初中三角形知识点.docx

学习必备 精品学问点复习回忆三角形的相关学问——命题人：李发学问点一：三角形1 、三角形的定义：是由三条线段首尾顺次相接所组成的平面图形叫做三角形 .2 、组成三角形的元素：三条边和三个角3 、三角形的分类⑴三角形按边的关系分类如下：不等边三角形三角形 底边和腰不相等的等腰三角形（一般等腰三角形）等腰三角形底边和腰相等的等腰三角形（等边三角形或正三角形）⑵三角形按角的关系分类如下：直角三角形（有一个角是直角的三角形）三角形 锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）斜三角形钝角三角形（有一个角是钝角的三角形）把边和角联系在一起，我们又有一种特别的三角形：等腰直角三角形，它是两条直角边相等的直角三角形 .4 、三角形的性质⑴三角形三边关系定理：三角形的任意两边之和大于第三边且任意两边之差小于第三边 .⑵三角形的内角和定理：三角形的三个内角和等于 180 .⑶三角形的外角和定理：三角形的三个外角和等于 360 .⑷三角形的内外角定理：①互补关系：三角形的一个外角与它相邻的内角互补；②相等关系：三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和 .③不等关系：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 .⑸三角形的边角关系：在同一个三角形中：大边对大角，等边对等角，小边对小角；反之，大角对大边，等角对等边，小角对小边也成立 .15 、三角形的面积：三角形的面积 底 高2学问点二：等腰三角形1 、等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 .2 、等腰三角形的性质定理及推论：性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论 1 ：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边 .即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高三线合一 .推论 2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于 60°.3 、三角形中的中位线⑴三角形中的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 .⑵三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半 ;⑶三角形中位线定理的作用：位置关系：可以证明两条直线平行；数量关系：可以证明线段的倍分关系；⑷常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：结论 1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半 ;结论 2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形 ;结论 3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形 ;结论 4：三角形一条中线和与它相交的中位线相互平分 ;学习必备 精品学问点结论 5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等 ;学问点三：直角三角形1 、直角三角形的两个锐角互余；2 、在直角三角形中， 30 角所对的直角边等于斜边的一半；3 、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；4 、直角三角形两直角边 a、b 的平方和等于斜边 c 的平方，即 a 2 b 2 c25 、常用关系式：由三角形面积公式可得： AC BC CD AB★★★6 、直角三角形的射影定理从肯定向始终线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影；一条线段在直线上的正射影，是指线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段 . 点和线段的正射影简称为射影直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；推 论 ： 直 角 三 角 形 中 其 中 一 条 直 角 边 是 该 直 角 边 在 斜 边 上 的 射 影 与 斜 边 的 比 例 中 项 . 即ACB 90CD2 AC2AD BD AD ABCD AB 2BCBD AB学问点四：全等三角形1 、全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；2 、三角形全等的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；3 、全等三角形的判定定理：⑴边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“ SAS”）⑵角角边定理：任意两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“ AAS”；⑶角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ ASA”）⑷边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“ SSS”）；★★★直角三角形全等的判定：对于特别的直角三角形，判定它们全等时，仍有 HL 定理（斜边、直角边定理） ：学习必备 精品学问点有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“ HL ”）4 、全等变换：只转变图形的位置，不转变其外形大小的图形变换叫做全等变换；全等变换包括一下三种：①平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换；②对称变换：将图形沿某直线翻折 180 °，这种变换叫做对称变换；③旋转变换：将图形绕某点旋转肯定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换；学问点五：相像三角形1 、比例线段的概念：对于四条线段 a、b、c、d ，假如其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 a cb d（或 a : b=c: d ）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．留意：⑴在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位．⑵当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式．⑶比例线段是有次序的，假如说 a 是 b,c, db d的第四比例项，那么应得比例式为： ．c a2 、比例的性质基本性质： 〔1〕 a : bc : dad bc ； 〔2〕a : cc : bc2 a b ．反比性质 〔把比的前项、后项交换 〕： a c b d ．b d a c合比性质： a cb da b c bd．发生同样和差变化比例仍成立．如： a cd b db a d aa b ca b ccc 等等．d da c e等比性质：假如b d fm 〔b d f nn 0〕 ，那么 a c e m a ．b d f n b留意：实际上，由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如ad bc ，除了可化为a:bc :d ，仍可化为a : cb : d ， c : da : b ， b : da : c ， b: ad :c ， c :ad : b， d : cb: a ，d: b c: a．3 、比例线段的有关定理平行线等分线段定理：假如一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等 .推论 1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边 .（三角形中位线定理的逆定理）推论 2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰 .（梯形中位线定理的逆定理）平行线等分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论： 〔1〕 平行于三角形一边的直线截其它两边 〔或两边的延长线 〕所得的对应线段成比例．〔2〕 平行于三角形一边且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．学习必备 精品学问点定理： 假如一条直线截三角形的两边 〔或两边的延长线 〕所得的对应线段成比例， 那么这条直线平行于三角形第三边．4 、相像三角形⑴相像三角形的定义： 对应角相等， 对应边成比例的两个三角形叫做相像三角形 . 相像三角形对应边的比值叫做相像比（或相像系数）留意：（ 1 ）相像三角形是相像多边形中的一种；（ 2 ）应结合相像多边形的性质来懂得相像三角形；（ 3 ）相像三角形应满意外形一样，但大小可以不同；（ 4 ）相像用“∽”表示，读作“相像于；”（ 5 ）相像三角形的对应边之比叫做相像比．⑵相像三角形的判定方法预备定理： 平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线， 所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．定理的基本图形语言：数学符号语言：DE // BC ∴ ADE ∽ ABC ．判定定理 1 ：假如一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等， 那么这两个三角形相像． 简述为：两角对应相等，两三角形相像 .判定定理 2：假如一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相像．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相像 .判定定理 3：假如一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相像．简述为：三边对应成比例，两个三角形相像 .判定定理 4 ：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相像．三角形相像的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：类型 斜三角形 直角三角形全等三角形的判定 SAS SSS AAS （ ASA） HL相像三角形的判定两 边 对 应 成 比例夹角相等三边对应成比例 两角对应相等 一条直角边与斜边对应成比例从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相像三角形的判定定理， 这就是我们数学中的用类比的方法， 在旧学问的基础上找出新学问并从中探究新学问把握的方法 .⑶相像三角形的性质定理：学习必备 精品学问点（ 1）相像三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相像比；（ 2）相像三角形的周长比等于相像比；（ 3）相像三角形的面积比等于相像比的平方；（ 4）相像三角形内切圆与外接圆的直径比、周长比等于相像比，面积比等于相像比的平方 .⑷相像三角形的等价关系〔1〕 反身性：对于任一 ABC 有 ABC ∽ ABC ．〔2〕 对称性：如 ABC ∽A' B' C'，就A' B' C' ∽ ABC ．〔3〕 传递性：如 ABC ∽★★★相像直角三角形A' B' C ，且A' B'C ∽A B C，就 ABC ∽A B C ．引理：假如一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的线段成比例，那么这两条直线平行于三角形的第三边 .（与三角形的中位线定理类似）定理：假如两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么这两个直角三角形相像 .定理：假如两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相像 .定理：假如两个直角三角形的斜边和始终边对应成比例，那么这两个直角三角形相像 .经过归纳和总结，相像三角形有以下几种基本类型①平行线型：常见的有如下两种， DE ∥BC ，就△ ADE ∽△ABCA E DAD EB C B C②相交线型：常见的有如下四种情形，如图，已知 1= B ，就由公共角 A 得，△ ADE ∽△ABCAAE。