分段光滑动力系统理论及应用（学位论文-工学）.doc

分 类 号学校代码学号密级D200877363 10487博 士 学 位 论 文分段光滑动力系统理论及应用学位申请人： 宦颂梅学 科 专 业 ： 电路与系统指 导 教 师 ： 杨晓松教授论文答辩日期 2012-5-10 学位授予日期 答辩委员会主席 评阅人 A dissertation submitted to Huazhong University of Science and Technology for the Degree of Doctor of Philosophy in Engineering Theory and Applications of Piecewise Smooth Dynamical SystemsPh.D.CandidateMajor:::Huan SongmeiCircuits and SystemsProf. Yang Xiao-SongSupervisorHuazhong University of Science & TechnologyWuhan 430074, P. R. ChinaMay, 2012 独创性声明本人郑重声明，本学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果的总结。

尽我所知，除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本人将承担本声明引起的一切法律后果学位论文作者签名：日期： 年 月 日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅本人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文保密□ ，在_____年解密后适用本授权书本论文属于不保密□请在以上方框内打“√” ）学位论文作者签名： 指导教师签名：日期： 年 月 日 日期： 年 月 日 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文摘 要电力电子、机械工程、控制、生物等很多领域的很多科学问题要用非光滑函数建立的模型来刻画，因而需要用非光滑（或分段光滑）动力系统理论来分析研究分段光滑动力系统理论尽管已有几十年的研究历史，并且也取得了一定的进展，但到目前为止该理论领域的很多基本问题都还远远未能解决，使得学者们对实际问题的研究和应用因缺乏相应的理论工具而搁浅。

本人正是在这样的背景下致力于分段光滑动力系统基本理论的研究，取得了如下创新成果：（1） 对于平面分段光滑动力系统的广义 Hopf 分岔问题进行了深入研究分别研究了当每个子系统都有一对共轭复特征根且单个不连续边界受扰动时，以及当子系统的特征根可能是一对共轭复数也可能是两个非零不等实数且多个不连续边界相交成 Corner 时，系统的极限环分岔情况，并取得了完整结果；（2） 研究了一类平面分段线性动力系统极限环的个数问题，得到有两个子系统的平面分段线性系统可能有 1 至 3 个极限环的结论，从而为发表在国际权威杂志《J.Differential Equations》上的关于两个子系统组成的平面分段线性系统最多有 2个极限环的猜想提供了一个否定的回答；（3） 构造了一类三维分段线性混沌系统，并从理论上严格证明了该系统混沌吸引子的存在性，从而为设计混沌发生器提供了科学的理论指导和具体可靠的设计方案 在此理论基础上，设计了两个具体的混沌发生器，并给出了相关的计算机仿真结果和电路实现本文具体内容安排如下：第一章为绪论，主要介绍了现有光滑动力系统理论的不足，以及分段光滑动力系统理论的发展动机、历史和现状。

第二章为预备知识，首先简单回顾一些光滑动力系统理论的适用于分段光滑动力系统的基本概念，然后简单介绍一下分段光滑动力系统理论的一些基本概念，最后介绍本文用来证明混沌存在性的重要工具——符号动力系统和拓扑马蹄引理第三章，根据子系统的特征值是一对共轭复数还是两个非零不等实数进行分类，主要介绍当二维分段光滑动力系统的不连续边界相交成corner时，本人在分段光滑动力系统广义Hopf分岔方面取得的创新成果第四章主要探讨了一类只有一个不连续边界的平面分段线性系统的极限环的个数问题，得到系统可能有1到3个极限环的结论然后直接用前面推导的一些结论讨论了I 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文当不连续边界受扰动时系统的极限环分岔情况第五章，构造了一类三维分段线性混沌系统，并从理论上严格证明了该系统混沌吸引子的存在性第六章，直接运用第五章的理论结果设计了两个混沌发生器，并给出混沌发生器的计算机仿真以及电路实现第七章，首先对本文的工作进行总结，然后初拟下一步的研究计划关键词：分段光滑动力系统，极限环，混沌吸引子，不连续性导致的分岔，拓扑马蹄，Poincaré映射，混沌发生器II 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文AbstractIn the domains of power electronics、mechanical engineering、control and biology, themodels of lots of scientific problems are described by non-smooth functions. Therefore, it isnecessary to develop non-smooth (i.e., piecewise smooth) dynamical systems theory to studythese problems. Though the piecewise smooth dynamical systems (PSDS) theory has beendeveloping for several decades and has got much progress, there are still many basicalproblems that have not been solved. That’s why the study and application of many practicalsystems have to be delayed. Under this background, I am committed to studying the PSDStheory and have obtained the following innovation results:(1) The generalized Hopf-bifurcations of planar PSDS for some cases are investigated.Specially speaking, completed results on the generalized Hopf bifurcations are obtainedunder the following two cases: (a) When there exists a unique discontinuity boundary andthe Jocobi matrix of each subsystem has a pair of conjugate complex eigenvalues; (b) Whenthere exist several discontinuity boundaries intersecting at a corner and the Jocabi matrix ofeach subsystem either has a pair of conjugate complex eigenvalues or two different non-zeroreal eigenvalues.(2) The number of limit cycles in a class of planar PSDS is studied. The result that therecan exist 1 to 3 limit cycles provides a negative answer to a guess in the famous internationaljournal 《J. Differential Equations》 that the planar PSDS with one discontinuity boundarycan has at most 2 limit cycles.(3) A class of 3-dim piecewise linear (PL) chaotic systems is constructed. The existence ofchaotic attractor is theoretically proved, which provides some basic theories and specificplan for design of chaos generators. In addition, as application of the obtained theories, twochaos generators with numerical simulations and circuit compensations are given.The paper is organized as follows:The disadvantage of the smooth systems theory and the motivation, history and presentstate of the PSDS theory are introduced in Chapter one.In Chapter two, some basic conceptions of smooth dynamical systems theory that canapply to PSDS are first reviewed. Then some basic definitions in PSDS theory areintroduced. Finally, the symbolic dynamical systems and a topological horseshoes lemma areintroduced as important tools for proving the existence of chaotic attractor.Chapter three includes our innovation results on the generalized Hopf bifurcations for theplanar PSDS with several discontinuity boundaries intersecting at a corner and theeigenvalues of each Jocabi matrix either be a pair of conjugate complex numbers or be twodifferent non-zero real numbers.III 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文In 。