第04章理想流体动力学.ppt

第4章1.1.先先建建立立理理想想流流体体动动力力学学的的基基本本方方程程——欧欧拉拉运运动微分方程动微分方程2.2.在在一一种种特特定定的的条条件件下下积积分分可可得得到到拉拉格格朗朗日日积分积分3.3.另一特定的条件下积分可得到伯努利积分另一特定的条件下积分可得到伯努利积分4.4.两个积分的物理意义和实际应用两个积分的物理意义和实际应用5.5.导出动量及动量矩定理，及其应用导出动量及动量矩定理，及其应用第四章第四章 理想流体动力学理想流体动力学本章内容：本章内容：课堂提问：支持飞机升空，机翼的升力是怎么产生的？课堂提问：支持飞机升空，机翼的升力是怎么产生的？ 为什么在江河、海洋中游泳时不能在靠近船为什么在江河、海洋中游泳时不能在靠近船坞等岸边建筑物附近下水？坞等岸边建筑物附近下水？1§§4-1 欧拉运动微分方程式欧拉运动微分方程式 欧拉运动微分方程式即理想流体动力学基本欧拉运动微分方程式即理想流体动力学基本方程，欧拉于方程，欧拉于17751775年由牛顿第二定律导出年由牛顿第二定律导出 某瞬间在理想流某瞬间在理想流体中棱边为体中棱边为dxdx, ,dydy, ,dzdz的平行六面体，顶点的平行六面体，顶点A(x,y,z)A(x,y,z)处的处的推导如下：推导如下：ｐｐ(x(x，，y y，，z)z)压力压力速度速度V（（x，，y，，z)yxzdydzdxA(x,y,z)2由牛顿第二定律：由牛顿第二定律： ＦＦi i＝＝ｍａｍａi i ( (ｉｉ= =x x，，y y，，z z）） （（4-14-1））以ｘ方向为例：以ｘ方向为例：表面力表面力沿ｘ向的合力沿ｘ向的合力：：理想流体，各面上无切应力理想流体，各面上无切应力, ,质量力在ｘ轴上的投影：质量力在ｘ轴上的投影：ρX dx dy dz加速度在ｘ方向的投影：加速度在ｘ方向的投影：yxzdydzdxA(x,y,z)dvx3 将以上各式代入（将以上各式代入（4-14-1）式中，并取ｉ＝ｘ，）式中，并取ｉ＝ｘ，得如下第一式。

同理可得其余的两式：得如下第一式同理可得其余的两式：即为理想流体的即为理想流体的欧拉运动微分方程式欧拉运动微分方程式4-24-2））用矢量表示为：用矢量表示为：Z4该方程适用条件该方程适用条件: :理想流体理想流体, ,即无论流动定常与否，可压缩还是即无论流动定常与否，可压缩还是不可压缩均适用不可压缩均适用 方程（方程（4-24-2）有三个分量式，再加上连续方）有三个分量式，再加上连续方程式共四个方程组成一方程组，方程封闭，可程式共四个方程组成一方程组，方程封闭，可求解四个未知函数ｖ求解四个未知函数ｖx x , ,ｖｖy y , ,ｖｖz z和ｐ 若要使所求的ｖ若要使所求的ｖx x , ,ｖｖy y , ,ｖｖz z , ,ｐ是某个实ｐ是某个实际问题的解，还要满足所提问题的边界条件，际问题的解，还要满足所提问题的边界条件，初始条件初始条件5§§4-2 拉格朗日积分式拉格朗日积分式 欧拉方程是非线性的，很难求得普遍条件下欧拉方程是非线性的，很难求得普遍条件下的精确解，只能求得某些特定条件下的解析解的精确解，只能求得某些特定条件下的解析解拉格朗日积分式有如下假设条件：拉格朗日积分式有如下假设条件：（（1 1）理想不可压缩流体：）理想不可压缩流体：ρρ＝＝ const. const.（（3 3）若运动无旋则存在速度势函数）若运动无旋则存在速度势函数φφ，，满足满足所以有所以有：（（2 2）质量力具有势函数：）质量力具有势函数：6因此因此代入欧拉方程代入欧拉方程有有7上式移项可得下面第一式，同理可得另外两式上式移项可得下面第一式，同理可得另外两式（（4-34-3））括弧内函数不随空间坐标括弧内函数不随空间坐标( (ｘ，ｙ，ｚｘ，ｙ，ｚ) )变化变化, ,只可能是时间的函数。

