖登塔尔数学现实的思想， 在荷兰七年级用的 《情境数学》 的一节中提出， “100 万有多大？” 问题情境是： ①一个人的生命能达到100万秒吗？② 100 万天前发生过什么？这样的问题情境 引入会让学生直观地认识大数， 在头脑中形成对大数的认知， 直接感受到数学在 现实生活中的作用，激发学习的兴趣 2 数学化 2.1 数学化的定义 数学化这个术语首先出现于非正式谈话和讨论中，然后才出现在著作与文献 当中，因此不能考证是谁的首创类似的术语还有公理化、形式化、图式化等 数学作为一种活动，其主要特征就是数学化用数学方法把实际材料组织起来， 在今天就叫做数学化 数学的发展过程就是将现实世界不断数学化，现实世界是 不断发展的，因此数学化也就随之变化、 拓展、深入。

无论是从计数的产生开始， 形成运算法则，进行数系的扩充，进而发展出变数，还是几何学从图形绘画开始， 发展出欧式几何， 进而产生后来的非欧式几何， 数学的整个体系都是在随着时间 发展数学化形成的 2.2 数学化的分类 2.2.1 横向与纵向的数学化 1978 年，特莱弗斯（ Treffers）在论文中将数学化分为横向数学化与纵向数 学化 横向的数学化就是将现实中蕴含的数学知识抽象出来形成数学符号、概念、 图式比如，由“原来有2 只羊，后来又来了3 只羊，一共有多少只羊”这个 问题抽象出“ 2+3=?”这个算数式的过程就是横向的数学化，是同一个问题在现 实与数学世界的不同体现 而数学化不仅仅是将现实世界抽象成数学知识，还需要将这些数学知识进行 组织在数学中，组织本身是一项数学活动 现在一位数学家比50 年前的同事 通晓多得多的数学知识， 原因就是借助新的组织形式 随着现实世界的不断发展 与数学知识的不断增加， 需要不断更新数学的组织方式这个在数学内部进行符 号的生成、重塑、 重组的过程就是纵向的数学化 例如， 人们认识到 “5+5+5+5+5=? ” 这个问题可以转化为“5×5=？” 时，就生成了乘法运算，将数学向深处发展， 进行了纵向的数学化。

虽然横向与纵向数学化有所区别，但在教学中不能将其割裂开来 在构建数 学体系时，横向数学化和纵向数学化往往是结合在一起的缺少横向数学化的练 习，学生往往体现为机械模仿， 纵向数学化偏弱则会使已经获得的数学知识散乱 的存在于脑海中， 组织不成数学结构体系， 知识很快就被遗忘 只有二者相互作 用，相互融合才是正确的数学活动方式2.2.2 公理化、形式化和图式化 弗赖登塔尔在解释数学化的过程中，强调了数学化包括公理化、 形式化和图 示化早在公元前600 年的泰勒斯至公元前300 年的欧几里得时期之间， 就具 备了逻辑推理的概念， 即从一些原始的并且有明确陈述的假设出发，作一系列严 谨的演绎推理，这种程序就是所谓的公理方法（postulal method） 公理化就是 人们试图组织数学研究领域， 这种公理化的过程是一种数学化数学教育的任务 之一就是教会学生自己动脑对一个数学问题进行解决、整理，从而独立地建立起 自己的思维结构，让学生学会公理化 形式化就是重新组织数学语言的表达，从而建立起来的结构 形式化也是数 学化的一部分 数学需要自己特殊的语言、 符号来表达数学的活动和思想从原 始人用石刻表示数， 到希腊人用字母表示数， 再到阿拉伯人建立完整的数学数字 符号体系， 都是形式化的过程。

