线面平行与面面平行.doc

第第 2 课时课时 线面平行与面面平行线面平行与面面平行 ※※考纲链接考纲链接 1.了解空间线面、面面平行的有关概念 2.理解直线与平面、平面与平面的平行关系的性质与判定，并能进行简单运用. 【课前自主探究】 ※※ 教材回归教材回归 ◎◎基础重现：基础重现： 1．直线与平面平行的判定①定义法：证明直线与平面无公共点（反证法）.②判定定理：如果____________和平面内的一条直线平行，则直线和平面平行.③面面平行的性质：如果两个平面平行，那么一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面.2．直线与平面平行的性质： ① 定义：如果一条直线和一个平面平行，,则直线与平面无公共点 ②性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么 这条直线就和_______平行． 3．平面与平面平行的判定①定义法：证明两个平面没有公共点（反证法）.②判定定理：如果一个平面内的____________分别和另一个平面平行，那么这两个平面相互平行.③推论：如果一个平面内的两条相交直线分别和另一个平面内的两条直线（相交）平行，那么这两个平面相互平行.④垂直于同一直线的两个平面相互平行.4．平面与平面平行的性质： ①.定义 ： 如果两个平面平行, 则两个平面没有公共点 ②.性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么____________． 5．两个平行平面间的距离两个平行平面的_________的长度叫做两个平行平面间的距离． 基础重现答案基础重现答案：1. 平面外的一条直线；2. 交线；3. 两条相交直线 4. 所得的两条交线平 行 5. 公垂线段 ◎◎思维升华：思维升华： 1.线线、线面、面面平行的转换线线平行 线面平行 面面平行2 2．．解答或证明线面、面面平行的有关问题，常常要作_____或辅助平面.思维升华答案：思维升华答案：1.1. 面面平行性质定理 2. 辅助线 ※※ 基础自测基础自测 1.下列命题中，正确命题的个数是 . ①若直线 l 上有无数个点不在平面内，则 l∥；②若直线 l 与平面平行，则 l 与平判定定理性质定理判定定理性质定理_________ _面内的任意一条直线都平行；③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那 么另一条直线也与这个平面平行；④若直线 l 与平面平行，则 l 与平面内的任意一条 直线都没有公共点. 答案：答案：1 解析：解析：正确的命题仅是④ 2．下列说法正确的有____________ ①一个平面内有两条直线与另一个平面平行，则这两个平面互相平行； ②两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面互相平行； ③两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面互相平行； ④两个平面同时平行于某一个平面，则这两个平面互相平行； 答案：答案：②④ 3．如果一个平面内的两条直线都平行于另一个平面，则这两个平面 位置关系为 ______ 答案：答案：平行或相交4. (2010·宿迁模拟题)设是空间的不同直线或不同平面，下列条件中能保证“若, ,x y z，且，则”为真命题的是 .（填所正确条件的代号）xzyz//xy①为直线； ②为平面；, ,x y z, ,x y z③为直线，为平面； ④为直线，为平面., x yzx, y z 答案：答案：③ 5.（（2010·山东高考题改编）山东高考题改编）在空间，下列命题正确的有______个①.平行直线的平行投影重合 ②.平行于同一直线的两个平面平行 ③.垂直于同一平面的两个平面平行 ④.垂直于同一平面的两条直线平行答案：答案：1.