只可能是时间的函数所以所以（（4 - 4））若流体的质量力只有重力，取ｚ轴铅直向上，若流体的质量力只有重力，取ｚ轴铅直向上，有有U U＝－＝－ｇｚｇｚ，故，故gz（（4 - 4'））8为书写简单，引入为书写简单，引入 将将ΦΦ对ｘ，ｙ，ｚ求偏导数，仍为速度的投影对ｘ，ｙ，ｚ求偏导数，仍为速度的投影引入引入ΦΦ后，式（４后，式（４- -４）可改写成：４）可改写成：（４（４-5-5））9若流体的质量力只有重力，式若流体的质量力只有重力，式（（4 - 4'））可写成：可写成：(4-7)(4-7)或或 上式为非定常无旋运动的拉格朗日积分式上式为非定常无旋运动的拉格朗日积分式 对于对于定常定常无旋运动无旋运动，式（，式（4 4－－3 3）括弧内的函）括弧内的函数不随空间坐标数不随空间坐标ｘｘ，，ｙｙ，，ｚ和时间ｚ和时间t t变化，因此变化，因此它在整个流场为常数它在整个流场为常数10( (通用常数通用常数) ) 对于理想、不可压缩流体、在重力作用下的对于理想、不可压缩流体、在重力作用下的定常定常无旋运动，因Ｕ＝－ｇｚ，上式可写成无旋运动，因Ｕ＝－ｇｚ，上式可写成 ( (通用常数通用常数) ) 上式为上述条件下的拉格朗日积分式，Ｃ在上式为上述条件下的拉格朗日积分式，Ｃ在整个流场都适用的通用常数，因此它在整个流场整个流场都适用的通用常数，因此它在整个流场建立了速度和压力之间的关系。

建立了速度和压力之间的关系4-(4-9)9)11 若能求出了流场的速度分布（理论或实验的若能求出了流场的速度分布（理论或实验的方法），就能用拉格朗日积分式求流场的压力分方法），就能用拉格朗日积分式求流场的压力分布，再将压力分布沿固体表面积分，就可求出流布，再将压力分布沿固体表面积分，就可求出流体与固体之间的相互作用力体与固体之间的相互作用力 应用拉格朗日积分式，可解释许多重要的物应用拉格朗日积分式，可解释许多重要的物理现象：如机翼产生升力的原因；两艘并排行理现象：如机翼产生升力的原因；两艘并排行驶而又靠得很近的船舶为什么会产生互相吸引驶而又靠得很近的船舶为什么会产生互相吸引的的““船吸现象船吸现象””；以及在浅水航道行驶的船舶为；以及在浅水航道行驶的船舶为什么会产生什么会产生““吸底现象吸底现象””等等12讨论：讨论：beginbegin1 1. . 如果理想、不可压缩流体作定常、无旋流如果理想、不可压缩流体作定常、无旋流 动且只有重力作用时，同一水平面上的两动且只有重力作用时，同一水平面上的两 点，其速度和压力的关系如何？点，其速度和压力的关系如何？2. 2. 两艘并排行驶而又靠得很近的船舶为什么会产两艘并排行驶而又靠得很近的船舶为什么会产生互相吸引的生互相吸引的““船吸现象船吸现象””。

3.3.浅水航道行驶的船舶为什么会产生浅水航道行驶的船舶为什么会产生““吸底现象吸底现象””13§§4-3 伯努利积分式及其应用伯努利积分式及其应用伯努利积分是欧拉方程在定常运动沿流线的积分伯努利积分是欧拉方程在定常运动沿流线的积分假设条件：假设条件：（１）理想不可压缩，质量力有势；（１）理想不可压缩，质量力有势；（２）定常运动；（２）定常运动；（３）沿流线积分３）沿流线积分由（由（1 1），（），（2 2）有）有14则欧拉方程可写成则欧拉方程可写成（（1））（（2））（（3）） 定常运动流线与轨迹重合，在轨迹上下式成立定常运动流线与轨迹重合，在轨迹上下式成立（（4））（（5））（（6））同理有同理有:15式式(1),(2),(3)(1),(2),(3)的两边分别乘以式的两边分别乘以式(4),(5),(6)(4),(5),(6)以第一式为以第一式为:即即（（7 7））同理同理(8) (8) （（9 9））16 将将( (７７),(),(８８),(),(９）三式相加，考虑到速９）三式相加，考虑到速度的模ｖ度的模ｖ2 2＝ｖ＝ｖx x2 2＋＋ｖｖy y2 2＋＋ｖｖz z2 2，，有有: :在流线上有在流线上有(10)(10) 括弧内沿流线上的全微分等于零，则括弧内沿流线上的全微分等于零，则沿流线一定是常数沿流线一定是常数: :（（1111））17在重力场中Ｕ＝－ｇｚ，则沿流线在重力场中Ｕ＝－ｇｚ，则沿流线: :或为或为（（1212）） 拉氏积分和伯氏积分虽在形式上相同，但不同拉氏积分和伯氏积分虽在形式上相同，但不同之点有二：之点有二：ＣＣl 称为流线常数称为流线常数18(１１) 应用条件不同。