随着数学形式化过程的发展和提高，数学科学也 逐渐地丰富和发展 在数学教育中， 不能要求学生死记硬背一些形式化的公式公 理，而应使学生数学的形式化， 学会用数学语言来组织和表达数学的现实内容及 内在联系 公理化、 形式化和图式化在数学化过程中是不可分割的，是一个连贯的过程， 公理化是对数学知识体系的系统性的认识和理解，形式化是将公理化的数学知识 用数学术语、 符号表示出来， 图式化是在数学和现实之间建立一座桥梁，使其相 互转化，最终达到理解和解决问题的目的 2.3 数学化方法在数学教学上的优越性 弗赖登塔尔提出的数学化是抽象的数学与现实的生活相结合去解决数学问 题的方法在教学的过程中， 通过现实中的实际问题去引出数学的抽象概念是课 堂教学的较优方法之一， 问题情境教学法、 数学建模等教学方法都是数学化方法 的变形，数学化的方法就是将复杂的现实或理论理想化、简单化，从而更易于进 行形式的数学处理现实世界与数学世界通过数学化的过程不断地进行互相促 进，促使数学世界与现实世界同时发展和提高，这是数学科学与数学教育不断发 展的源泉与动力 数学与日常生活密切联系， 单纯理论的数学教育不能激发学生对数学的兴趣， 在教学过程中， 教师必须将数学与实际生活紧密联系，以实际的生活问题作为背 景和切入点， 用数学化的方法进行数学教育，激发学生学习数学的兴趣， 让学生 把对现实世界的直观思维与抽象的数学理论相结合，不断地归纳总结、分析比较， 真正获得富有生命力的数学。

3 反思3.1 反思的含义弗赖登塔尔认为， “从别人那里反射自己，就像白天和黑夜，自己反射自己，也就是反省或反思” 反思是数学教育研究的永恒主题，反思是一种我们每时每刻都在进行的活动反思是数学在内容与形式相互影响之中的一种发现活动，反思是数学创造的强有力的动力但反思是怎样产生的呢？皮亚杰的模仿起源研究证明：模仿起源于反思， 它不是自我模仿，而是自身的行为在其他人身上的反应，一个人内心的反思是被别人内心的反思激发出来的学生学习过程中的思维是不连续的，学习过程是由各种水平来构造的学生在较低水平的活动，成为较高水平上的分析对象；较低水平的可操作的内容成为较高水平的学科内容，或者说，这个活动变成有意识的并且成为反思的学科内容从较低水平上的可操作内容转变到较高水平上的学科内容的方法是：让学生有意识地进行反思在不断升级的层次中学生才能学会反思，并学会学习的方法反思是连结两个水平间的桥梁数学化和反思是相互紧密联系的，反思存在于数学化的各个方面在数学化的过程中，学生必须学会反思，对自己的行为活动进行理性的思考， 以便有意识地了解自身行为后面潜藏的实质，以反思为核心的数学教育才能使学生真正抓住数学思维的内在实质。

反思在数学创造中扮演着重要角色，把反思迁移到再创造中也是相当重要的3.2 反思的理论依据反思乃是对于数学现实进行数学化的重要环节, 而只是不管哪个层次的数学化, 都是以 “ 反思”为其核心和动力我国儒家学说的创始人孔子曾经说过: “ 学而不思则周 , 思而不学则殆”. 又说 : “ 举一隅而不以三隅反者, 则不复也”.由此可见 , “ 反思”即“ 举一反三”的衍伸我国唐代著名文学家韩愈在其佳作《师说》 中曾经说过 “ 师者 , 传道授业解惑也”又说: “ 人非生而知之音,孰能无惑 , 惑而不从师 , 共刀惑终不解矣! ” 这位文学大师 , 在当时已经认识到 “ 惑”的重要教育价值, 然而 , “ 惑” 从何来 ? 其实 , “ 惑解”就是来源于“反思”赖登塔尔指出: 由现实世界直接抽象形成数学概念的过程, 称为“ 概念性的数学化” 学生经过对这种概念的反思, 随之进行抽象化和形式化的加工, 再用之于解决现实世界的问题经过数学化的深化, 可转而形成新的理论工具, 以此又可组织更高层次的数学现实 , 并进而创造出更新的数学概念美国著名实用主义数学家杜威提倡反思使人更加明智墨守成规， 保守与反思是相对立的。

他说： “一个最明智的人所能做的一切，就是更广泛地、 更细致地观察正在发生的事情，然后从已经被注意到的东西中更谨慎地选择那些因素，这些因素恰恰指向将来要发生的事情这种考虑周到的行动的对立面，就是墨守成规和任性的行为 早在 1903 年，杜威就谈到了反思性思维 （reflective think。