湖南省湘潭市大学子弟学校2021-2022学年高三数学文模拟试题含解析.docx

湖南省湘潭市大学子弟学校2021-2022学年高三数学文模拟试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 给出定义：若（其中m为整数），则m 叫做离实数x最近的整数，记作= m. 在此基础上给出下列关于函数的四个命题：     ①函数y=的定义域为R，值域为；②函数y=的图像关于直线（）对称；③函数y=是周期函数，最小正周期为1；④函数y=在上是增函数其中正确的命题的序号是                                                 （   ）A ①     B②③    C ①②③   D ①④ 参考答案：答案：C  2. 若命题，方程有解；命题使直线与直线平行，则下列命题为真的有（    ）A．         B．       C．       D．参考答案：C3. 已知抛物线的焦点恰好为双曲线的焦点，则a=       A．1                            B．4                            C．8                            D．16参考答案：D略4. 设均为实数，则“”是“方程有一个正实根和一个负实根”的（     ）    A. 充分不必要条件   B. 必要不充分条件   C. 充要条件   D. 既不充分也不必要条件参考答案：C5. 若， 是两个非零的平面向量，则“”是“”的（    ）．A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件参考答案：C，得，所以是充要条件，故选C.6. 如果实数满足不等式组，目标函数的最大值为6，最小值为0，则实数的值为（  ）A.1     B.2     C.3   D.4 参考答案：B略7. 已知数列1，1，1，2，2，1，2，4，3，1，2，4，8，4，1，2，4，8，16，5，…，其中第一项是，第二项是1，接着两项为，，接着下一项是2，接着三项是，，，接着下一项是3，依此类推.记该数列的前n项和为Sn，则满足的最小的正整数n的值为（    ）A. 65 B. 67 C. 75 D. 77参考答案：C【分析】由题将数列分组，得每组的和，推理的n的大致范围再求解即可【详解】由题将数列分成如下的组（1，1），（1，2，2），（1，2，4，3），（1，2，4，8，4），（1，2，4，8，16，5）…，则第t组的和为，数列共有项，当时，,随增大而增大，时，，，时，，，第65项后的项依次为，，，…，，11，，，…，又，，，，，∴满足条件的最小的值为.故选C【点睛】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前n项和，考查计算能力，属于难题8. 已知双曲线c：=1（a＞b＞0），以右焦点F为圆心，|OF|为半径的圆交双曲线两渐近线于点M、N（异于原点O），若|MN|=2a，则双曲线C的离心率是(     ) A． B． C．2 D．参考答案：C考点：双曲线的简单性质． 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：连接NF，设MN交x轴于点B，根据双曲线渐近线方程结合图形的对称性，求出N（，），再由|NF|=c在Rt△BNF中利用勾股定理建立关于a、b、c的关系式，化简整理可得c=2a，由此即可得到该双曲线的离心率．解答： 解：连接NF，设MN交x轴于点B∵⊙F中，M、N关于OF对称，∴∠NBF=90°且|BN|=|MN|==，设N（m，），可得=，得m=Rt△BNF中，|BF|=c﹣m=∴由|BF|2+|BN|2=|NF|2，得（）2+（）2=c2化简整理，得b=c，可得a=，故双曲线C的离心率e==2故选：C点评：本题给出以双曲线右焦点F为圆心的圆过坐标原点，在已知圆F被两条渐近线截得弦长的情况下求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．9. 设集合，则（    ）A．    B．   C．   D．参考答案：D试题分析：,所以，故选A.考点：集合的运算.10. 已知，若向区域上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为            （    ）    A．  B．   C．   D．参考答案：B略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知关于的展开式中，只有第项的二项式系数最大，则展开式的系数之和为         .参考答案：12. 命题“若都是偶数，则是偶数”的否命题是_________          参考答案：答案：若不都是偶数，则不是偶数 13. 如图，直线，垂足为O，已知中，为直角，AB=2，BC=1，该直角三角形做符合以下条件的自由运动：（1），（2）.则C、O两点间的最大距离为  . 参考答案：略14. 已知n=（2x+1）dx，则 的展开式中x2的系数为　   ．参考答案：﹣18【考点】二项式系数的性质．【分析】利用定积分先求出n=6，再利用二项式定理通项公式求出Tr+1=，由此能求出（﹣n的展开式中x2的系数．【解答】解：n=（2x+1）dx=（x2+x）|=6，∴（﹣n=（﹣6，Tr+1==（36﹣r）（﹣1）r，令=2，得r=5，∴（﹣n的展开式中x2的系数为：（36﹣5）（﹣1）5=﹣18．故答案为：﹣18．