37傅立叶变换的基本性质.ppt

根据傅里叶变换的概念，一个非周期信号可以表述为指数根据傅里叶变换的概念，一个非周期信号可以表述为指数函数的积分，函数的积分， 即即 §3.6 Properties of Fourier Transform1•线性线性 Linearity•奇偶虚实性奇偶虚实性 Conjugation and Conjugate Symmetry•对称性对称性 Duality•尺度变换特性尺度变换特性 Time Scaling•时移特性和频移特性时移特性和频移特性 Time and Frequency Shifting•微分和积分特性微分和积分特性 Differentiation and Integration•卷积定理卷积定理 Convolution Property•Paseval定理定理 Paseval’s Relation3.6 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 21、线性、线性 Linearity 若则 若 且设a1, a2为常数，则有 说明：相加信号的频谱等于各个单独信号的频谱之和3求：求：的傅立叶变换的傅立叶变换42、、 奇偶虚实性奇偶虚实性 Conjugation and Conjugate Symmetry无论f(t)是实函数还是复函数，下面两式均成立时域反摺频域也反摺时域共轭频域共轭并且反摺5(一一)、、f(t)是实函数是实函数 偶函数 奇函数实函数的傅立叶变换的实部为偶函数，而虚部为奇函数6f(-t)的频谱的频谱实部为偶函数，虚部为奇函数7实函数的傅立叶变换的幅度谱为偶函数，而相位谱为奇函数8若若 是实偶函数是实偶函数，则 是t的奇函数， ，因此频谱函数 是 的实偶函数。

若若 是实奇函数是实奇函数，则 是t的偶函数， ，因此频谱函数 是 的虚奇函数9(二二)、、f(t) = jg(t)是虚函数是虚函数 偶函数 奇函数 10 f(t)0t0Ex：实偶函数的傅立叶变换仍为实偶函数11 f(t)0例：实奇函数的傅立叶变换为虚奇函数123、对称性、对称性 Duality若已知则证明：13若f(t)为偶函数，则直流和冲激函数的频谱的对称性是一例子141/20000例例3-6：：154、尺度变换特性 Time Scaling•若•则16证明：根据定义，有令 ,则 ，当 时当 时 17扩展压缩 f(t) f(t/2)压缩扩展185、时移特性、时移特性 Time Shifting若 则证明：1920带有尺度变换的时移特性带有尺度变换的时移特性若a < 0,则有绝对值21• Ex: Find the Fourier Transform of δ(t＋t0) 。

22Ex：Find the spectrum of 3 impulses.单脉冲 的频谱为则有如下三脉冲信号其频谱为23246、频移特性 Frequency Shifting•若•则•证明•同理 25 Ex: Find the Fourier Transform of 以上结果表明，信号频谱沿以上结果表明，信号频谱沿 轴，向左，轴，向左，右平移右平移 ，相当于信号在时域分别乘以，相当于信号在时域分别乘以因子因子 ，， 26 Ex：Determine and sketch the spectrum of Sin and Cos.根据欧拉公式有 再由傅立叶变换的频移特性27调幅信号（AM）的频谱（载波技术）求：求：的频谱？的频谱？调制：Modulation carrier 28 载波频率 29频移特性30调幅信号都可看成乘积信号调幅信号都可看成乘积信号•矩形调幅矩形调幅 频移特性产生频谱的搬移，也称为频移特性产生频谱的搬移，也称为调制特性调制特性。

幅度调幅度调 制是将信号制是将信号 乘以一高频的正弦或者余弦信号，该乘以一高频的正弦或者余弦信号，该过程在时域中表现为信号过程在时域中表现为信号 改变了正弦或余弦信号改变了正弦或余弦信号的幅度，在频域中则使的幅度，在频域中则使 的频谱产生搬移的频谱产生搬移在幅度调制中，将携带信息的信号在幅度调制中，将携带信息的信号 称为称为调制信号调制信号，，高频的正弦或余弦信号称为高频的正弦或余弦信号称为载波载波，两者相乘的信号称，两者相乘的信号称为为已调信号已调信号31Ex：：Determine the spectrum of Rect. AM signal .Sl: 已知矩形脉冲已知矩形脉冲 的频谱的频谱 为为由由可知可知3233调制与解调调制与解调Modulate and DemodulateModulate and Demodulate调制：调制：相乘34解调： 相乘 低通3536A+g(t)377、时域微分特性Differentiation in time-domain •若•则38时域微分特性的证明•两边对t求导39 例3-10：三角脉冲40三角脉冲 的频谱•方法一：代入定义计算（如前面所述）•方法二：利用二阶导数的FTFT418、频域微分特性：、频域微分特性：42例例3-12 ：求斜变信号：求斜变信号t u(t)的傅立叶变换。

的傅立叶变换439、时域积分特性 Integration•若•则•其中，若 则：44时域积分特性的证明45求斜平信号 的频谱？看成高 ，宽 的矩形脉冲 的积分F(0)不为0矩形46无时移FT0FTFT47FT of unit step signal斜平信号FT489. 卷积定理 Convolution property•若•则时域 卷积定理49证明：所以50例：已知系统冲激响应h(t)及e(t)的波形，试用卷积定理求在e(t)作用下系统的零状态响应r(t).解：系统对激励e(t)的零状态响应为 r(t)=e(t)*h(t)直接按时域卷积的方法可得 ，为一三角脉冲设 ，应用时域卷积定理，有51卷乘h(t)e(t)52频域 卷积定理•若•则53Ex：Find the spectrum of cosine impulse。

相乘卷积54乘FTFT卷55 卷积利用卷积证明56求图中所示的三角调幅波信号的频谱三角波575810 Parseval’s Relation If f(t) and F(w) are a Fourier Transform pair, thenE=computing energy per unit time, integrating over all time = computing energy per unit freq., integrating over all freq.---Energy- density spectrum,能量谱密度能量谱密度or 能量谱能量谱反映了信号的能量在频域的分布情况反映了信号的能量在频域的分布情况 for aperiodic signal59Ex: For the given Fourier transforms, evaluate the time-domain expressions: 60Problem: Determine the total energy of evaluate from frequency-domain:61HW1: 6, 7(1)(2), 10(3), 13(4,5,6), 18 , HW2: 15(a)(b), 16(b), 17, 19, 22, 28, 2962。