平面向量的数量积及平面微量应用举例ppt课件.ppt

知识点知识点考纲下载考纲下载考情上线考情上线平面向平面向量的数量的数量量积及及平面向平面向量量应用用举例例1.理解平面向量数量理解平面向量数量积的含的含义   及其物理意及其物理意义.2.了解平面向量的数量了解平面向量的数量积与与   向量投影的关系向量投影的关系.3.掌握数量掌握数量积的坐的坐标表达式，表达式，   会会进行平面向量数量行平面向量数量积的坐的坐   标运算运算.4.能运用数量能运用数量积表示两个向表示两个向  量的量的夹角，会用数量角，会用数量积判断判断  两个平面向量的垂直关系两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些会用向量方法解决某些简  单的力学的力学问题和其他一些和其他一些实  际问题.高考的高考的热点包括以下三点包括以下三方面：方面：1.夹角角问题：范：范围[0，， π].2.垂直垂直问题：：a·b＝＝0⇔⇔x1x2   ＋＋y1y2＝＝0及及应用用.3.模模问题：：a2＝＝|a|2.   上述三上述三类问题与三角与三角变   换、不等式、解析几何、不等式、解析几何   链接密切，以解答接密切，以解答题形形   式在交式在交汇处命命题，是近，是近  几年命几年命题的的热点点.一、两个向量的夹角一、两个向量的夹角留意：同一同点留意：同一同点 三角形中运用三角形中运用二、向量数量积二、向量数量积规定：规定：思索：投影是数量可以思索：投影是数量可以为零、零、负数、正数数、正数三、向量数量积的性质〔以下都是非零向量〕三、向量数量积的性质〔以下都是非零向量〕四、数量积的运算律四、数量积的运算律数量数量积的运算律不成立：的运算律不成立：3.|a|＝＝                    .五、数量五、数量积的坐的坐标运算运算　　设a＝＝(a1，，a2)，，b＝＝(b1，，b2)，那么，那么1.a·b＝＝                      .  a1b1＋＋a2b2 2.a⊥ ⊥b⇔⇔                               .a1b1＋＋a2b2＝＝04.cos〈〈a，，b〉＝〉＝                                  .重要结论：重要结论：线性运算的三角形法那么线性运算的三角形法那么1.知向量知向量a＝＝(2,1)，，a·b＝＝10，，|a＋＋b|＝＝5       ，那么，那么|b|＝＝(　　)     A.　　　　　　　　　　　　　　              B.     C.5                                            D.25解析：解析：∵∵|a＋＋b|2＝＝a2＋＋2a·b＋＋b2＝＝5＋＋20＋＋b2＝＝50，，∴∴b2＝＝25，，∴∴|b|＝＝5.答案：答案：C2.知知|a|＝＝1，，|b|＝＝6，，a·(b－－a)＝＝2，那么向量，那么向量a与与b的的夹夹角是角是                                                                                                      ( 　　　　)解析：解析：∵∵a·(b－－a)＝＝a·b－－a2＝＝2，，∴∴a·b＝＝2＋＋a2＝＝3.∴∴cos〈〈a·b〉〉                                       ∴∴a与与b的的夹角角为      .答案：答案：C3.知向量知向量a＝＝(1,2)，，b＝＝(2，－，－3).假假设设向量向量c满满足足(c＋＋a)∥ ∥b，，   c⊥ ⊥(a＋＋b)，那么，那么c＝＝                                                                    (　　　　)解析：解析：设c＝＝(x，，y)，那么，那么c＋＋a＝＝(x＋＋1，，y＋＋2)，，又又(c＋＋a)∥∥b，，∴∴2(y＋＋2)＋＋3(x＋＋1)＝＝0.                    ①又又c⊥⊥(a＋＋b)，，∴∴(x，，y)·(3，－，－1)＝＝3x－－y＝＝0.        ②解解①②得得答案：答案：Dx= y=x= y=4.