信号与系统讲义：第五章(第10-11讲).docx

第五章连续时间系统的复频域分析§5-1引言——从FT到LT一、FT的优点和缺乏优点：1、防止微分方程求解和卷积计算，简化了系 统响应求解过程；2、物理意义明确如：谐波，频响，带宽， 等缺乏：1、只能处理满足收敛条件的信号，对某些不 满足条件的信号必须引入奇异函数解决，不 方便；2、必须计算广义积分：J二(・)公，有时计算 比拟困难；3、只能求系统的零状态响应二、拉普拉斯变换(LT)的优点：1、可以自动引入初始条件，求系统的全响应；2、变方程的微积分运算为乘除运算，变卷积运算为乘法运算，计算过程简化;可以推广到任意一个有始（右边）信号例1：单边指数信号/£⑺（a>0）的收敛区间 为5）〉的右半平面，即因为，lim 于（t）”” = lim= lim =0is00oo令先是使信号收敛的因子，它是否可以为负值？例2：阶跃信号2⑺的收敛区间为的整个右 半平面，即£（0,+<»）因为，lim fQ）”" = lim £（小一6=0 f-00£-00除单边LT外，还有双边LT,故有双边LT的 收敛区问题但本书仅讨论单边LT,并简称LT 而工程实际上遇到的有始信号，几乎都是指数阶信 号，所以以后不特别说明是否收敛的问题。

§5-4常见信号的LT 工程中常见的信号有两类：指数类和累类如果信号的FT存在求LT可以直接采用 FT的结果，只要将其中的切换成s一、单边指数类信号/»加"的LT ”即+血)2 ⑺｝二1e(a+ja)0)te-stdt =『"卜一3加力力Jo1s —(a +jg)收敛区b>a (为常数)由此可以导出其它指数类信号的LTo可见，LT结果比FT简单的多信号FTLT收敛 区eatc{t}] jco-a]s-aa> a2⑺•3) +—— j①£ sa>0sinMQeQ)[/口外) 2j—S(69 + CDr )]3cH22cor -coa>rVzcr>02 ,2S + C0rcos3j）£（—[3(CO — G)c) 2+ 8(co + cor)}।j3c22CDr -CDs<7>02 .2S + (Dr• • • •• • • ♦• • • •• • • •二、t的正幕类函数的LT1）乙{加⑺}=〈收敛区：cr>0S2）或％（/）}=£收敛区：CT>0S推导方法：（1）分步积分；（2）用LT时域积分性质3） 加％}=^一］--2收敛区：cr>a— CX）： +i"攵敛区：a>a\S — OC）三、冲击函数1）上伊⑺}=1收敛区：0i2）玷（"）⑺}=S〃收敛区：<7 >-00其它变换结果见书上表格。

令可见，很多信号的F(s)都能表示成有理函 数形式记住这些常用LT结果，不仅能够方便LT计 算，而且对求LT反变换有很大帮助作用习题：①.5.3(1)、(3)、(5)、(7)^1* *£* ^1* kL>vl>^1* xl*k!> v£* vt* k!>..、§5-5单边拉普拉斯反变换Lt定义：1”+ /oo/(0=— . F(s)/ds2刃产求解其积分较麻烦，一般采用局部分式展开 法或留数法求解一、局部分式展开法(Haviside展开法)基本思想:根据LT的线性特性，将复杂的F(s) 展开为多个简单局部的和，通过的简单LT结 果，得到F(s)的原函数假设F(s)可以表示成有理函数形式:F(5)N(s)D(s)bmsm + 勾[/ i+・・・+ /?/ + %1/y__ClnS + "〃_]S+ ... + ClyS + CZq将其通过局部分式展开，表示为多个简单的有理 分式之和分几种情况讨论:1、 m

假设X是一个复根，那么 »二邑*一定也是方程的根，且与之相关的系 数&和勺满足：将，夕中有关两项统一考虑，可得：&6卬£0)+ K2* £⑴=&6卬+ &*镇*‘，⑺[| Kj / e ⑸+睑"+1 Kj ?一讪龈i)1式 t)二[〃如+M +〉•+')•|Kje%£⑺=2 K] 6卬 COS(卬 + 域)结果依然是一个实信号所以，对两个共甄复根，可以将其统一考虑例：求下示函数的反变换J0(s + 2)(s + 5)⑴-s(s + l)(s + 3)解:b(s) =U旦K} = s 尸(s)二S5=0s+1 s+310(s + 2)(s + 5)s(s + l)(s + 3)5=010x2x5 _ 1001x3 -3(=k + 1)尸(以一=(5 + 1)(=k + 1)尸(以一=(5 + 1)10(s + 2)(s + 5)s(s + l)(s + 3)s=-ll°(T + 2)(T + 5)= (-l)(-l + 3)/、।/、10(s + 2)(s + 5)& =(s + 3)/(s)=(s + 3)^__3s=-33 V7J vJ(s + l)(s + 3)_10(-3 + 2)(-3 + 5)_ 10 (一3)(-3 + 1)3乙、_ 10020105 -37-7+1-3(5+3)加上竽一 20/一？-3,(t>0)或、rwo ” t 10 一3八(、I )3 J2、 m

