全国初中数学竞赛试题及答案（2020年整理）.pptx

学 海 无 涯 中国教育学会中学数学教学专业委员会 全国初中数学竞赛试题 一、选择题（共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分.） 1（甲）．如果实数 a，b，c 在数轴上的位置如图所示，那么代数式 a2  | a  b |  (c  a)2  | b  c | 可 以化简为（ ）．,（B） 2a  2b,（C） a,（D）a,,（A） 2c  a 1（乙）．如果a  2 ,,,1,2 ，那么1,2 ,1 3  a,的值为（,）．,,,（A）  2 （B） 2,（C）2,,（D） 2 2,,b 2（甲）．如果正比例函数 y = ax（a ≠ 0）与反比例函数 y = x （b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一,）．,个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（ ）． （A）（2，3） （B）（3，－2） （C）（－2，3） （D）（3，2） 2（乙）． 在平面直角坐标系 xOy 中，满足不等式 x2＋y2≤2x＋2y 的整数点坐标（x，y）的个数为（ （A）10 （B）9 （C）7 （D）5,3（甲）．如果 a，b 为给定的实数，且1 a  b ，那么1，a 1， 2a  b，a  b 1 这四个数据的平均 数与中位数之差的绝对值是（ ）．,（A）1 （B）,,4,2a  1,（C）,,1 2,（D）,,1 4,3（乙）．如图，四边形 ABCD 中，AC，BD 是对角线， △ABC 是等边三角形． ADC  30 ，AD = 3，BD = 5， 则 CD 的长为（ ）．,,,,,（A） 3 2,（B）4,,,,,（C） 2 5,（D）4.5,4（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我 2 元，我的钱 数将是你的 n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我 n 元，我的钱数将是你的 2 倍”，其中 n 为正整数， 则 n 的可能值的个数是（ ）．,,,,,,,,,,,O,,A,,B,,C,,E,,学 海 无 涯 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 4（乙）．如果关于 x 的方程 x2  px  q  0（p，q 是正整数）的正根小于 3， 那么这样的方程的 个数是（ ）． （A） 5 （B） 6 （C） 7 （D） 8 5（甲）．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是 1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设 其朝上的面上的两个数字之和除以 4 的余数分别是 0，1，2，3 的概率为 p0，p1，p2，p3 ，则,p0，p1，p2，p3 中最大的是（ ）． （A） p0 （B） p1,（C） p2 （D） p3,,,,1 1,2 3,1 100,,5（乙）．黑板上写有1， ， ， ，,共 100 个数字．每次操作先从黑板上的数中选取 2 个数,a，b ，然后删去a，b ，并在黑板上写上数a  b  ab ，则经过 99 次操作后，黑板上剩下的数 是（ ）．,（D）99,（A）XXXX （B）101 （C）100 二、填空题（共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分） 6（甲）．按如图的程序进行操作，规定：程序运行,从“输入一个值 x”到“结果是否>487？”为一次 操作. 如果操作进行四次才停止，那么 x 的取 值范围是 . 6 （ 乙） . 如果 a ， b ， c 是正数， 且满足 a  b  c  9 ，,,,,,1 1,   ， 那么,,,,1 10 a,b c, ,b  c c  a a  b,的值,a  b b  c c  a 9 为 ．,,对角线,则线 D,,,7（甲）．如图，正方形 ABCD 的边长为 2 15 ， E，F 分别是 AB，BC 的中点，AF 与 DE，DB 分别交于点 M，N，则△DMN 的面积是 . 7（乙）.如图所示，点A 在半径为 20 的圆 O 上，以 OA 为一条 作矩形OBAC，设直线BC 交圆O 于D、E 两点，若OC  12 ， 段 CE、BD 的长度差是 。

8（甲）. 如果关于 x 的方程 x2+kx+ 3 k2－3k+ 9 = 0 的两个实数 4 2,根分别,,学 海 无 涯,,,,,,,x,,y,,,,,O,,E,,C,,A,,B,,D,1 2,2,x 2012,x 2011,为 x ， x ，那么 1 的值为 ．,8（乙）．设 n 为整数，且 1≤n≤XXXX. 若(n2  n  3)(n2  n  3) 能被 5 整除，则所有 n 的个数 为 . 9（甲）. 2 位八年级同学和 m 位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此 恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得 3 分，负者得 0 分；平局各得 1 分. 比赛结束后， 所有同学的得分总和为 130 分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则 m 的值为 . 9（乙）．如果正数 x，y，z 可以是一个三角形的三边长，那么称（x，y，z）是三角形数．若（a，b，c）,,,1 1 1 a,c,和（ ，，）均为三角形数，且 a≤b≤c，则 的取值范围是 .,a b c 10（甲）如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，,,AB 是直径，AD = DC. 分别延长 BA，CD， 交点为 E. 作 BF⊥EC，并与 EC 的延长线 交于点 F. 若 AE = AO，BC = 6，则 CF 的 长 为 . 10（乙）．已知n 是偶数，且 1≤ n ≤100．若有唯一的正整数对（a，b）使得a2  b2  n 成立，则这样,的 n 的个数为,．,,三、解答题（共 4 题，每题 15 分，共 60 分） 11（甲）．已知二次函数 y  x2 （m  3）x  m  2 ，当1  x  3时，恒有 y  0 ；关于 x 的方程,,10,x2 （m  3）x  m  2  0 的两个实数根的倒数和小于 9 ．求m 的取值范围．,11（乙）. 如图所示，在直角坐标系,xOy 中，点 A 在y 轴负半轴上，点 B、C 分别在 x 轴正、负半轴上，,AO  8, AB  AC,sin C  4 5 。

