绘制根轨迹的基本规则.ppt

§4-2 §4-2 绘制根轨迹的基本规则一、一、一、一、180°180°根轨迹的绘制原则根轨迹的绘制原则根轨迹的绘制原则根轨迹的绘制原则例1．设控制系统的开环传函为试确定根轨迹的有关数据解：解：例2．已知某负反馈系统的开环传函为试画出其根轨迹解：解：（2）利用Routh判据确定K和ω值 由特征方程式列出劳斯阵为当劳斯阵s1行等于零时，特征方程可能会出现共轭虚根令s1 行等于零，则得K＝KC＝6共轭虚根值可由s2行的辅助方程求得：将KC＝6代入上式解得 两种方法计算的结果一致例：已知系统的开环传递为 ，其开环零、极点位置如下图所示，试计算根轨迹在起点－1＋j1的出射角 令 K 从零稍微增大，则根轨迹从－1＋j1点出发到达 s1，s1点应满足相角条件，即 如上图a所示 ，由于 s1 点离起点很近，故可认为上式中的α1 ，β1，β2，β3就是开环零极点到起点－1＋j1的矢量幅角，见上图 b ，即α1 ＝45°，β１＝135 °，β２＝26.6 °，β3 ＝ 90°，代入上式求得β4 ＝ －26.6°。

因此根轨迹在－1＋j1点的出射角为－26.6° （1）当ｎ－ｍ ≥2时，系统闭环极点之和等于系统开环极点之和，且为常数，即结论：结论：（2）闭环极点之积和开环零、极点具有如下关系当开环系统具有零极点时， ， 则有即闭环极点之积与根轨迹增益成正比例1：已知系统的开环传递函数如下，绘制系统的根轨迹式中：解：解：（1）起点：有两个开环极点，所以起点为 s1 ＝0 ，s2 ＝ －2 （2）终点：因没有有限零点，所以两条根轨迹都将趋于无穷远3）实轴上的根轨迹：根据法则4，根轨迹存在的区间为［－2，0］4）计算分离点：将 N(s) ＝ 1，D(s)＝s(s＋2) 代入分离点计算公式 N′(s) D(s) － N(s) D′(s)＝ 0中，解得分离点为 s ＝ －1（5）根轨迹的渐近线 ①渐近线的倾角：根据式渐近线计算公式得②渐近线的交点：根据公式计算得二．根轨迹的绘制渐近线的交点和根轨迹的分离点重合根据以上分析计算结果，可绘制出系统的根轨迹如下图所示例2：已知具有开环零点的开环传递函数为：试绘制系统的根轨迹。

解：解：（1）起点：有两个开环极点，所以起点为 s1 ＝ 0，s2 ＝ -2 2）终点：二条根轨迹一条终止于开环有限零点 s=-4，另一条趋向无限零点 （3）实轴上的根轨迹：实轴上根轨迹存在的区间为[-2,0][-∞，-4］ （4）分离点和会合点：由公式可得 N′(s) D(s)－ N(s)D′(s) ＝(2s+2)(s+4)-(s2+2s)＝ 0 整理得 s2+8s+8＝ 0 对上式求解得 （5）复平面上的根轨迹 根据相角条件，根轨迹上的各点应满足幅值和相角条件公式，即在复平面上， ，于是得即对上式整理后得圆方程式 它的圆心在(-4, )点，半径等于 ，根轨迹如下图所示这个圆与实轴的交点即为分离点和会合点0-4p1p2p3p4A高阶系统的试差求解。