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第一章 函数与极限第一节　 函数§1．１ 函数内容网络图ﻩ区间ﻩ定义域ﻩ不等式　 　 定义 集合 相应法则 表格法 　 体现措施 图象法 初等函数ﻩ解析法ﻩ非初等函数 单调性 函数的特性 　 奇偶性函数 周期性 有界性ﻩ 定义 反函数　　 　 　　重要的函数ﻩ存在性定理ﻩ复合函数 符号函数： 几种具体重要的函数 　 取整函数：，其中[x]表达不超过x的最大整数. 狄里克雷函数:ﻩ§1.2　内容提纲与释疑解难 　一、函数的概念 　定义:设A、B是两个非空实数集,如果存在一种相应法则f,使得对Ａ中任何一种实数x，在Ｂ中均有唯一拟定的实数y与x相应,则称相应法则ｆ是Ａ上的函数，记为 　　 　 　　 　　　 　 　　 　 .y称为x相应的函数值,记为 　　 　 　 .其中x叫做自变量，y又叫因变量，A称为函数f的定义域,记为D(f), , 称为函数的值域，记为R(f)，在平面坐标系Oxｙ下，集合 　 　 　 　 　 称为函数y=f(x)的图形。

函数是微积分中最重要最基本的一种概念，由于微积分是以函数为研究对象，运用无穷小及无穷大过程分析解决问题的一门数学学科　 1、由拟定函数的因素是定义域、相应法则及值域，而值域被定义域和相应法则完全拟定,故拟定函数的两要素为定义域和相应法则从而在判断两个函数与否为同一函数时，只要看这两个函数的定义域和相应法则与否相似,至于自变量、因变量用什么字母,函数用什么记号都是无关紧要的 　 ２、函数与函数体现式的区别：函数体现式指的是解析式子，是表达函数的重要形式，而函数除了用体现式来表达，还可以用表格法、图象法等形式来表达,不要把函数与函数体现式等同起来 　　二、反函数 　 定义 　设y=f(ｘ）,,若对Ｒ(f)中每一种y,均有唯一拟定且满足y=f(x)的与之相应,则按此相应法则就能得到一种定义在R(f)上的函数,称这个函数为f的反函数，记作 　　　　 　 　　　.由于习惯上用x表达自变量,y表达因变量，因此常把上述函数改写成. 　１、由函数、反函数的定义可知，反函数的定义域是本来函数的值域,值域是本来函数的定义域　 2、函数y=ｆ(x)与x=f-1(y)的图象相似,这由于满足ｙ=f(x)点(ｘ,y)的集合与满足x=ｆ-1(y)点(x,y）的集合完全相似，而函数y=f（x)与ｙ=f-1(x)图象有关直线ｙ=x对称。

3、若y＝f(x)的反函数是x=ｆ-1（y),则 　4、定理1(反函数存在定理)严格增(减)的函数必有严格增（减)的反函数三、复合函数 　　 定义 设,若,则y通过u构成x的函数,称为由y=f（u)与复合而成的函数,简称为复合函数，记作复合函数的定义域为，其中x称为自变量，y称为因变量，u称为中间变量，称为内函数,f(u)称为外函数1、在实际判断两个函数能否构成复合函数，只要看的定义域与否为非空集,若不为空集,则能构成复合函数,否则不能复合函数２、在求复合函数时，只要指出谁是内函数,谁是外函数,例如y＝ｆ(x), y＝g(x),若y=f(x）作为外函数,y=ｇ(x）作为内函数则复合函数，若作为外函数，作为内函数，则复合函数为y=ｇ（f(x）)３、我们要学会分析复合函数的复合构造,既要会把几种函数复合成一种复合函数,又要会把一种复合函数分拆成几种函数的复合四 初等函数常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数统称为基本初等函数人们一定要记住基本初等函数的定义域，值域，会画它们的图象,并且要懂得这些函数在哪些区间递增,在哪些区间递减，与否通过原点？与坐标轴的交点是什么?后来我们常常要用到。

由基本初等函数通过有限次四则运算或有限次复合运算所得到的函数统称为初等函数不是初等函数称为非初等函数一般来说，分段函数不是初等函数，但有些分段函数也许是初等函数,例如 　 　 　 ，是由复合而成五 具有某些特性的函数1.奇（偶）函数定义　 设D是有关原点对称的数集,y=f(x)为定义在Ｄ上 的函数,若对每一种，均有,则称y=ｆ(ｘ)为Ｄ上的奇(偶)函数　 　(1)定义域有关原点对称是函数为奇（偶)函数的必要条件 (2）若f(ｘ)为奇函数，则f(０)=0，事实上，由定义知f(-0)=－ｆ（0），有ｆ(０)＝-ｆ(０),得f(0)=0． 　　2．周期函数 　 定义 　设y=ｆ(ｘ)为定义在D上的函数,若存在某个非零常数T，使得对一切,均有f（x+T)=f(x),则称y=f（x）为周期函数,T称为y=ｆ(x)的一种周期　　　 显然，若T是f（x）的周期，则也是f（x)的周期,若周期函数f（x)的所有正周期中存在最小正周期,则称这个最小正周期为f（x)的基本周期,一般地,函数的周期是指的是基本周期 　 必须指出的是不是所有的周期函数均有最小正周期，例如f(x)=ｃ（c为常数），由于对任意的实常数T,均有f(x＋T)＝f(x）＝c。