15. （不等式选讲选做题）若存在实数使不等式成立，则实数的取值范围是       .参考答案：16. 若实数、，满足，则的取值范围是_______________.参考答案：略17. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为___________.参考答案：200略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （13分）已知O（0，0），B（1，0），C（b，c）是△OBC的三个顶点.   （Ⅰ）写出△OBC的重心G，外心F，垂心H的坐标，并证明G，F，H三点共线；   （Ⅱ）当直线FH与OB平行时，求顶点C的轨迹.参考答案：解析：（Ⅰ）解：由△OBC三顶点坐标O（0，0），B（1，0），C（b，c）（c≠0），可求得         重心，外心F，垂心.当时，         G，F，H三点的横坐标均为，故三点共线；当时，设G,H所在直线的斜 率为，F，G所在直线的斜率为.因为， ，所以，G，F，H三点共线. 综上可得，G，F，H三点共线.   （Ⅱ）解：若FH//OB，由，得，         配方得，即. 所以，顶点C的轨迹是中心在（，0），长半轴长为，短半轴长为，且短 轴在x轴上的椭圆，除去（0，0），（1，0），（，），（，－）四点.19. 数列的各项都是正数，前项和为,且对任意，都有. （Ⅰ）求的值；   （Ⅱ）求证：；（Ⅲ）求数列的通项公式. 参考答案：证明：（I）在已知式中，当时，    因为，所以,    所以，解得  (Ⅱ) 当时，  ①      ②    当时，  ①      ②    ①－②得，    因为  所以，    即  因为适合上式    所以(n∈N+)   （Ⅲ）由（I）知 ③        当时，   ④        ③－④得－        因为  ,所以所以数列是等差数列，首项为1，公差为1，可得略20. 从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．（1）若要从身高在[ 120 , 130），[130 ，140） , [140 , 150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取12人参加一项活动，求图中的值及从身高在[140 ，150]内的学生中选取的人数（2）在（1）的条件下，从身高在[130 ，150]内的学生中等可能地任选两名，求至少有一名身高在[140 ，150]内的学生被选的概率   参考答案：解：（1）由频率分布直方图得10(0.005+0.01+0.02++0.035)=1  解得a=0.03………2分 ∴………………5分  (2) 从身高在[130 ，140]内的学生中选取的人数为………………6分[来源:   /]设身高在[130 ，140]内的学生为,身高在[140 ，150]内的学生为，则从6人中选出两名的一切可能的结果为………10分由15个基本事件组成．用表示“至少有一名身高在[140 ，150]内的学生被选”这一事件，则事件由9个基本事件组成，因而．………………12分21. 如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连结PE并延长交AB于点G.（Ⅰ）证明：G是AB的中点；（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．参考答案：（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）作图见解析，体积为.试题分析：证明由可得是的中点.（Ⅱ）在平面内，过点作的平行线交于点，即为在平面内的正投影.根据正三棱锥的侧面是直角三角形且，可得在等腰直角三角形中，可得四面体的体积试题解析：（Ⅰ）因为在平面内的正投影为，所以因为在平面内的正投影为，所以所以平面，故又由已知可得，，从而是的中点.（Ⅱ）在平面内，过点作的平行线交于点，即为在平面内的正投影.理由如下：由已知可得，，又,所以,因此平面，即点为在平面内的正投影.连结，因为在平面内的正投影为，所以是正三角形的中心.由（Ⅰ）知，是的中点，所以在上，故由题设可得平面，平面，所以，因此由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且，可得在等腰直角三角形中，可得所以四面体的体积22. 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ﹣）=m（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）若曲线C1与曲线C2有公共点，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用三种方程的转化方法，求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）联立直线与抛物线，利用曲线C1与曲线C2有公共点，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为，消去参数，可得y=x2（﹣2≤x≤2）曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ﹣）=m，直角坐标方程为x﹣y+m=0；（2）联立直线与抛物线可得x2﹣x﹣m=0，∵曲线C1与曲线C2有公共点，∴m=x2﹣x=（x﹣）2﹣，∵﹣2≤x≤2，∴﹣≤m≤6．。