高等数学定积分总结.doc

第五章　 定积分内容:定积分的概念和性质、微积分基本公式、换元积分法、分部积分法、广义积分规定:理解定积分的概念和性质掌握牛顿-莱布尼兹公式、定积分的换元法和分部积分法,理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，理解广义积分的概念和计算措施重点：定积分的概念和性质;微积分基本公式;换元积分法、分部积分法难点:定积分的概念；变上限积分函数及其导数；换元积分法、分部积分法§1．定积分的概念一、实例分析1.曲边梯形的面积y=f (x)x=a x=b设函数∈Ｃ[a, ｂ], 且>0.　由曲线围成的图形称为曲边梯形． 如何定义曲边梯形的面积？(1） 矩形面积=底´高．(2)　预备一张细长条的纸, 其面积»底´高．(３) 预备一张呈曲边梯形状的纸,　将其撕成许多细长条． (４) 启示: 将曲边梯形分割为许多细长条,　分割得越细, 误差越小.y=f (x)a=x0 x1 xi-1 xi xn=b第i个细长条面积曲边梯形面积: 定积分概念示意图.ppｔ定义: 抛开上述过程的几何意义，将其数学过程定义为定积分.二、定积分的定义１. 定义设在［ａ, b]有定义, 且有界.(１) 分割:　用分点把［a, b]分割成n个社区间:(２） 取点:　在每个社区间上任取一点xi, 做乘积: .(3） 求和: (4) 取极限： 若极限存在,　则其为在[a, b]上的定积分, 记作: . 即: [a,　ｂ]: 积分区间;a:积分下限；ｂ：积分上限;积分和式.问题:　定积分是极限值， 在求极限的过程中，　谁是常量, 谁是变量？注: (1) 与区间的分割法Dxi和取点法xi有关; 而与Dxi和xｉ无关．(2) 与a、b、ｆ 有关，与x无关，即：２．定积分存在定理定理 　若在[a, b]上有界且只有有限个间断点,则在[ａ, b]上可积.推论 　若在[ａ,　b]上持续,则在［a,　ｂ］上可积.例1． 求解:　在[０， 1］持续, 积分存在. 与［0, 1]的分割法和xｉ的取法无关. 选用特殊的分割法和取点法， 可使计算简便．（1) 将[0,　1]ｎ等分, (2) 取点xi＝(３)　求和(４)　取极限故3. 定积分的几何意义若在[ａ， b]上非负,　则＝曲边梯形面积;S+S+S-若在[a, b]上非正， 则=曲边梯形面积的负值;的几何意义是由曲线围成曲边梯形面积的代数和.　例2． ． 三、定积分的性质1.规定2.性质a c ba b c(４) 若在[a, ｂ]上有，则推论1 若，则推论2　(5) 设M、m分别为在[a， b］上的最大、最小值，则(6） (积分中值定理） 设， 则, 使得y=f(ξ)将中值定理变形得:称为在[a, b]上的平均值.ﻬ§2. 微积分基本公式一、变速直线运动中的位置函数与速度函数之间的关系（略)二、积分上限的函数及其导数设在[a, b］上持续, 则"xÎ［a, b], 有在［a, x]上持续. 从而存在. 在这里,　积分上限x与被积变量x的性质是不同的. 与a、b、f 有关,与x无关．　与ａ、ｘ、f　有关. 对于[a, ｂ］上的任一点x， 有一种拟定的相应值,　故是x的函数, 记作F(x), 即:称为积分上限的函数.定理 若在[a， b]上持续， 则积分上限的函数在［a,　b]上可导, 且 证明: .注： 若在[a,　ｂ］上不持续, 则最后一种等式不成立.此定理阐明, 是的一种原函数.例１. 例2．　，　求例3. 求极限.三、牛顿—莱布尼茨公式定理 若在［a, b]上持续, 是的一种原函数,则证明:是的一种原函数, 也是的一种原函数， 同一种函数的两个原函数之间有关一种常数, 于是有:例1. 例２． 例３.例4.例５.　例6. 注:在数学计算过程中， 要对结论(答案)作合理性检查． ﻬ§3. 定积分的换元法和分部积分法一、定积分的换元法定理 若满足如下条件：（１) 是[α,β](或［β,α］)上单值单调函数;（2）　在[α,β](或[β，α］)有持续导数;(3) 则: .例1． 令．　当ｘ=0时, t=1; 当x=４时， t=３.(若不定积分掌握得较好得话, 可以直接凑微分:)与不定积分换元法相比较, 有两点不同：(1） 积分变量由x变为ｔ时, 积分的上下限也要随之变化;（２) 求出有关t的原函数后不必回代成x的函数.例2.　注:换元积分公式，满足所规定的条件很重要,如:而事实上,，其因素在于在ｔ=0不可导.例3. 证明： (1)　若是［－ａ， a]上的偶函数, 则(2) 若证明是[-a， a]上的奇函数， 则证明: 此例提示我们, 在计算定积分时, 看到对称的积分限, 要保持敏感.例．例４. , 证明: 并计算二、定积分的分部积分法定积分的分部积分法合用的函数类型与不定积分的分部积分法相似.例1.　例2. 例3.　积分公式：例4.§4.　反常积分(广义积分）定义定积分需满足如下条件:　(1) 有界　　(2） 只有有限个间断点 (3) ａ, b为拟定的数值,　即积分限是有限值. 反常积分是对无穷积分限和无界函数定义的积分.一、无穷限的反常积分定义　设,　取ｔ>a,　若极限存在, 则称此极限为上的反常积分, 记作,　即:存在, 也称为收敛;　若不存在,　则称发散．类似地, 定义： 注: 例1.　例2． 例3. 故发散．二、无界函数的反常积分定义　设, 取b>t>a,　若极限存在, 则称此极限为上的反常积分, 仍记作， 即：亦称为收敛; 否则，称发散.类似地，　定义:　注: 例4. 例5. 例６.　故发散.注：　计算前, 一方面判断在[a, b]上与否有无穷点. 定积分小结一、基本概念１.定积分２.变上限积分函数３．广义积分(1）无穷积分限（2)无穷间断点二、定积分的性质１.定积分与被积分字母无关２．积分限的分割3.积分中值定理 设, 则, 使得４.对称函数在对称区间上的积分三、定积分的计算１．牛——莱公式2.换元积分法3.分部积分法四、积分上限函数求导。