圆锥曲线典型例题讲解.docx

本文格式为Word版，下载可任意编辑圆锥曲线典型例题讲解 9.1 椭 圆 典例精析 题型一 求椭圆的标准方程 45 【例1】已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和 325 ，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程. 3 x23y23x2y2 【解析】故所求方程为＋＝1或＋＝1. 510105 【点拨】(1)在求椭圆的标准方程时，常用待定系数法，但是当焦点所在坐标轴不确定时，需要考虑两种情形，有时也可设椭圆的统一方程形式：mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)；(2)在求椭圆中的a、b、c时，经常用到椭圆的定义及解三角形的学识. 【变式训练1】已知椭圆C1的中心在原点、焦点在x轴上，抛物线C2的顶点在原点、焦点在x轴上.小明从曲线C1，C2上各取若干个点(每条曲线上至少取两个点)，并记录其坐标(x，y).由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆C1上，也不在抛物线C2上.小明的记录如下： x2y2 据此，可推断椭圆C1的方程为 . ＋＝1. 126题型二 椭圆的几何性质的运用 【例2】已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°. (1)求椭圆离心率的范围； (2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关. 1 【解析】(1)e的取值范围是[，1).(2)SPF2 【点拨】椭圆中△F1PF2往往称为焦点三角形，求解有关问题时，要留神正、余弦定理，面积公式的使用；|PF1|＋|PF2|2 求范围时，要更加留神椭圆定义(或性质)与不等式的联合使用，如|PF1|·|PF2|≤()，|PF1|≥a－ 2x2y21 c. 【变式训练2】已知P是椭圆＋＝1上的一点，Q，R分别是圆(x＋4)2＋y2＝和圆 2594 1 (x－4)2＋y2＝上的点，那么|PQ|＋|PR|的最小值是 .【解析】最小值为9. 4题型三 有关椭圆的综合问题 x2y2 【例3】(2022全国新课标)设F1，F2分别是椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F1斜率为 ab 1 1F213＝mnsin 60°＝b2， 23 1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列. (1)求E的离心率； 2x2y2 (2)设点P(0，－1)得志|PA|＝|PB|，求E的方程.(1).(2)为＋＝1. 2189 x2y2 【变式训练3】已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为e，两焦点为F1，F2，抛物线以F1为顶点，F2 ab|PF1| 为焦点，P为两曲线的一个交点，若＝e，那么e的值是( ) |PF2| A.3 2 B.3 3 C.2 2 D. 6 【解析】选B 3 题型思 有关椭圆与直线综合问题 x2y21【例4】【2022高考浙江理21】如图，椭圆C：2+2?1(a＞b＞0)的离心率为，其左焦点到点P(2，1) 2ab的距离为10．不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平 分． (Ⅰ)求椭圆C的方程； (Ⅱ) 求?ABP的面积取最大时直线l的方程． . 【变式训练4】【2022高考广东理20】 x2y22在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：2?2?1(a?b?0)的离心率e=，且椭圆C上的点到Q ab3（0，2）的距离的最大值为3. （1）求椭圆C的方程； （2）在椭圆C上，是否存在点M（m,n）使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由． 2 总结提高 1.椭圆的标准方程有两种形式，其布局简朴，形式对称且系数的几何意义明确，在解题时要防止遗漏.确定椭圆需要三个条件，要确定焦点在哪条坐标轴上(即定位)，还要确定a、 b的值(即定量)，若定位条件缺乏应分类议论，或设方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)求解. 2.充分利用定义解题，一方面，会根据定义判定动点的轨迹是椭圆，另一方面，会利用椭圆上的点到两焦点的距离和为常数举行计算推理. 3.焦点三角形包含着好多关系，解题时要多从椭圆定义和三角形的几何条件入手，且不成顾此失彼，另外确定要留神椭圆离心率的范围. 练习 x2?y2?1的右焦点为F,右准线为l，1（2022全国卷Ⅰ理）已知椭圆C:点A?l，线段AF交C于点B，2?????????????若FA?3FB,那么|AF|=( ) A. 2 B. 2 C.3 D. 3选A x2y2.2（2022浙江文）已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF?xab????????轴，直线AB交y轴于点P．若AP?2PB，那么椭圆的离心率是（ ） A．1132 B． C． D．【答案】D 3222x2y23.（2022江西卷理）过椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点， ab?若?F1PF2?60，那么椭圆的离心率为 A． 1123 B． C． D．【答案】B 3223x2y23a4.【2022高考新课标理4】设F1F2是椭圆E:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点，P为直线x?上一 2ab点，?F2PF1是底角为30的等腰三角形，那么E的离心率为（ ） ? 3 (A) 12? (B) (C) 23?(D)?【答案】C ?x2y2??1的左焦点为F，直线x?m与椭圆相交于点A、B，当?FAB5【2022高考四川理15】椭圆43的周长最大时，?FAB的面积是____________。