知知a＝＝(3,2)，，b＝＝(－－1,2)，，(a＋＋λb)⊥ ⊥b，那么，那么实实数数λ＝＝ 　　        .解析：解析：∵∵(a＋＋λb)⊥⊥b，，∴∴(a＋＋λb)·b＝＝a·b＋＋λb2＝＝1＋＋5λ＝＝0，，∴∴λ=-答案：答案：5.知向量知向量a、、b的的夹夹角角为为45°，且，且|a|＝＝4，，(       a＋＋b)·(2a－－3b)   ＝＝12，那么，那么|b|＝　　　；＝　　　；b在在a方向上的投影等于　　　方向上的投影等于　　　.解析：解析：a·b＝＝|a|·|b|cos〈〈a，，b〉＝〉＝4|b|cos45°＝＝2     |b|，，又又(       a＋＋b)·(2a－－3b)＝＝|a|2＋＋      a·b－－3|b|2＝＝16＋＋    |b|－－3|b|2＝＝12，，解得解得|b|＝＝       或或|b|＝＝                (舍去舍去).b在在a上的投影上的投影为|b|cos〈〈a，，b〉＝〉＝     cos45°＝＝1.答案：答案： 1.当当a，，b是非坐是非坐标标方式方式时时，求，求a与与b的的夹夹角，需求得角，需求得a·b及及         |a|，，|b|或得出它或得出它们们的关系的关系.2.假假设设知知a与与b的坐的坐标标，那么可直接利用公式，那么可直接利用公式【留意】　平面向量【留意】　平面向量a、、b的的夹角角θ∈∈[0，，π].cosθ=                   知知|a|＝＝1，，a·b＝＝      ，，(a－－b)·(a＋＋b)＝＝        ，，求：求：(1)a与与b的的夹角；角；(2)a－－b与与a＋＋b的的夹角的余弦角的余弦值. (1)由由(a－－b)和和(a＋＋b)的数量的数量积积可得出可得出|a|、、|b|的的关系关系.(2)计计算算a－－b和和a＋＋b的模的模.【解】　【解】　(1)∵ ∵(a－－b)·(a＋＋b)＝＝        ，，∴ ∴|a|2－－|b|2＝＝       ，，又又∵ ∵|a|＝＝1，，∴ ∴|b|＝＝ 设设a与与b的的夹夹角角为为θ，那么，那么cosθ＝＝又又∵ ∵θ∈ ∈[0，，π]，，∴ ∴θ＝＝(2)∵ ∵(a－－b)2＝＝a2－－2a·b＋＋b2 (a＋＋b)2＝＝a2＋＋2a·b＋＋b2＝＝1＋＋2∴ ∴|a＋＋b|＝＝          ，，设设a－－b与与a＋＋b的的夹夹角角为为α，，1.知知a、、b、、c是同一平面内的三个向量，其中是同一平面内的三个向量，其中a＝＝(1,2).    (1)假假设设|c|＝＝2      ，且，且c∥ ∥a，求，求c的坐的坐标标；；    (2)假假设设|b|＝＝      ，且，且a＋＋2b与与2a－－b垂直，求垂直，求a与与b的的夹夹角角θ.解：解：(1)设c＝＝(x，，y)，由，由c∥∥a和和|c|＝＝2       可得可得∴∴c＝＝(2,4)或或c＝＝(－－2，－，－4).(2)∵∵(a＋＋2b)⊥⊥(2a－－b)，，∴∴(a＋＋2b)·(2a－－b)＝＝0，，即即2a2＋＋3a·b－－2b2＝＝0.∴∴2|a|2＋＋3a·b－－2|b|2＝＝0，，∴∴2×5＋＋3a·b－－2×       ＝＝0，，∴∴a·b＝＝—       ，，∴∴cosθ＝＝               ＝－＝－1，，∵∵θ∈∈[0，，π]，，∴∴θ＝＝π.利用数量利用数量积求解求解长度度问题是数量是数量积的重要运用，要掌握此的重要运用，要掌握此类问题的的处置方法：置方法：(1)|a|2＝＝a2＝＝a·a；；(2)|a±b|2＝＝a2±2a·b＋＋b2；；(3)假假设a＝＝(x，，y)，那么，那么|a|＝＝                   知向量知向量a＝＝                                  ，，b＝＝(cos，－，－sin        )，且，且(1)求求a·b及及|a＋＋b|；；(2)假假设f(x)＝＝a·b－－|a＋＋b|，求，求f(x)的最大的最大值和最小和最小值. cos       x,sin        x利用数量利用数量积的坐的坐标运算及性运算及性质即可求解，在求即可求解，在求|a＋＋b|时留意留意x的取的取值范范围.