含参数二次函数分类讨论的方法总结.doc

二次函数求最值参数分类讨论的方法分类讨论是数学中重要的思想方法和解题策略,它是根据研究对象的本质属性的相同点和不同点,将对象分为不同种类然后逐类解决问题．一般地,对于二次函数y=a(x-m)2+n，x∈[t，s]求最值的问题;解决此类问题的基本思路为：根据对称轴相对定义域区间的位置，利用分类讨论思想方法为做到分类时不重不漏，可画对称轴相对于定义域区间的简图分类①②③④①表示对称轴在区间［t，s］的左侧，②表示对称轴在区间［t，s］内且靠近区间的左端点，③表示对称轴在区间内且靠近区间的右端点，④表示对称轴在区间［t，s］的右侧然后，再根据口诀“开口向上，近则小、远则大”；“开口向下，近则大、远则小”即可快速求出最值含参数的二次函数求最值的问题大致分为三种题型，无论哪种题型都围绕着对称轴与定义域区间的位置关系进行分类讨论题型一：“动轴定区间”型的二次函数最值例１、求函数在上的最值分析：先配方，再根据对称轴相对于区间的位置讨论，然后根据口诀写出最值解：∴此函数图像开口向上，对称轴x=a①、当a＜0时，0距对称轴x=a最近，4距对称轴x=a最远，∴x=0时，=3，x=4时，=19-8a②、当0≤a＜2时，a距对称轴x=a最近，4距对称轴x=a最远，∴x=a时，=3-a2，x=4时，=19-8a③、当2≤a＜4时，a距对称轴x=a最近，0距对称轴x=a最远，∴x=a时，=3-a2，x=0时，=3④、当4≤a时，4距对称轴x=a最近，0距对称轴x=a最远，∴x=4时，=19-8a，x=0时，=3例2、已知函数在区间上最大值为1,求实数a的值分析:取a=0,a≠0，分别化为一次函数与二次函数,根据一次函数、二次函数的性质分类讨论.解:1)若a=0,则f(x)=-x-3,而f(x)在上取不到最大值为1,∴a≠02)若a≠0,则的对称轴为(Ⅰ)若，解得，此时a<0, 为最大值，但(Ⅱ) 若解得此时距右端点2较远，最大值符合条件(Ⅲ) 若解得当时当时综收所述或评注：此类题属于“动轴定区间”型的二次函数最值，解决此类问题的关键是讨论对称轴相对于定义域区间的位置，讨论时做到不重不漏。

题型二：“动区间定轴”型的二次函数最值例3．求函数在x∈［a,a+2］上的最值解：∴此函数图像开口向上，对称轴x=1①当a＞1时，a距对称轴x=1最近，a+2距x=1最远，∴当x=a时，=- a２+3 ,x=a+2时，= a２ +2a+3②当0＜a≤1时，1距对称轴x=1最近，a+2距离x=1最远，∴当x=1时，=2 ,x=a+2时，= a２ +2a+3③当-1＜a≤0时，1距对称轴x=1最近，a距x=1最远，∴当x=1时，=2 ,x=a时，=a２-2a+3④当a≤-1时，a+2距对称轴x=1最近，a距x=1最远，∴当x=a+2时，= a２ +2a+3 ,x=a时，= a２ -2a+3题型三：“动轴动区间”型的二次函数最值例５、已知函数在上恒大于或等于０，其中实数,求实数b的范围．分析：找出函数的对称轴：结合区间讨论或的情况解：∵若时，f(x)在上是减函数∴=即≥0则条件成立令(Ⅰ)当3b+5≤3时.即则函数g(x)在上是增函数∴即解得b≥3或b≤-1∵,∴b≤-1(Ⅱ)当3b+5>3即,若-30b-31≥0解得与矛盾;(2)若时, 即-10a-6≥0解得与矛盾;综上述：b≤-1评注：此题属于“动轴动区间”型的二次函数最值，解决的关键是讨论对称轴与定义域区间的位置更便于我们分类类讨论，然后依据口诀，很快就可解决问题。