答案】3 x2y26【2022高考江西理13】椭圆 2?2?1(a?b?0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1， abF2若AF1F2，F1B成等比数列，那么此椭圆的离心率为_______________.【答案】1，F5 5 x2y2【例4】【解析】(Ⅰ)：+?1． 43(Ⅱ)易得直线OP的方程：y＝ 11x，设A(x，y)，B(x，y)，R(x，y)．其中y＝x．22A A B B 0 0 0 0 ?xA2yA2+?1??43∴?22?xB+yB?1?3?4?kAB?yA?yB3x?xB32x3???A???0??xA?xB4yA?yB42y02． 设直线AB的方程为l：y＝﹣ 3x?m2(m≠0)，入椭圆： ?x2y2+?1??43??y＝-3x?m??2?3x2?3mx?m2?3?0．鲜明 ??(3m)?24?m3(?23?)m3?(1．∴﹣2?12)＜m＜22m2?3012且m≠0．由上又有：xA?xB＝m，yA?yB＝． 3＝∴|AB|＝1?kAB|xA?xB|＝1?kABd?(xA?xB)?4xAxB?m?21?kAB． 1?kABm24?3． ?3?1?m1?kAB∵点P(2，1)到直线l的距离表示为： m2114?∴S?＝d|AB|＝|m＋2|322ABP ，当|m＋2|＝m24?3，即m＝﹣3 或m＝0(舍去)时，(S ?ABP)max＝ 1． 2此时直线l的方程y＝﹣ 31x?22． 【变式训练4】【解析】（1）设 c?a2?b2 由e?c221??c2?a2，所以b2?a2?c2?a2 3a33x2y2y222?2?1，所以x?a(1?2)?a2?3y2 设P(x,y)是椭圆C上任意一点，那么 2abb|PQ|?x2?(y?2)2?a2?3y2?(y?2)2??2(y?1)2?a2?6 4 当 b?1时，当y??1时，|PQ|有最大值a2?6?3，可得a?3，所以b?1,c?2 b?1时，PQ?a2?6?3b2?6?3 不合题意 当 x2?y2?1 故椭圆C的方程为： 3 （2） ?AOB中，OA?OB?1，S?AOB?11?OA?OB?sin?AOB? 22 当且仅当 ?AOB?90?时，S?AOB有最大值 12， ?AOB?90?时，点O到直线AB的距离为d?22 d?212???m2?n2?2 22m2?n2 又 3162m2?3n2?3?m2?,n2?，此时点M(?,?)2222。

9.2 双曲线 典例精析 题型一 双曲线的定义与标准方程 【例1】已知动圆E与圆A：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆B：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心E的轨x2y2 迹方程.【解析】－＝1(x≥2). 214 【点拨】利用两圆内、外切圆心距与两圆半径的关系找出E点得志的几何条件，结合双曲线定义求解， 5 — 10 —。