拉格朗日积分只能用于无应用条件不同拉格朗日积分只能用于无旋流运动，伯努利积分既可用于无旋运动，又旋流运动，伯努利积分既可用于无旋运动，又可用于有旋运动可用于有旋运动２）常数Ｃ性质不同拉格朗日积分中的常数（２）常数Ｃ性质不同拉格朗日积分中的常数在整个流场中不变，故称为普遍常数，伯努利积在整个流场中不变，故称为普遍常数，伯努利积分常数分常数ＣＣl 只在同一条流线上不变，不同流线取只在同一条流线上不变，不同流线取值不同，称为流线常数或者说拉氏积分在整个空值不同，称为流线常数或者说拉氏积分在整个空间成立，而伯氏积分只在同一条流线上成立间成立，而伯氏积分只在同一条流线上成立19 为了工程上的应用，现将伯氏方程推广到为了工程上的应用，现将伯氏方程推广到有限大的流束有限大的流束渐变流动渐变流动: :流线近似平行，而且流线的曲率很小流线近似平行，而且流线的曲率很小的流动，否则称为急变流动的流动，否则称为急变流动渐变流动特点：渐变流动特点： 项在整个过水（过流）项在整个过水（过流） 断面上为常数断面上为常数 为简单计，约定为简单计，约定 取过水断面形心处的取过水断面形心处的数值。

流线上任意一点的速度ｖ近似地用过数值流线上任意一点的速度ｖ近似地用过流断面上的平均流速流断面上的平均流速U U来代替即用来代替即用 近似代替近似代替20适用于有限大流束的伯努利方成为：适用于有限大流束的伯努利方成为：（（1313））（（1414））或或（１）理想流体，定常流动；（１）理想流体，定常流动；（２）只有重力的作用；（２）只有重力的作用；（３）流体是不可压缩的；（３）流体是不可压缩的；（（4 4）１）１. .２截面处流动须是渐变流但２截面处流动须是渐变流但1.21.2两断两断面间不必要求为渐变流动面间不必要求为渐变流动方程适用条件：方程适用条件：21讨论：讨论：end1.关于渐变流动（缓变流动）过流断面上关于渐变流动（缓变流动）过流断面上 的压力分布，是否与静止流体的压力分布的压力分布，是否与静止流体的压力分布 相同？相同？2.为什么在急变流动的过流断面上，为什么在急变流动的过流断面上， (Z+P/ ) 项不保持常数？项不保持常数？22§4-4 伯努利方程的意义伯努利方程的意义一、几何意义一、几何意义 z ：：长度量纲，流体质点或空间点在基准面长度量纲，流体质点或空间点在基准面 以上的几何高度，又称位置水头。

以上的几何高度，又称位置水头 单位重量流体具有的势能单位重量流体具有的势能p/p/γ γ ：：长度量纲，测压管中液面上升的高度，长度量纲，测压管中液面上升的高度， 称为压力高度、或测管高度，或称压称为压力高度、或测管高度，或称压 力水头、测管水头，记为力水头、测管水头，记为Hp 单位重量流体具有的势能单位重量流体具有的势能 V2/(2g)：：具有长度的量纲，称为流速高度或具有长度的量纲，称为流速高度或 速度水头可用皮托管和测压管中液速度水头可用皮托管和测压管中液 面高度差来表示，记为面高度差来表示，记为HV 单位重量流体具有的动能单位重量流体具有的动能23一、几何意义图一、几何意义图24结论：对于理想流体，定常运动，质量力只结论：对于理想流体，定常运动，质量力只 有重力作用时，沿流线有：几何高度、压有重力作用时，沿流线有：几何高度、压 力高度和流速高度之和为一常数力高度和流速高度之和为一常数Z+Hp+Hv=H三个高度（水头）之和称为总水头。

三个高度（水头）之和称为总水头其端点的连线其端点的连线————总水头线为一条水平线总水头线为一条水平线 如 下图所示下图所示25总水头线总水头线压力水头线压力水头线26二、能量意义二、能量意义(物理意义物理意义) 伯努利方程表明单位重量流体的总机械量沿伯努利方程表明单位重量流体的总机械量沿流线守恒流线守恒 ：：代表单位重量流体的位能，记为代表单位重量流体的位能，记为 ：单位重量流体的压力能，记为：单位重量流体的压力能，记为 ：单位重量流体的动能，记为：单位重量流体的动能，记为 单位重量流体的总机械能：单位重量流体的总机械能：27 伯努利方程也表明重力作用下不可压缩理伯努利方程也表明重力作用下不可压缩理想流体定常流动过程中单位重量流体所具有的想流体定常流动过程中单位重量流体所具有的位能、动能和压强势能可互相转化，但总机械位能、动能和压强势能可互相转化，但总机械能保持不变能保持不变对于体积为对于体积为V的均匀流体，有的均匀流体，有Z为体积为为体积为V的的形心形心Z坐标坐标28 对于理想、不可压缩流体，定常运动，只有对于理想、不可压缩流体，定常运动，只有重力作用时，单位重量流体的位能，压力能和动重力作用时，单位重量流体的位能，压力能和动能之和在流线上为一常数。