解析：解析：由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以得出命题④是正确的.【【课堂师生共探课堂师生共探】】 ※※ 经典例题经典例题 题型一题型一 直线与平面平行的判定与性质直线与平面平行的判定与性质 例题例题 1 如图所示，正方体 ABCD—A1B1C1D1中，侧面对角线 AB1，BC1上分别有两点 E，F，且 B1E=C1F. 求证：EF∥平面 ABCD. 分析：分析：要证 EF∥平面 ABCD，思路有两种：一是利用线面平行的判定定 理，即在平面 ABCD 内确定 EF 的平行线；二是利用面面平行的性质定理， 即过 EF 作与平面 ABCD 平行的平面. 证明证明 方法一方法一 分别过 E，F 作 EM⊥AB 于 M，FN⊥BC 于 N，连接 MN.∵BB1⊥平面 ABCD， ∴BB1⊥AB，BB1⊥BC， ∴EM∥BB1，FN∥BB1， ∴EM∥FN. 又∵B1E=C1F，∴EM=FN， 故四边形 MNFE 是平行四边形，∴EF∥MN. 又 MN平面 ABCD，EF平面 ABCD， 所以 EF∥平面 ABCD.ABCDEP方法二方法二 过 E 作 EG∥AB 交 BB1于 G，连接 GF，则，BBGB ABEB1111∵B1E=C1F，B1A=C1B，∴，∴FG∥B1C1∥BC，BBGB BCEC1111又 EG∩FG=G，AB∩BC=B， ∴平面 EFG∥平面 ABCD，而 EF平面 EFG，∴EF∥平面 ABCD. 点评：点评：判断或证明线面平行的常见途径：①利用线面平行的定义（无公共点） ；②线面 平行的判定定理；③面面平行的性质定理 变式训练变式训练：（2010·福建泉州一中模拟卷改编）右图为一简单组合体，其底面为正方形，平面，//.求证：ABCDPDABCDECPD//平面BE ；PDA证明证明：，PDAECPADPD,PD//EC平面，平面Q，同理可得 BC//平面 PDA，PDA//EC平面 CBCECEBCBCEBCEC且平面，平面Q PDA//EBC平面平面又，EBCBE平面QPDA//EB平面○○题型二题型二 平面与平面平行的判定与性质平面与平面平行的判定与性质 例题例题 2 已知 P 为△ABC 所在平面外一点，G1、G2、G3分别是△PAB、△PCB、△PAC 的重心. （1）求证：平面 G1G2G3∥平面 ABC；（2）求 S△∶S△ABC. 321GGG分析：分析：要证明平面 G1G2G3∥平面 ABC，可以通过面面平行的判定定理，两条相交直线，都平行平面 ABC.3221,GGGG证明证明（1）如图所示，连接 PG1、PG2、PG3并延长分别与边 AB、BC、AC 交于点 D、E、F，连接 DE、EF、FD，则有 PG1∶PD=2∶3， PG2∶PE=2∶3，∴G1G2∥DE. 又 G1G2不在平面 ABC 内，∴G1G2∥平面 ABC.同理 G2G3∥平面 ABC. 又因为 G1G2∩G2G3=G2， ∴平面 G1G2G3∥平面 ABC.（2）解解由（1）知=，∴G1G2=DE.PEPG PDPG2132 32又 DE=AC，∴G1G2=AC. 同理 G2G3=AB，G1G3=BC.21 31 31 31∴△G1G2G3∽△CAB，其相似比为 1∶3，∴S△∶S△ABC=1∶9. 321GGG点评：点评：证明面面平行，一般可利用面面平行的判定定理，将面面平行转化为线面平行，进一步转化线线平行.值得 注意的是，不能直接通过得出平面FEGGFDGG//,//2121G1G2G3与平面 ABC.平行，而通过两条相交直线都和平面 ABC 平行.3221,GGGG变式训练：变式训练：如图所示，在正方体 ABCD—A1B1C1D1中,O 为底面 ABCD 的中 心，P 是 DD1的中点，设 Q 是 CC1上的点,问：当点 Q 在什么位置时，平 面 D1BQ∥平面 PAO？ 