最后,我们在得用分类讨论方法解题中要注意两个原则：一、分类不重不漏；二、一次分类只能按已确定的同一标准进行．二次函数分类讨论补充习题1．已知函数，若，求函数的最小值，并作出最小值的函数图象2．已知函数，若在区间上恒成立，求实数k的取值范围3．已知k为非零实数，求二次函数的最小值4．已知，若函数在上的最大值为，最小值为，又已知函数，求的表达式含参数的二次函数问题练习题1、 当时，求函数的最小值2、 已知函数，若恒成立，求实数的取值范围3、 当时，函数在时，取得最大值，求实数的取值范围4、 已知函数，在时有最大值3，最小值2，求实数的取值范围5、 已知函数，当时，有恒成立，求实数的取值范围6、 方程至少的一个负数根，求实数的取值范围7、 方程的两根都在内，求实数的取值范围8、 方程在上有实根，求实数的取值范围9、已知，当时，有恒成立，求实数的取值范围10、已知，当时，有恒成立，求实数的取值范围11、已知，当时，有恒成立，求实数的取值范围12、已知，当时，有恒成立，求实数的取值范围13、函数的图象关于直线对称据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程的解集不可能是A. B C D 含参数的二次函数问题练习题答案：1、；2、；3、；4、；5、6、；7、；8、；9、或；10、；11、；12、；13、D[13解析]:设则方程，可化为，若此方程有两个等根，则有，可以有选项A，B，若有两个不等根，则有，；如图若的两根为，的两根为，应有的中点与中点应相同，即，选项C符合要求，而选项D中，则不满足。

故选D二次函数在闭区间上的最值一、 知识要点：一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设，求在上的最大值与最小值分析：将配方，得顶点为、对称轴为 当时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m，n]上的最值：（1）当时，的最小值是的最大值是中的较大者2）当时若，由在上是增函数则的最小值是，最大值是若，由在上是减函数则的最大值是，最小值是 当时，可类比得结论二、例题分析归类：（一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变1. 轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”例1. 函数在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______解：函数是定义在区间[0，3]上的二次函数，其对称轴方程是，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0，3］上，如图1所示。

函数的最大值为，最小值为图1练习. 已知，求函数的最值解：由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数将二次函数配方得，其对称轴方程，顶点坐标，且图象开口向上显然其顶点横坐标不在区间内，如图2所示函数的最小值为，最大值为图22、轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”例2. 如果函数定义在区间上，求的最小值解：函数，其对称轴方程为，顶点坐标为（1，1），图象开口向上如图1所示，若顶点横坐标在区间左侧时，有，此时，当时，函数取得最小值图1如图2所示，若顶点横坐标在区间上时，有，即当时，函数取得最小值图2如图3所示，若顶点横坐标在区间右侧时，有，即当时，函数取得最小值综上讨论，图8例3. 已知，当时，求的最大值．解：由已知可求对称轴为．（1）当时，．（2）当，即时，．根据对称性若即时，．若即时，．（3）当即时，．综上，观察前两题的解法，为什么最值有时候分两种情况讨论，而有时候又分三种情况讨论呢？这些问题其实仔细思考就很容易解决不难观察：二次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间的端点或二次函数的顶点取到第一个例题中，这个二次函数是开口向上的，在闭区间上，它的最小值在区间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到，有三种可能，所以分三种情况讨论；而它的最大值不可能是二次函数的顶点，只可能是闭区间的两个端点，哪个端点距离对称轴远就在哪个端点取到，当然也就根据区间中点与左右端点的远近分两种情况讨论。

根据这个理解，不难解释第二个例题为什么这样讨论对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下： 当时 当时 3、轴变区间定二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”例4. 已知，且，求函数的最值解：由已知有，于是函数是定义在区间上的二次函数，将配方得：二次函数的对称轴方程是顶点坐标为，图象开口向上由可得，显然其顶点横坐标在区间的左侧或左端点上函数的最小值是，最大值是图3例5. (1) 求在区间[-1,2]上的最大值2) 求函数在上的最大值解：(1)二次函数的对称轴方程为，当即时，； 当即时，综上所述：2)函数图象的对称轴方程为，应分，，即，和这三种情形讨论，下列三图分别为（1）；由图可知（2）；由图可知（3） 时；由图可知；即4. 轴变区间变二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最值”例6. 已知，求的最小值解：将代入u中，得①，即时，②，即时，所以（二）、逆向型是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值例7. 已知函数在区间上的最大值为4，求实数a的值。

解：（1）若，不符合题意2）若则由，得（3）若时，则由，得综上知或例8.已知函数在区间上的最小值是3最大值是3，求，的值解法1：讨论对称轴中1与的位置关系①若，则解得②若，则，无解③若，则，无解④若，则，无解综上，解析2：由，知，则，又∵在上当增大时也增大所以解得评注：解法2利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了，的取值范围，避开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了例9. 已知二次函数在区间上的最大值为3，求实数a的值这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分与两大类五种情形讨论，过程繁琐不堪若注意到最大值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程就简明多了具体解法为：（1）令，得此时抛物线开口向下，对称轴方程为，且，故不合题意；（2）令，得此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴较远，故符合题意；（3）若，得此时抛物线开口向下，闭区间的右端点距离对称轴较远，故符合题意综上，或解后反思：若函数图象的开口方向、对称轴均不确定，且动区间所含参数与确定函数的参数一致，可采用先斩后奏的方法，利用二次函数在闭区间。