【解】　【解】　(1)a·b＝＝                                                    sin＝＝cos2x，，|a＋＋b|＝＝                         ＝＝2|cosx|，，∵ ∵x∈ ∈                      ，，∴ ∴cosx＞＞0，，∴ ∴|a＋＋b|＝＝2cosx.∴∴当当cosx＝＝       时，，f(x)获得最小得最小值当当cosx＝＝1时，，f(x)获得最大得最大值－－1.(2)f(x)＝＝cos2x－－2cosx＝＝2cos2x－－2cosx－－12.(2021·湖北高考湖北高考)知向量知向量a＝＝(cosα，，sinα)，，b＝＝(cosβ，，   sinβ)，，c＝＝(－－1,0).   (1)求向量求向量b＋＋c的的长长度的最大度的最大值值；；   (2)设设α=             且且a⊥ ⊥(b＋＋c)，求，求cosβ的的值值.解：解：(1)法一：由知得法一：由知得b＋＋c＝＝(cosβ－－1，，sinβ)，那么，那么|b＋＋c|2＝＝(cosβ－－1)2＋＋sin2β＝＝2(1－－cosβ).∵∵－－1≤cosβ≤1，，∴∴0≤|b＋＋c|2≤4，即，即0≤|b＋＋c|≤2.当当cosβ＝－＝－1时，有，有|b＋＋c|max＝＝2，，所以向量所以向量b＋＋c的的长度的最大度的最大值为2.法二：法二：∵∵|b|＝＝1，，|c|＝＝1，，|b＋＋c|≤|b|＋＋|c|＝＝2.当当cosβ＝－＝－1时，有，有b＋＋c＝＝(－－2,0)，即，即|b＋＋c|＝＝2，，所以向量所以向量b＋＋c的的长度的最大度的最大值为2.(2)法一：由知可得法一：由知可得b＋＋c＝＝(cosβ－－1，，sinβ)，，a·(b＋＋c)＝＝cosαcosβ＋＋sinαsinβ－－cosα＝＝cos(α－－β)－－cosα.∵ ∵a⊥ ⊥(b＋＋c)，，∴ ∴a·(b＋＋c)＝＝0，即，即cos(α－－β)＝＝cosα.由由α＝＝       ，得，得cos(      －－β)＝＝cos        ，，即即β－－      ＝＝2kπ±       (k∈ ∈Z)，，∴ ∴β＝＝2kπ＋＋       或或β＝＝2kπ，，k∈ ∈Z，，于是于是cosβ＝＝0或或cosβ＝＝1.法二：假法二：假设α＝＝        ，那么，那么a＝＝又由又由b＝＝(cosβ，，sinβ)，，c＝＝(－－1,0)，，得得a·(b＋＋c)＝＝                          (cosβ－－1，，sinβ)∵∵a⊥⊥(b＋＋c)，，∴∴a·(b＋＋c)＝＝0，即，即cosβ＋＋sinβ＝＝1.∴∴sinβ＝＝1－－cosβ，平方后化，平方后化简得得cosβ(cosβ－－1)＝＝0，，解得解得cosβ＝＝0或或cosβ＝＝1.经检验，，cosβ＝＝0或或cosβ＝＝1即即为所求所求.cosβ+sinβ+1.证证明明线线段平行段平行问题问题，包括，包括类类似似问题问题，常用向量平行，常用向量平行(共共线线)   的充要条件：的充要条件：   a∥ ∥b⇔⇔a＝＝λb⇔⇔x1y2－－x2y1＝＝0(b≠0).2.证证明垂直明垂直问题问题，常用向量垂直的充要条件：，常用向量垂直的充要条件：    a⊥ ⊥b⇔⇔a·b＝＝0⇔⇔x1x2＋＋y1y2＝＝0.                  知向量知向量a＝＝(cos(－－θ)，，sin(－－θ))，，b＝＝(cos(      －－θ)，，Sin(      －－θ))(1)求求证：：a⊥⊥b；；(2)假假设存在不等于存在不等于0的的实数数k和和t，使，使x＝＝a＋＋(t2＋＋3)b，，y＝－＝－ka＋＋tb，，满足足x⊥⊥y，，试求此求此时            的最小的最小值. (1)可可经过经过求求a·b＝＝0证证明明a⊥ ⊥b.(2)由由x⊥ ⊥y得得x·y＝＝0，即求出关于，即求出关于k，，t的一个方程，的一个方程，从而求出从而求出             的代数表达式，消去一个量的代数表达式，消去一个量k，，得出关于得出关于t的函数，从而求出最小的函数，从而求出最小值值.【解】　【解】　(1)∵ ∵a·b＝＝cos(－－θ)cos(         －－θ)＋＋sin(－－θ)sin(         －－θ)＝＝sinθcosθ－－sinθcosθ＝＝0.∴ ∴a⊥ ⊥b.