因为在定常运动中流能之和在流线上为一常数因为在定常运动中流线与轨迹重合，所以同一流体微团在运动过程中线与轨迹重合，所以同一流体微团在运动过程中单位重量的单位重量的/ /单位体积的单位体积的位能、压力能和动能之位能、压力能和动能之和保持不变和保持不变 在流体力学中在流体力学中称为静压称为静压称为动压称为动压29伯努利方程的应用伯努利方程的应用实例一：小孔口出流（如水桶壁上破一洞）实例一：小孔口出流（如水桶壁上破一洞）图示容器装有液体，在重力作图示容器装有液体，在重力作用下从小孔流出用下从小孔流出 设小孔面积比容器中液面设小孔面积比容器中液面面积小很多，液面高度ｈ近似面积小很多，液面高度ｈ近似认为不变（近似为定常流），认为不变（近似为定常流）， 不计流体粘性，此时流体的质量力只有重不计流体粘性，此时流体的质量力只有重力满足伯氏方程来求解的前提满足伯氏方程来求解的前提30取小孔轴线为基准，整个容器看成一个大流管取小孔轴线为基准，整个容器看成一个大流管 取容器液面为截面取容器液面为截面ⅠⅠ，出流流束截面收缩，出流流束截面收缩到最小处为截面到最小处为截面ⅡⅡ，该，该处流动满足渐变流的条处流动满足渐变流的条件。

在此两截面上，各件在此两截面上，各物理量分别为：物理量分别为： 截面截面ⅠⅠ：ｚ：ｚ1 1＝ｈ＝ｈ ｐｐ1 1＝ｐ＝ｐ0 0 ＵＵ1 1＝０＝０截面截面Ⅱ：ｚ：ｚ2＝０＝０ ｐｐ2＝ｐ＝ｐ0 ＵＵ2＝Ｕ＝Ｕ31Ⅰ,ⅡⅠ,Ⅱ截面列伯氏方程：截面列伯氏方程：这样就可解出小孔理想出流的速度公式：这样就可解出小孔理想出流的速度公式：（（1515）） 实际上因为粘性对阻力的影响，出流速度实际上因为粘性对阻力的影响，出流速度小于此值，一般用一个流速系数来修正，则小于此值，一般用一个流速系数来修正，则ＵＵ实际实际 ＝＝ＵＵ    （（1616））由实验确定，由实验确定，  = 0.960.96～１～１ 流量流量Q = Q = 平均流速Ｕ平均流速Ｕσσc c32收缩断面收缩断面：出流中，流体从四面八方向到孔口处：出流中，流体从四面八方向到孔口处汇集时，因惯性的作用，流线不可能突然转到水汇集时，因惯性的作用，流线不可能突然转到水平方向，射出的流注因之必然出现颈缩现象。

平方向，射出的流注因之必然出现颈缩现象令令μμ＝＝  ψψ为流量系数为流量系数称为收缩系数称为收缩系数μμ由实验测定，如圆形孔口，值为由实验测定，如圆形孔口，值为0.610.61～～0.630.6333实例二文德利管实例二文德利管实例二实例二 文德利管（一种流量计）文德利管（一种流量计） 应用伯努利方程的原应用伯努利方程的原理可制成各种测量流速或理可制成各种测量流速或流量的仪器文德利管就流量的仪器文德利管就是其中的一种是其中的一种ⅠⅠ和和ⅡⅡ处的压力差由测压处的压力差由测压管读出来，为已知量管读出来，为已知量 令Ｕ令Ｕ1 1和Ｕ和Ｕ2 2分别为分别为ⅠⅠ和和ⅡⅡ截面上的平均流速截面上的平均流速34取管轴为基准列伯努利方程取管轴为基准列伯努利方程: :连续性方程连续性方程:联立得：联立得：解出解出流量流量35∪∪形管（内装水银）：形管（内装水银）：或或注意：这里没考虑流体粘性的影响，实际应用时注意：这里没考虑流体粘性的影响，实际应用时按上式算得的Ｑ还应乘上修正流量的系数按上式算得的Ｑ还应乘上修正流量的系数μμ，，它它的值约为的值约为0.980.98因此因此36实例三汽化器实例三汽化器实例三实例三 汽化器汽化器 汽化器原理如图汽化器原理如图, ,空气由活塞的抽吸作用空气由活塞的抽吸作用从自由大气中吸入从自由大气中吸入, ,细管将汽油自油箱引来。

