平面几何(含答案).doc

平面几何的几个重要的定理注：此定理常运用求证三角形相似的过程中的线段成比例的条件；注：此定理常用于证明三点共线的问题，且常需要多次使用 再相乘；CBA CBAMQRACPB塞瓦定理：CBA CBAKLNMCBA 托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．即：例1． 如图，在△ABC中，∠A的平分 线交外接∠圆于D，连结BD，求证：AD·BC=BD(AB＋AC)．证明：连结CD，依托勒密定理，有AD·BC＝AB·CD＋AC·BD．∵∠1=∠2，∴ BD=CD．故 AD·BC=AB·BD＋AC·BD=BD(AB＋AC)．例2． 已知a、b、c是△ABC的三边，且a2=b(b＋c)，求证：∠A=2∠B．证明：如图 ，作△ABC的外接圆，以 A为圆心，BC为半径作弧交圆于D，连结BD、DC、DA．∵AD=BC，∴∠ABD=∠BAC．又∵∠BDA=∠ACB(对同弧)，∴∠1=∠2．　依托勒密定理，有BC·AD=AB·CD＋BD·AC． ①而已知a2=b(b＋c)，即a·a=b·c＋b2． ②∴∠BAC=2∠ABC．例3 在△ABC中，已知∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4，分析：将结论变形为AC·BC＋AB·BC=AB·AC，把三角形和圆联系起来，可联想到托勒密定理，进而构造圆内接四边形．如图，作△ABC的外接圆，作弦BD=BC，边结AD、CD．在圆内接四边形ADBC中，由托勒密定理，有AC·BD＋BC·AD=AB·CD易证AB=AD，CD=AC，∴AC·BC＋BC·AB=AB·AC， 1.在锐角三角形ABC中，AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H，以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点，FG与AH相交于点K，已知BC＝25，BD=20，BE＝7，求AK的长。

4．如图：⊿ABC中，O为外心，三条高AD、BE、CF交 于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N求证：（1）OB⊥DF，OC⊥DE；（2）OH⊥MN。