因此f(x)＝c是周期函数,但在实数里没有最小正常数,因此，周期函数f(x)=c没有最小正周期 如果f(x)为周期函数，且周期为Ｔ，任给,有ｆ(x)＝f（x+kT)，知因此D是无穷区间,即无穷区间是周期函数的必要条件 　　　3．单调函数 　 定义 设y=f(x)为定义在Ｄ上的函数，若对D中任意两个数x１，x2且x１<ｘ２，总有 　　 　 ,则称y＝f(x)为D上的递增（递减)函数,特别地,若总成立严格不等式　 　 　 　 　 　 　 　，则称y=f(x)为D上严格递增(递减)函数 递增和递减函数统称为单调函数,严格递增和严格递减函数统称为严格单调函数 　 　４．分段函数如果一种函数在其定义域内，相应于不同的x范畴有着不同的体现形式,则称该函数为分段函数注意分段函数不是由几种函数构成的，而是一种函数，我们常常构造分段函数来举反例，常用的分段函数有符号函数、狄里克雷函数、取整函数　 5.有界函数与无界函数 定义 设y=f(x)为定义在D上的函数,若存在常数N≤Ｍ，使对每一种,均有 　　 　 　　 　 　 　 　则称f(ｘ)为D上的有界函数,此时，称N为f(x)在Ｄ上的一种下界,称M为f(x)在D上的一种上界。

由定义可知上、下界有无数个,我们也可写成如下的等价定义，使用更加以便定义 设y=f(x)为定义在Ｄ上的函数，若存在常数M>0，使得对每一种,均有 　 　 则f(x)为D上的有界函数几何意义，若ｆ(x)为D上的有界函数，则ｆ(x)的图象完全落在直线y＝-M与y＝M之间注意：直线y=-M，y=M不一定与曲线相切有界函数定义的背面是定义 设y=ｆ(x）为定义在D上的函数，若对每一种正常数M（无论M多么大），都存在,使,则称f(x)为Ｄ上的无界函数 　 　6．函数的延拓与分解　 有时我们需要由已知函数产生新的函数来解决实际问题,这里我们从函数的特性出发,开拓由已知产生新的函数的措施 设,我考虑区间[-a,ａ］上的函数Ｆ(ｘ)，它是偶函数,且在［0,a]上，使F（x)=f(ｘ)，则应有称F(x)是f(ｘ)的偶延拓同样可给出f(ｘ)的奇延拓,即函数F(ｘ)在［－a，ａ]上的奇函数,且在（0,a)上,F(x)＝ｆ(x),则应有这样,研究ｆ(x)只要,研究F（x)就可以了 同样,对于函数y=ｆ(x）,，可以构造一种以（ｂ-a）为周期的周期函数F(x)，在(ａ,b）上,Ｆ（x）＝f(ｘ）,则有这就是函数ｆ(x)的周期延招，研究f(ｘ)只要研究Ｆ(x）就可以了。

　 　此外，定义在区间(-a，a）上的任何一种函数f(x)都可以表达到一种奇函数与一种偶函数和事实上设 　 由奇偶函数的定义知，f1（x)是奇函数　f2(x)是偶函数，且.我们还可以证明ｆ1(x)，f２（x)是唯一存在，如果,其中ｇ1（x)是奇函数,g2(x)是偶函数，于是,,解得，§1.3解题基本措施与技巧一、求函数定义域的措施１．若函数是一种抽象的数学体现式子,则其定义域应是使这式子故意义的一切实数构成的集合，且在（1)分式的分母不能为零； 　 　 　 　 (2)偶次根号下应不小于或等于零；（3)对数式的真数应不小于零且 底数不小于零不为1; 　 (4）arc　siｎ 或ａrc,其;(5），其 （6）若函数的体现式由几项构成,则它的定义域是各项定义域的交集;(７)分段函数的定义域是各段定义域的并集2．若函数波及到实际问题,定义域是除了使数学式子故意义还应当保证明际故意义自变量取值全体构成的集合3.对于抽象函数的定义域问题，要根据函数定义及题设条件 例1　 求下列函数的定义域：（1)；　 　　　 　 　（2） 　 解（1)要使函数式子故意义,就必须满足。

化简有 　 　 　 ,即 　 　 　 　 　 .解之,得定义域为2）要使函数式子故意义，就必须满足 　 　　 　 　　 　 ，即，化简有，，不等式各边除以(-2）有,，各边取倒数得,解之,得函数的定义域为 　 　例2 　不清设,求f(x)的定义域 　　　解 　要使函数式子故意义，必须满足　 　　 即　故所给函数的定义域为注意：如果把化简为，那么函数的定义域为的一切实数，因此,求函数的定义变形式时需特别小心,避免出错 　 例3 已知且，求并写出它的定义域 解　 由，得,由,得，即x≤0，因此　　　 　例4 　设f（ｘ)的定义域为[０，1]，试求f(x+ａ）+f(x-a)的定义域（ａ>0) 解 要使f(x＋ａ)+f(x-ａ)故意义,必须满足 　 　 　 　得 　　当时,由，知函数的定义域为当时，由a>１—a,知定义域不存在二、求函数值域的措施1． 由定义域x的范畴，运用不等式求出f(x)的范畴;2. 若y=f（x)有反函数x=f－-1(y),求出反函数的定义域就是函数的值域;3.　运用一元二次方程的鉴别式求函数的值域。

　 　　例5 求下列函数值域:(１）;　 (２）; 　 （３)　　 解（1)令，于是当且仅当，即时,故函数的值域是 (２）由,得(x+３)y=x+1，解之，是的反函数,而的定义域是,故函数值域是3)由原函数式变形，得　 ，即 当y-１=0,即ｙ=１时，x＝0;当,，即故函数的值域为[0，4] 　三、判断两函数与否为同一函数的措施 例6 　判断下列各组函数与否为同一函数： 　 　 (1）（i）;　　　 （ii）　 　　 （２）(i)； 　　(iｉ） 解(１)由y=sｉnx的定义域是[0,π]，的定义域是[0,π]。