细管将汽油自油箱引来求求: :汽化器的真空度汽化器的真空度解：取主管轴为基准，整解：取主管轴为基准，整 个汽化器作一个流管个汽化器作一个流管. .ＩＩⅡⅡ取入口远前方为截面Ｉ取入口远前方为截面Ｉ最小截面处为截面最小截面处为截面ⅡＱＱＤＤｄｄ37截面截面ⅠⅠ：ｚ＝０，ｐ＝ｐ：ｚ＝０，ｐ＝ｐ0 0，Ｕ，Ｕ≈≈００ 截面截面ⅡⅡ：ｚ＝０，ｐ待求，：ｚ＝０，ｐ待求，列立伯氏方程：列立伯氏方程：汽化器的真空度为：汽化器的真空度为： ＩＩⅡⅡ由连续性方程得由连续性方程得:38实例四皮托管实例四皮托管 流线上流线上ＡＡ，，ＢＢ，管，管ⅠⅠ（测压管）的口部（测压管）的口部平行于流线，可测平行于流线，可测ＡＡ点的静压点的静压ｐｐ，， 90°90°弯管弯管ⅡⅡ迎向水流，使其口部垂直于流线迎向水流，使其口部垂直于流线 设流线近似为一组平行直设流线近似为一组平行直线，则铅直方向上动水压力线，则铅直方向上动水压力按静水压力分布，即按静水压力分布，即 ｐｐA A＝＝γγｈｈ′′管管ⅡⅡ液面升高ｈ液面升高ｈ和自由表面平齐和自由表面平齐Ｂ点称为驻点Ｂ点称为驻点实例四实例四 （用于测流速）（用于测流速）皮托管和联合测管皮托管和联合测管Ｂ点Ｂ点: ｐｐB B＝＝γ（（ｈｈ′＋ｈ）＋ｈ）39管管Ⅰ测得压力称静压力ｐ测得压力称静压力ｐA A管管Ⅱ测的压力称总压ｐ测的压力称总压ｐB B ，，又称总压管皮托管。

又称总压管皮托管 在流线上列立伯氏方程，考虑到在流线上列立伯氏方程，考虑到 Ａ点Ａ点 ｚ＝０ｚ＝０ ｐ＝ｐｐ＝ｐA A U UA A＝＝U U B B点点 ｚ＝０ｚ＝０ ｐ＝ｐｐ＝ｐB B U UB B＝０＝０ 因此因此 （（4 4－－2424））得得测出总压ｐ测出总压ｐB B和静压ｐ和静压ｐA A之差，可算出流速之差，可算出流速40在上述问题中在上述问题中ｐｐB B－－ｐｐA A＝＝γγ（（ｈｈ′′＋ｈ）－＋ｈ）－γγｈｈ′′＝＝γγｈｈ因此因此 （（4 4－－2525））读出皮托管与测压管的液读出皮托管与测压管的液面高度差面高度差h，，可算出流速可算出流速41实际应用上，常将测压管和皮托管结合在一起，实际应用上，常将测压管和皮托管结合在一起，形成形成““联合测管联合测管””，或称普朗特管，或称普朗特管这时这时 U UA A＝＝U U，， U UB B＝０＝０Ａ处感受到静压Ａ处感受到静压Ｂ处感受到总压Ｂ处感受到总压公式（４公式（４-２５）仍能用。

２５）仍能用42 若测量空气或其它液体的流速，若测量空气或其它液体的流速， 用用∪∪形管连形管连接管接管ⅠⅠ、、ⅡⅡ，仍用公式（４，仍用公式（４- -２４）即：２４）即：ｐｐB B－－ｐｐA A ：：总压与静压之差总压与静压之差P PB B－－ｐｐA A＝＝γγ1 1ｈｈ ∪ ∪形管中液面高度差形管中液面高度差欲测流速的汽体重度欲测流速的汽体重度测压计中液体重度测压计中液体重度P PB B－ｐ－ｐA A＝＝ρUρU 2 2/2/243实例五实例五 虹吸管虹吸管h1h2s01求虹吸管出口流速和最求虹吸管出口流速和最高点高点S S处的压力处的压力列列0-1两截面的伯努利方程两截面的伯努利方程v144列列0-S两截面的伯努利方程两截面的伯努利方程45虹吸管虹吸管ｄｄ=150=150ｍｍ，Ｈｍｍ，Ｈ1 1=3.3=3.3ｍＨｍＨ2 2=1.5=1.5ｍ，ｍ，z=6.8z=6.8ｍ，ｍ，不计能量损失，求虹吸管中通过的流量及管道不计能量损失，求虹吸管中通过的流量及管道最高点Ｓ处的真空值最高点Ｓ处的真空值 解：取ｏ解：取ｏ′-′-ｏｏ′′为为基准，列断面ｏ基准，列断面ｏ- -ｏｏ和２和２- -２的伯氏方程：２的伯氏方程：例题46解得：解得：水流量水流量ｏｏ- -ｏ和１ｏ和１- -１１断面列方程：断面列方程：Ｓ处真空度Ｓ处真空度47§§4-5 动量定理及动量矩定理动量定理及动量矩定理一、动量定理一、动量定理 工程中常常需要求流体和物体之间的相互作工程中常常需要求流体和物体之间的相互作用力的合力或合力矩。