点 D 段AB 上，连结 CD 交,y 轴于点 E，且 SCOE  SADE 试 求图像经过 B、C、E 三点的二次,函数的解析式 12（甲）. 如图，⊙O 的直径为 AB ，,,,,,学 海 无 涯 O1 过点O ，且与⊙O 内切于点 B ．C 为⊙O 上的点，OC 与 O1 交于点 D ，且OD  CD ．点 E 在OD 上，且 DC  DE ，BE 的延长线与 O1 交于点 F ，求证：△BOC∽△ DO1F ．,12（乙）．如图，⊙O 的内接四边形 ABCD 中，AC，BD 是它的对角线，AC 的中点 I 是△ABD 的内 心. 求证： （1）OI 是△IBD 的外接圆的切线； （2）AB+AD = 2BD.,13（甲）. 已知整数 a，b 满足：a－b 是素数，且 ab 是完全平方数. 当a XXXX 时，求 a 的最小值.,学 海 无 涯 13（乙）．给定一个正整数 n ，凸n 边形中最多有多少个内角等于150 ？并说明理由．,,14（甲）. 求所有正整数 n，使得存在正整数 x1，x2， ，x2012 ，满足 x1  x2 ,, x2012 ，且,,,,,1  2   2012  n . x1 x2 x2012 14（乙）．将2 ， 3 ，…， n （n≥2）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数a，b，c （可 以相同），使得ab  c ，求n 的最小值．,参考解答,,,,,,,,,学 海 无 涯 一、选择题 1(甲) .C 解：由实数 a，b，c 在数轴上的位置可知 b  a  0  c ，且 b  c ， 所以 a2  | a  b |  (c  a)2  | b  c | a  (a  b)  (c  a)  (b  c)  a ． 1（乙）．B,,,,,,,,1,1,1,1,解：1, 1, 1,2 ,2 ,1 3  a 1 2,,,,,1, 1,2  2 1 2 1, 1 2 1  2 ．,( y 1)  0 ( y 1)  1； ( y 1),2 2 2 2,   , 0 ( y 1)  1.,2（甲）．D 解：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一 个交点的坐标为（3，2）. 2（乙）．B 解：由题设 x2＋y2≤2x＋2y， 得 0≤ (x 1)2  ( y 1)2 ≤2. 因为 x，y 均为整数，所以有 (x 1)2  0， (x 1)2  0， (x 1)2  1， (x 1)2  1，,解得 x  1， x  1， x  1， x  0 x  0 x  0， x  2 x  2 x  2, y  2.,, y  1；  y  2；  y  0  y  1；  y  0  y  2；  y  1；  y  0         以上共计 9 对（x，y）.,,,3（甲）．D 解：由题设知，1 a 1 a  b 1 2a  b ，所以这四个数据的平均数为 1  (a 1)  (a  b  1)  (2a  b)  3  4a  2b ， 4 4,中位数为,,,于是,,,,(a  1)  (a  b  1)  4  4a  2b ， 2 4 4  4a  2b  3  4a  2b  1 . 4 4 4,3（乙）．B 解：如图，以 CD 为边作等边△CDE，连接 AE. 由于 AC = BC，CD = CE， ∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD =∠ACE，,,,,,学 海 无 涯 所以△BCD≌△ACE， BD = AE. 又因为ADC  30 ，所以ADE  90 . 在 Rt△ ADE 中， AE  5，AD  3 于是 DE= AE 2  AD2  4 ，所以 CD = DE = 4. 4（甲）．D 解：设小倩所有的钱数为 x 元、小玲所有的钱数为 y 元， x，y 均为非负整数. 由题设可得 x  2  n( y  2)，, y  n  2(x  n)，,消去 x 得, (2y－7)n = y+4，,,,15,2 y  7,2 y  7,(2 y  7)  15 2n =  1 ,.,因为,,15 2 y  7,为正整数，所以 2y－7 的值分别为 1，3，5，15，所以 y 的值只能为 4，5，6，11．从,而 n 的值分别为 8，3，2，1；x 的值分别为 14，7，6，7． 4（乙）．C 解：由一元二次方程根与系数关系知，两根的乘积为q  0 ，故方程的根为一正一负．由二次 函数 y  x2  px  q 的图象知，当 x  3时，y  0，所以32  3 p  q  0 ，即 3p  q  9 . 由于 p，q,p  2 ，1≤q≤2，此时都有  p2  4q  0 . 于是共有 7 组（p，q）,都是正整数，所以 p  1，1≤q≤5；或 符合题意． 5（甲）．D,解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有 36 个，其和除以 4 的余数分别 是 0，1，2，3 的有序数对有 9 个，8 个，9 个，10 个，所以,,,,,0 1,36 36 36 36,2 3 3,p  9 ，p  8 ，p  9 ，p  10 ，因此 p 最大．,5（乙）．C 解：因为a  。