初中数学背景知识27 丢番图方程一瞥素材 人教新课标版.doc

此资料由网络收集而来，如有侵权请告知上传者立即删除资料共分享，我们负责传递知识丢番图方程一瞥丢番图是古希腊亚历山大里亚时期的数学家，对他的生平人们知之甚少传说公元4世纪的一部诗集中有一首短诗，以谜语体裁叙述了他的经历；又传说在一本问题集里有一道解方程问题，反映了他的生平；还传说在他的墓志铭中讲述了他的一生所有这些传说，无非是如下一段文字：此人一生中，幼年占，青少年占，又过岁月结婚，婚后5年喜得子，但先父4年而卒，寿为其父之半这段文字可以列成方程++=5++4=x,解之得x=84丢番图活了84岁丢番图对数学有两大贡献，其一是采用缩写方式简化数学表达，人称缩写代数，推进了数学符号的采用；其一是求解不定方程，人称丢番图方程，开辟了数论研究的一个重要领域，这个领域后来被称为丢番图分析丢番图曾写过三部书，其中13卷本的《算术》最为出色，后失传大约在1463年雷琼蒙塔努力发现了这部书的6卷，1560年，帕茨发现了这部书原稿抄本，1621年出版了《算术》的拉丁文、希腊文版本《算术》中大部分问题是求解不定方程的，其解法非常巧妙，很少给出一般法则，即使性质相近的题，其解法也会大不相同著名数学家汉克尔说：“研究丢番图100道题后，去解第101道，仍然感到困难重重。

请看3道例题：例1“对于给定的两个数分别加上某个数，使它们成为两个平方数丢番图的解法用现代记号可表示如下（后同）：设方程组a+x=y2b+x=z2取a=2,b=3；构成差（3+x）-(2+x)=1；找两个数，令其乘积等于这个差，取4和，；设2+x=或3+x=;由此解得x=，为所求例2“已给定一个数为两个平方数之和，把它分成另外两个平方数之和设方程x2+y2=z12+z22例3 “求四个数，使这四个数之和的平方加上或减去这四个数中的任意一个数，所得的仍是一个平方数 丢番图的解法如下：设方程组取四组勾股数65，32，52，39；65，60，25；65，56，33；65，63，16；解之得以上3例，我们可以看到丢番图在解不定方程时的高超技巧不定方程之不定，是因为未知量的个数大于方程的个数，要害在于消元所以，我们在研究丢番图的解法时，要特别注意其中消元的技巧：例1的解法可以表示为即可得例2的解法可以表示为设 即即得例3的解法的关键在于，直角三角形的斜边（c）与两直角边（a、b）有c22ab=a2+b22ab=(ab)的关系，于是这个问题归结为求四个具有相同长斜边的不同的直角三角形余韵请读者细细品味。