这时应用动量定理较为合用力的合力或合力矩这时应用动量定理较为合适与方便适与方便 理论力学中，动量定理是按拉格朗日观点对理论力学中，动量定理是按拉格朗日观点对质点系导出的，即质系动量的变化率等于作用在质点系导出的，即质系动量的变化率等于作用在该质系上的合外力，即该质系上的合外力，即48 为应用方便，需将动量定理转换成适合于控为应用方便，需将动量定理转换成适合于控制体的形式（欧拉法）制体的形式（欧拉法）控制体控制体：相对于所选坐标系，在流场中形状、大：相对于所选坐标系，在流场中形状、大小任意，固定不动的空间小任意，固定不动的空间控制面控制面：控制体的边界（可以是流体，固体）控制体的边界（可以是流体，固体） 流体经过控制面流入、流出通过流体经过控制面流入、流出通过 控制面一般控制面一般有流体质量、动量、能量交有流体质量、动量、能量交 换换，控制体内与控制体外的流体或固体，控制体内与控制体外的流体或固体 存在作用力与反作用力存在作用力与反作用力49适合于控制体形式动量方程推导如下：适合于控制体形式动量方程推导如下：对于定常流动，同一位置的所有参数不对于定常流动，同一位置的所有参数不随时间改变，质量为常数。

随时间改变，质量为常数取控制体积取控制体积V，，其质量为其质量为50为了计算方便，控制面通常这样来选取：为了计算方便，控制面通常这样来选取：（１）边界面或流面这些面上没有动量进出，（１）边界面或流面这些面上没有动量进出， 因而动量的通量等于零；因而动量的通量等于零；（２）速度及压力分布已知的面２）速度及压力分布已知的面写成分量形式写成分量形式51实例六实例六 实例一实例一 流体对弯管管壁的压力流体对弯管管壁的压力 水平放置的一段弯管水平放置的一段弯管平均流速平均流速 流入，流入， 流出设流体对管壁的作用力为设流体对管壁的作用力为 , ,管壁对流体的作用为管壁对流体的作用为图4－13 取管壁和截面取管壁和截面σσ1 1、、σσ2 2组成的封闭面为控制面组成的封闭面为控制面对此控制面内流体应用动量定理对此控制面内流体应用动量定理单位时间通过控制面的流体动量的变化单位时间通过控制面的流体动量的变化52因此：因此：即即如重力比其他各项小许多，则如重力比其他各项小许多，则 略而不计略而不计53二、动量矩定理二、动量矩定理理想流体作定常运动时的动量矩定理：理想流体作定常运动时的动量矩定理：即绕某一点或某一轴的动量矩变化率等于外力即绕某一点或某一轴的动量矩变化率等于外力对同一点或轴的力矩之和：对同一点或轴的力矩之和：5455实例七实例七 实例二实例二 射流对倾斜平板的冲击力射流对倾斜平板的冲击力 图4-14俯视 　　厚厚为为ｂｂo的的二二元元流流束束以以ｖｖ向向平平板板AB冲冲击击，，流流速速与与平平板板的的夹夹角角为为α，，求求流流体体对对平平板板的的作用力。

作用力　　沿平板切向和法向取坐标整个射流暴露大气中，　　沿平板切向和法向取坐标整个射流暴露大气中，故流体中压力处处为大气压力ｐ故流体中压力处处为大气压力ｐ００忽略重力的影响，由忽略重力的影响，由流线流线伯氏方程可知：伯氏方程可知： V1=V２２=V解：解：56　　流出与流入控制面的动量之差等于作用于　　流出与流入控制面的动量之差等于作用于控制面内流体之外力平板给流体的反力是控制面内流体之外力平板给流体的反力是外力之一外力之一图4-14俯视目的是求流体作用于平板目的是求流体作用于平板上的力上的力 ，首先求出，首先求出 再由作用力与反作用力的再由作用力与反作用力的关系得关系得重力在重力在xyxy平面内无分量，整个控制面上大气压平面内无分量，整个控制面上大气压力的合力为零平板给流体的反力力的合力为零平板给流体的反力 的法向的法向分量分量 ，而切向分量＝０（理想流体），而切向分量＝０（理想流体） 57列立列立τ方向和ｎ方向的动量方程，有：方向和ｎ方向的动量方程，有：由连续性方程有由连续性方程有(4-38)联立有联立有:b0＝＝b1+b2(c)(c)58 可以可以看出看出,当当α为锐角时ｂ为锐角时ｂ1＞ｂ＞ｂ2，，因在拐弯曲因在拐弯曲率小的那边，流体能顺地流过去，故有更多的流率小的那边，流体能顺地流过去，故有更多的流体拥向这边，使得曲率小的这边流束厚。