解析：解析： 当 Q 为 CC1的中点时， 平面 D1BQ∥平面 PAO. ∵Q 为 CC1的中点，P 为 DD1的中点，∴QB∥PA. ∵P、O 为 DD1、DB 的中点，∴D1B∥PO. 又 PO∩PA=P，D1B∩QB=B， D1B∥平面 PAO，QB∥平面 PAO， ∴平面 D1BQ∥平面 PAO. 题型三题型三 平行关系的综合应用平行关系的综合应用 例题例题 3 如图所示，平面∥平面，点 A∈，C∈，点 B∈，D∈,点 E，F 分别在 线段 AB，CD 上，且 AE∶EB=CF∶FD. （1）求证：EF∥； （2）若 E，F 分别是 AB，CD 的中点，AC=4，BD=6，且 AC，BD 所成的 角为 60°，求 EF 的长. 分析：分析：（1）首先判断 A、B、C、D 未必共面，可以对其是否共面进行讨论. 若这四点共面,可通过 EF//BD 来证得 EF∥，若这四点不共面，可过A、C、D 作辅助平面交于 DH,在 AH 取一个合适点 G，进而通过平面EFG∥平面来证得 EF∥.（2）求线段的长可以将其放到三角形中去解三角形.（1）证明证明 ①当 AB，CD 在同一平面内时， 由∥，平面∩平面 ABDC=AC， 平面∩平面 ABDC=BD，∴AC∥BD，∵AE∶EB=CF∶FD，∴EF∥BD， 又 EF,BD,∴EF∥. ②当 AB 与 CD 异面时， 设平面 ACD∩=DH，且 DH=AC.∵∥，∩平面 ACDH=AC，∴AC∥DH，∴四边形 ACDH 是平行四边形， 在 AH 上取一点 G，使 AG∶GH=CF∶FD， 又∵AE∶EB=CF∶FD，∴GF∥HD，EG∥BH， 又 EG∩GF=G，∴平面 EFG∥平面.∵EF平面 EFG，∴EF∥.综上，EF∥.（2）解解 如图所示，连接 AD，取 AD 的中点 M，连接 ME，MF.∵E，F 分别为 AB，CD 的中点， ∴ME∥BD，MF∥AC，且 ME=BD=3，MF=AC=2，21 21∴∠EMF 为 AC 与 BD 所成的角（或其补角） ， ∴∠EMF=60°或 120°， ∴在△EFM 中由余弦定理得，EF=EMFMFMEMFMEcos222==，212322322613即 EF=或 EF=.719点评：点评：线线、线面、面面平行之间常常需要直接或间接转化，不少问题还需要我们多次转 化，才能实现；立体几何中问题的解决还需要平面几何知识的运用，事实上复杂的立体几 何问题最终是在一个或几个平面中得以解决的. 变式训练：变式训练：如图所示，在正方体 ABCD—A1B1C1D1中， E、F、G、H 分别是 BC、CC1、C1D1、A1A 的中点. 求证：（1）BF∥HD1； （2）EG∥平面 BB1D1D； （3）平面 BDF∥平面 B1D1H. 解析：解析： （1）如图所示，取 BB1的中点 M，易证四边形 HMC1D1是平行四边形，∴HD1∥MC1. 又∵MC1∥BF，∴BF∥HD1. （2）取 BD 的中点 O，连接 EO，D1O，则 OE DC，又 D1G DC，∴OE D1G，21 21∴四边形 OEGD1是平行四边形，∴GE∥D1O. 又 D1O平面 BB1D1D，∴EG∥平面 BB1D1D. （3）由（1）知 D1H∥BF，又 BD∥B1D1，B1D1、HD1平面 HB1D1，BF、BD平面 BDF，且 B1D1∩HD1=D1，DB∩BF=B，∴平面 BDF∥平面 B1D1H. ※※高考新题零距离高考新题零距离 （2010·陕西文高考题） 如图，在四棱锥 P—ABCD 中，底面ABCD是矩形PA⊥平面 ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F 分别是 PB,PC 的中点. (1)证明：EF∥平面 PAD； (2)求三棱锥 E—ABC 的体积 V. 证明：证明：(1)在△PBC 中，E，F 分别是 PB，PC 的中点，∴EF∥BC. 又 BC∥AD,∴EF∥AD, 又∵AD平面 PAD,EF平面 PAD,∴EF∥平面 PAD.(2)连接。