【知识】一次函数与一次方程(组)(提高)知识讲解.docx

精品资料 欢迎下载一次函数与一次方程（组） （提高）【学习目标】1. 能用函数观点看一次方程 （组），能用辨证的观点熟悉一次函数与一次方程的区分与联系 .2. 在解决简洁的一次函数的问题过程中，建立数形结合的思想及转化的思想．【要点梳理】要点一、一次函数与一元一次方程的关系一次函数 y kx b （ k ≠ 0， b 为常数） . 当函数 y ＝ 0 时，就得到了一元一次方程kx b 0 ，此时自变量 x 的值就是方程 kx b ＝ 0 的解 . 所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为 0 时，求相应的自变量的值 .从图象上看，这相当于已知直线 y kx b （ k ≠ 0， b 为常数），确定它与 x 轴交点的横坐标的值 .要点二、一次函数与二元一次方程组每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线 . 从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标 .要点诠释：1. 两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是： 在同始终角坐标系中， 两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解 . 反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点肯定是相应的两个一次函数的图象的交点 . 如一次函数 y 2 x 4 与3 13y 2 x 4y x 图象的交点为 〔3 ，－ 2〕 ，就 就是二元一次方程组2 23 13 的解 .y x2 22. 当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点， 就两个一次函数的直线就平行 . 反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解 . 如二元一次方程组 无解，就一次函数 y3 x 5 与 y3 x 1 的图象就平行，反之也成立 .3. 当二元一次方程组有很多解时，就相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立 .要点三、方程组解的几何意义1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标．2．依据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解情形： 依据交点的个数，看出方程组的解的个数；依据交点的坐标，求出（或近似估量出）方程组的解．3．对于一个复杂方程组，特殊是变化不定的方程组，用图象法可以很简洁观看出它的解的个数．【典型例题】类型一、一次函数与一元一次方程【高清课堂： 391660 一次函数与一元一次方程（组） ，例 1】精品资料 欢迎下载1、方程 3x2 8 的解是 x ＝ ，就函数 y3 x 2 在自变量 x 等于 时的函数值是 8.【答案】 2； 2；【解析】 解方程 3x2 8 得到： x2 . 函数 y3x 2 的函数值是 8．即 3x2 8 ，即函数 y 3 x 2 在自变量 x 等于 2 时的函数值是 8．【总结升华】 此题主要考查了一元一次方程与一次函数的关系． 任何一元一次方程都可以转化为 ax b 0 （ a ， b 为常数， a ≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为 0 时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线 y ax b 确定它与 x 轴的交点的横坐标的值．举一反三：【变式】（2021.平顶山三模）直线 y=2x+3 与坐标轴围成的面积是（ ）A． B ．3 C ． D ． 6【答案】 C．解：如图，设直线与 x 轴、 y 轴分别交于 A、B 两点，在 y=2x+3 中，令 y=0，可得 2x+3=0，解得 x=﹣ ，令 x=0 ，可得 y=3 ，∴A（ - ， 0），B（ 0， 3），∴OA= ， OB=3，∴S△AOB= OA.OB= 3= ，应选 C．类型二、一次函数与二元一次方程组2、（ 2021 春.临清市期末）直线 l 1：y=x +1 与直线 l 2：y=mx +n 的交点 P 的横坐标为 1， 就以下说法错误选项（ ）A ．点 P 的坐标为（ 1， 2）精品资料 欢迎下载B．关于 x、 y 的方程组 的解为C．直线 l 1 中， y 随 x 的增大而减小D．直线 y=nx +m 也经过点 P【思路点拨】 把 x=1 代入 y=x +1，得出 y 的值，再判定即可．【答案与解析】解：把 x=1 代入 y=x+1， y=2 ，所以 A 、点 P 的坐标为（ 1， 2），正确；B、关于 x、 y 的方程组 的解为 ，正确；C、直线 l 1 中， y 随 x 的增大而增大，错误；D、直线 y=nx +m 也经过点 P，正确；应选 C.【总结升华】 此题主要考查了两直线相交问题， 解决此题的关键是求出直线经过的点的坐标．【变式】 分别用f 〔 x〕和 g 〔 x〕表示两个关于 x 的代数式， 在坐标系中， 假如函数y f 〔 x〕 与y g 〔x〕 的图象有 3 个交点，那么方程组y f 〔x〕，的解的个数是 ．y g〔 x〕【答案】 3；3、（2021.杭州模拟）已知直线 y1=x， ， 的图象如图，如无论x 取何值， y 总取 y 1、y 2、y 3 中的最小值，就 y 的最大值为 ．【思路点拨】 先判定出 y 的最大值为直线 y2 与 y 3 的交点的纵坐标，然后联立两直线解析式求解即可．【答案】 2．【解析】 解：依据题意， y 的最大值为直线 y 2 与 y3 的交点 A 的纵坐标，精品资料 欢迎下载联立 ，解得 ，所以，当 x=3 时， y 的值最大为 2．【总结升华】 此题考查了一次函数的性质， 精确识图并判定出 y 取得最大值时的情形是解题的关键，求 A 点的坐标就是联立 y2 与 y 3，求该方程组的解 .类型三、一次函数与一次方程（组）的应用4、小聪和小明沿同一条路同时从学校动身到图书馆查阅资料， 学校与图书馆的路程是4 千米．小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达图书馆，图中折线 O— A—B— C 和线段 OD分别表示两人离学校的路程 s （千米）与所经过的时间 t （分钟）之间的函数关系，请依据图象回答以下问题：(1) 小聪在图书馆查阅资料的时间为 分钟，小聪返回学校的速度为 千米 / 分钟；(2) 请你求出小明离开学校的路程 s 〔 千米 〕 与历经过的时间 t 〔 分钟 〕 之间的函数关系式；(3) 当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米 .【思路点拨】 （1）图象所示 AB 段为查阅资料时间 . 线段 BC 表示小聪返校时的图象 . （ 2） s是 t 的正比例函数，可设 s ＝ kt ，将（ 45,4 ）代入求出 k 即可 . （ 3）先求出直线 BC的解析 式，再求出 BC与 OD的交点 .【答案与解析】解： 〔1〕15 ； 4 ；15(2) 由图象可知， s 是 t 的正比例函数．设所求函数的解析式为：s kt 〔 k0〕 ．代入 〔45 ， 4〕 得： 4＝ 45 k ．解得 k 4 ．45∴ s 与 t 的函数关系式为 s4 t 〔0 t4545〕 ．(3) 由图象可知，小聪在 30≤ t ≤ 45 的时段内与小明相遇．s 是 t 的一次函数，设函数解析式为s mt n 〔m0〕 ，精品资料 欢迎下载代入（ 30， 4），（45， 0）得30m n45m n4解得：0m 415 ．n 12∴ s 4 t12〔30 t45〕 ，令 4 t 124 t ，解得 t当 t15135．4135时， s44 135 3 ．45 415 45答：当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是 3 千米．【总结升华】 此题主要考查函数图象的识图与一次函数图象关系式的解法， 求函数关系式的一般方法是待定系数法，函数问题是中考的必考学问点，应引起足够重视．。