(2)由由x⊥ ⊥y得：得：x·y＝＝0，，即即[a＋＋(t2＋＋3)b]·(－－ka＋＋tb)＝＝0，，∴ ∴－－ka2＋＋(t3＋＋3t)b2＋＋[t－－k(t2＋＋3)]a·b＝＝0，，∴ ∴－－k|a|2＋＋(t3＋＋3t)|b|2＝＝0.又又|a|2＝＝1，，|b|2＝＝1，，∴ ∴-k+t3+3t=0∴ ∴k=t3+3t.故当故当                时，，         有最小有最小值=t2+t+3=t=-　　　　3.知知A(3,0)，，B(0,3)，，C(cosα，，sinα)，，O为原点原点.    (1)假假设                  ，求，求tanα的的值；；    (2)假假设                 ，求，求sin2α的的值；；    (3)假假设                                  且且α∈∈(0，，π)，求，求                  的的夹角角.解：解：(1)                                               (0,3)－－(3,0)＝＝(－－3,3).                                                      ∴∴3cosα＋＋3sinα＝＝0，，即即sinα＋＋cosα＝＝0，，∴∴tanα＝－＝－1.(2)                                                        ＝＝(cosα，，sinα－－3)，，即即(cosα－－3)cosα＋＋sinα(sinα－－3)＝＝0，，∴∴1－－3(cosα＋＋sinα)＝＝0，，∴∴sinα＋＋cosα＝＝两两边平方得平方得1＋＋sin2α＝＝∴sin2α=(cosα －－3 ，，sinα)，，∴∴(3＋＋cosα)2＋＋sin2α＝＝13，，∴∴cosα＝＝又又α∈∈(0，，π)，，设                  的的夹角角为θ，那么，那么又又θ∈∈[0，，π]，，∴∴θ＝＝(3＋＋cosα,sinα),∴∴α=sinα=         从近几年高考从近几年高考试题看，平面向量的数量看，平面向量的数量积是高考命是高考命题的的热点，主要点，主要调查平面向量平面向量积的数量的运算、几何意的数量的运算、几何意义、模与、模与夹角、垂直角、垂直问题.在高考中直接在高考中直接调查以以选择题或填空或填空题为主，主，有有时出出现解答解答题，主要与三角函数、解析几何，主要与三角函数、解析几何综合在一同命合在一同命题.2021年江年江苏卷卷15题调查了向量与三角函数相了向量与三角函数相结合的合的标题，，代表了高考的一种代表了高考的一种调查方向方向.(2021·江江苏苏高考高考)设设向量向量a＝＝(4cosα，，sinα)，，b＝＝(sinβ，，4cosβ)，，c＝＝(cosβ，－，－4sinβ).(1)假假设设a与与b－－2c垂直，求垂直，求tan(α＋＋β)的的值值；；(2)求求|b＋＋c|的最大的最大值值；；(3)假假设设tanαtanβ＝＝16，求，求证证：：a∥ ∥b.[解解]　　(1)由于由于a与与b－－2c垂直，垂直，所以所以a·(b－－2c)＝＝4cosαsinβ－－8cosαcosβ＋＋4sinαcosβ＋＋8sinαsinβ＝＝4sin(α＋＋β)－－8cos(α＋＋β)＝＝0，，因此因此tan(α＋＋β)＝＝2.(2)由由b＋＋c＝＝(sinβ＋＋cosβ，，4cosβ－－4sinβ)，得，得又当又当β＝－＝－       时时，等号成立，，等号成立，所以所以|b＋＋c|的最大的最大值为值为(3)证证明：由明：由tanαtanβ＝＝16得＝得＝所以所以a∥ ∥b.|b＋＋c|=数学解答数学解答题在高考中都是分步在高考中都是分步赋分的，只需分的，只需结果没有相果没有相应步步骤和推和推验过程要被扣分，步程要被扣分，步骤不完好亦会被扣分如此不完好亦会被扣分如此题中，很多考生在答中，很多考生在答(1)题时，只写由，只写由题意得意得a·(b－－2c)＝＝0.而而不写条件不写条件a与与b－－2c垂直，会被扣掉垂直，会被扣掉1分，在答分，在答(2)题时得出得出|b＋＋c|≤4       而不而不阐明取等号的条件又会被扣掉明取等号的条件又会被扣掉1分，因此分，因此规范是得范是得总分分值的前提的前提.。