第六章 勒让德多项式 数理方程课件.ppt

HUST 数学物理方程与特殊函数第6章 勒让德多项式第六章 勒让德多项式6.1 勒让德方程的导出考虑球域内Laplace方程的Dirichlet问题HUST 数学物理方程与特殊函数第6章 勒让德多项式n为实数或复数HUST 数学物理方程与特殊函数第6章 勒让德多项式连带勒让德方程 n次勒让德方程 HUST 数学物理方程与特殊函数第6章 勒让德多项式n次勒让德方程 6.2 勒让德方程求解令，则于是得到n次勒让德方程的通解为其中， 为任意常数HUST 数学物理方程与特殊函数第6章 勒让德多项式若记的特解,他们在|x|<1内是收敛的y1为偶函数，y2为奇函数则以上两个级数都是勒让德方程 n为正偶数或负奇数时， y1为多项式，n为负偶数或正奇数 时，y2为多项式 n为非整数时，y1， y2均为无穷级数， 它们在|x|<1内收敛，在其它点发散，并且 时， y1， y2都趋于无穷大，故此时方程没有有界解HUST 数学物理方程与特殊函数第6章 勒让德多项式当n为偶数时 当n为奇数时 6.3 勒让德多项式 n为正偶数或负奇数时， y1为多项式，n为负偶数或正奇数 时，y2为多项式。

将两个勒让德多项式写成统一形式：称为n次勒让德多项式或第一类勒让德函数 前六个勒让德多项式为：HUST 数学物理方程与特殊函数第6章 勒让德多项式6.3 勒让德多项式HUST 数学物理方程与特殊函数第6章 勒让德多项式其中， 为n次勒让德多项式， 是无穷级数，它的收敛域是区间（-1，1），但在（ - 1，1）上是无界函数 ，称它为第二类勒让德函数综上所述，n为整数时， n次勒让德方程的通解为6.4 勒让德多项式的性质性质1 勒让德多项式具有如下微分表示HUST 数学物理方程与特殊函数第6章 勒让德多项式性质2 正交性 先证明：. 事实上从而有HUST 数学物理方程与特殊函数第6章 勒让德多项式性质3 勒让德多项式的模为证明：HUST 数学物理方程与特殊函数第6章 勒让德多项式HUST 数学物理方程与特殊函数第6章 勒让德多项式性质4 递推公式 性质5 奇偶性 HUST 数学物理方程与特殊函数第6章 勒让德多项式6.5 傅立叶—勒让德级数定理 如果 在(-1，1)内分段光滑, 则 能展成傅立叶—勒让德级数： 并且在 的连续点,级数收敛于 ；而在 的间断点，级数收敛于 ，其中 HUST 数学物理方程与特殊函数第6章 勒让德多项式解：例1:将 在[-1,1]内展成傅立叶--勒让德级数。

HUST 数学物理方程与特殊函数第6章 勒让德多项式解法二解法一例2:将 在[-1,1]内展成傅立叶--勒让德级数 HUST 数学物理方程与特殊函数第6章 勒让德多项式解：例3:将 在[-1,1]内展成傅立叶--勒让德级数 HUST 数学物理方程与特殊函数第6章 勒让德多项式n为奇数时n为偶数时解：例4: 将 在[-1,1]内展成傅立叶--勒让德级数 HUST 数学物理方程与特殊函数第6章 勒让德多项式例5:将 在[-2,2]内展成勒让德多项式的级数形式 在[-1,1]内 如何将 在[-a,b]内展成勒让德多项式的级数形式 ？思考HUST 数学物理方程与特殊函数第6章 勒让德多项式例6 求定 解问题解：HUST 数学物理方程与特殊函数第6章 勒让德多项式 例7：在电场强度为E0的均匀电场中放一个接地导体球，直径为a， 求球外电场 解：均匀电场产生的电势 球面上的感应电荷产生的电势 。