体拥向这边，使得曲率小的这边流束厚式中：式中：ＲＲτ为流体对平板作用的切向分力为流体对平板作用的切向分力(为零为零)总冲击力Ｒ总冲击力Ｒn沿平板法向沿平板法向ｂｂ1、ｂ、ｂ2: :流束冲击平板后分为两股流束的厚度流束冲击平板后分为两股流束的厚度59 对对O点应用动量矩定理来求Ｐ点应用动量矩定理来求Ｐn,作用点离开作用点离开O点的点的距离ｅ规定反时针为正距离ｅ规定反时针为正, ,反之为负反之为负ｂｂO处进流通过处进流通过O点，动量点，动量 矩为零ｂｂ1处出流对处出流对O点的动量矩为点的动量矩为ｂｂ2 2处出流对处出流对O点的动量矩为点的动量矩为ＰＰn n对对O点之力矩为点之力矩为 列出动量矩方程式列出动量矩方程式()- -0=60将式（将式（4-384-38）和式）和式( (c)c)的结果代入上式，并加以的结果代入上式，并加以整理，可得整理，可得 式中的负号表示式中的负号表示ＰＰn作用点位于作用点位于τ轴的负向上轴的负向上如图中如图中Rn所示61实例八实例八 实例三实例三 气垫船基本原理气垫船基本原理 顶部进气从底部向周围喷出。

喷出宽度为ｂ顶部进气从底部向周围喷出喷出宽度为ｂ0 0速度ｖ速度ｖ0 0与底部水平线成与底部水平线成θθ的夹角，然后转为水的夹角，然后转为水平向两侧喷出船自重Ｗ，底面积Ｓ平向两侧喷出船自重Ｗ，底面积Ｓ试求试求: :底部间隙ｈ和艇重底部间隙ｈ和艇重 量Ｗ之间的关系量Ｗ之间的关系图图4 4－－1515 设艇底压力为ｐ，以右边喷柱设艇底压力为ｐ，以右边喷柱( (单位厚度单位厚度) )为讨为讨论对象，取控制体如图，沿水平方向列动量方程论对象，取控制体如图，沿水平方向列动量方程: :解：解：62艇自重全部由气垫所承担，即Ｗ＝ｐＳ艇自重全部由气垫所承担，即Ｗ＝ｐＳx方向流出动量为方向流出动量为流进动量为流进动量为x方向受气垫压力为方向受气垫压力为ph(相对压力相对压力)则则: : （（a））图图4 4－－151563将将Ｗ＝ｐＳＷ＝ｐＳ代入式（代入式（a））得得: :(4-40)(4-40)或写成或写成(4-41)(4-41)式中：式中：为喷出的流体动量，由风扇的功率所决定。

为喷出的流体动量，由风扇的功率所决定W W 越大则间隙ｈ越小越大则间隙ｈ越小, ,Ｓ增大则ｈ增大故艇Ｓ增大则ｈ增大故艇的形状较扁平以增大的形状较扁平以增大S.S.64实例九实例九实例四实例四 滑行艇的基本原理滑行艇的基本原理 设滑行艇ＡＢ与水平面夹角为设滑行艇ＡＢ与水平面夹角为αα，，水速ｖ水速ｖ0从右向左流动水原来深度为ｈ从右向左流动水原来深度为ｈ0，流经滑行艇，流经滑行艇后分为两部分：后分为两部分：一部分宽度为一部分宽度为δδ，，以速度以速度ｖｖ2沿艇首喷出，沿艇首喷出，试求试求: :作用在滑行艇上的力作用在滑行艇上的力 另一部分水深为ｈ，以速另一部分水深为ｈ，以速度ｖ度ｖ1向艇尾流去向艇尾流去图4-1665自由表面上处处为大气压力ｐ自由表面上处处为大气压力ｐ0（艇底除外）（艇底除外）由由流线流线伯努利方程，可得：ｖ伯努利方程，可得：ｖ1＝ｖ＝ｖ2＝ｖ＝ｖ0艇体反力在ｘ方向分量为－Ｐ艇体反力在ｘ方向分量为－Ｐsinαα 由连续方程知：由连续方程知： ｈｈ0＝ｈ＋＝ｈ＋δ尾部向后流出动量为尾部向后流出动量为首部向前在ｘ方向流出的动量为首部向前在ｘ方向流出的动量为首部由前方流进动量首部由前方流进动量(沿沿x负向负向) 水平方向动量方程：水平方向动量方程：66ＰＰ: : 艇对流体的作用力。