方($) 二s — 2心+ 1)3解:解:尸G)二Ku | Kt2 恪3 K?(5 + 1)3(5 + 1)2 (S + 1) S♦ sb(s)自♦ sb(s)自♦ sb(s)自令:耳(s) = (s +1)3 尸(s) =所以,K“上 =3s I1d^2Us-2}i2 —（3_2）!ds（3-2）匚-,_ 13卜―2]■ 二(3 -1)!去(“丁J-"入、3222F{s ) = 7cr + 73 + 7\ (s + 1) (s + 1) (s + 1) Sf(t) =-+ Ite1 + 2/ - 2(t>0)或(3、f«)=+ 2b- + 2/-2 £(t)12J3、 m>=n时，先通过长除，将其变为一个关于s的真分式和多项式的和：耳(s)=H = M(s)+必效⑸0(5)然后再用1、2方法求解其中要用到：「卜}=3⑺⑺例：求下示函数的反变换5^^ + 95 + 7F(s)= (s + M + 2)解：用长除法,F(s) = s + 2 + -—s+1 s+2f[t} = £(，)+ 2b0)+ 2, 2厂(t> 0)或/⑺=0 ⑺+ 2%)+ 2/ -2中 £⑴二、留数法1、 F(s)的极点和零点极点：使F(s)等于无穷大的s平面上的点——>D(s)=0的根。

零点：使F⑸等于零的s平面上的点——>N(s)=0的根2、留数法的基本思想：由于拉普拉斯反变换是 复平面中的线积分问题，很难直接求解出结果 因此，设法将复平面中的线积分问题，转化为围 线积分，从而可以用复变函数中的留数定理直接 求得结果原问题：,(，)=♦忸(s*看以尸⑸*ds,求解不方便如果另外增加一条曲线，使其变为沿一个 闭合曲线的积分，且沿该增加的曲线的积分为零，那么3、对信号的适应性比FT强，不用引入奇异 函数；§5-2拉普拉斯变换一、拉普拉斯变换的推导途径：1、从数学角度：通过积分变换进行函数到函 数的变换，将微分方程变为代数方程2、从物理意义推导：本质上依然是将信号分 解为多个正交的子信号的和（积分），或可 以从FT推广出二、从FT到LT令FT存在的条件是其积分结果收敛今如果不收敛，可以考虑用收敛因子一一将原 信号乘以e—仪一一强行使其收敛，再进行FTo例1：原信号：于3 =浮田）例＞0）,新信号：/i⑺=fd=心力/⑺只要足够大，使9-b）＜力⑺总能收敛就变成一个计算围线积分所以，我们根据上述积分半径的情况，取半径为无穷大的圆弧成为闭合曲线，如下两图所示:线，如下两图所示:t>0时的F(s)的闭合积分路线t<0时的F(s)的闭合积分路线在这样的增加的积分路线ACB或ADB的积分值应为零，即：J /= 0( R f co)ACB或j F(s)est =0 (H .8)ADB那么利用留数定理，可以有：加)二厂但⑸卜 50二/(中“二［f F{s}estdsE Re Si。

内所有极点增加的积分路线ABC或ADB的积分值为零吗？下面的定理回答了这个问题:3、根据约当辅助定理，当满足:1)当 s = R -go 时,地|尸⑸卜0；2） 力中的实部满足Re（s，）=”（%为一固 定常数），时，就有：lim 杰=0或 lim f 尸（S）/ds = 0j abc- E ADB成立第1）个条件，除极少数例外情况，如单位冲 激函数及其各阶导数的象函数为S的正幕函数不 满足此条件外，一般都能满足而显然，根据条件2）,有:当t>0时，积分应沿左半圆弧进行（左图）,故有:lim [ F(s)estds = 0.ABCRT8 J'当t<0时，积分应沿右半圆弧进行（右图）,故有:故有:lim [ F(s)estds = 07?—>oo JADB在单边LT中，只考虑t>0的情况，积分曲线 应该增加ABC,这时只要考虑积分线左半平面中 的所有极点的留数即：/«)= r1 仍(s)}= _L([/G)/ds =YRe s,2句 C积分线左边平面所有6点尸⑶〃的极点就是尸⑸的极点留数计算：假设Sk是"S)的一阶极点，那么其留数为:Re^=[(^-5jF(5)^] _假设鼠是尸(S)的n阶极点，那么其留数为:Re”春养(一"(臼注意：当F(s)不满足约当辅助定理条件1)时，不 能用此方法求解。

例如：F(s)=l,F(s)=s,...>当F(s)m>=n时，不能用此方法求解！解决方法：先用长除法进行预处理，即化为多项式与 真分式的和，而后，真分式局部用留数法，多项 式局部另行用常规法处理举例：用留数法求下示函数的反变换24(s + 8)%s\ + 12Xs + 4)解:解:24(s + 8)s(s + 12)(s + 4)。