负值为其方向与图艇对流体的作用力负值为其方向与图中方向相反图示的Ｐ正好就是流体对滑行艇中方向相反图示的Ｐ正好就是流体对滑行艇的作用力的作用力所以所以 或写成或写成67例例4.14.1例例4.1 4.1 洒水器如图洒水器如图4 4－－1717，喷嘴ａ，ｂ的流，喷嘴ａ，ｂ的流量均为Ｑ＝量均为Ｑ＝2.8×102.8×10-4-4ｍｍ3 3／／s s，，喷嘴的截面积均喷嘴的截面积均为为1 1cmcm2 2，，略去损失，试确定洒水器的转速略去损失，试确定洒水器的转速ωω 解：解： 从喷嘴喷出的水流速为从喷嘴喷出的水流速为 转动起来后，两喷嘴出转动起来后，两喷嘴出口水的绝对速度为：口水的绝对速度为：(m/s)68故故 得得 没有外力作用于该系统，故没有外力作用于该系统，故进水管通过转轴进水管通过转轴中心，对轴不产生动量矩，因此流出喷嘴的流中心，对轴不产生动量矩，因此流出喷嘴的流体的动量矩必须为零，即体的动量矩必须为零，即两喷嘴出口水的绝对速度为：两喷嘴出口水的绝对速度为：(m/s)69例例4.3 图图4 4－－1919例例4.3 船上有船上有叶轮转动带动叶轮转动带动两股射流两股射流以此以此来充当来充当动力推船前进。

设进水道与船运动方向垂直，进动力推船前进设进水道与船运动方向垂直，进水截面均为水截面均为0.02ｍｍ2，水通过船上的喷嘴（截面积，水通过船上的喷嘴（截面积为为0.04m2））沿船纵向以相对速度沿船纵向以相对速度ＶＶ向后射出若向后射出若该船航行速度该船航行速度v=6m/s，，所受阻力为所受阻力为3924ＮＮ求求 ：射流的流量和射流：射流的流量和射流 的推进效率的推进效率解解 ：射流截面积：射流截面积 Ａ＝Ａ＝0.040.04ｍｍ2 270取图示的虚线为控制面，根据动量定理取图示的虚线为控制面，根据动量定理Ｆ＝Ｆ＝ρρＡＶＡＶ（（ＶＶ－－v））即即 39243924＝＝1000×0.04×1000×0.04×ＶＶ（（ＶＶ－６）－６）得：得：ＶＶ＝＝12.912.9ｍｍ/ /s s，， Ｑ＝ＡＶＱ＝ＡＶ＝＝0.5160.516m m3 3/s/s水泵给单位重量流体提供的能量为水泵给单位重量流体提供的能量为: : V 2/2g图图4 4－－1919射流所作的功率为Ｆ射流所作的功率为Ｆv＝＝ρρＡＶＡＶ（（ＶＶ－－v））v71单位重量流体作的功为单位重量流体作的功为故射流的推进效率为故射流的推进效率为射流所作的功为射流所作的功为ρρＡＶＡＶ（（ＶＶ－－v））v t72本章小结本章小结1.拉格朗日方程、伯努利方程及其物理意义、使拉格朗日方程、伯努利方程及其物理意义、使用条件。

用条件伯努利方程的物理意义是理想流体沿流线作定常伯努利方程的物理意义是理想流体沿流线作定常流动的机械能守恒流动的机械能守恒2.定常流管的质量守恒方程式定常流管的质量守恒方程式理想流体一维流动的特点：流动参数在同一截面理想流体一维流动的特点：流动参数在同一截面上是均匀分布的上是均匀分布的3.低速测量原理低速测量原理伯努利方程伯努利方程+静压分布规律静压分布规律由静压分布规律测出压差，用伯努利方程由压差由静压分布规律测出压差，用伯努利方程由压差算出速度差算出速度差73总水头线图总水头线图v22/2gv12/2gp1/ρgp2/ρgz1z2H总水头线总水头线00静水头线静水头线流线流线74本章小结本章小结4.小孔出流计算小孔出流计算(1)小孔口定常出流速度计算小孔口定常出流速度计算(2)虹吸管计算虹吸管计算5. 动量方程及其应用动量方程及其应用(1)弯管壁受到的流体动力弯管壁受到的流体动力(2)射流对斜面的冲击力，作用点射流对斜面的冲击力，作用点(3)气垫船的飞高气垫船的飞高(4)滑行艇的流体动力滑行艇的流体动力(5)洒水器洒水器(6)射流船射流船75。