《主成分分析》PPT课件.ppt

第三讲 主成分分析因子分析•准备知识•求主成分•因子分析说明说明一、特征值与特征向量的概念解解例例1 1 例例２２ 解解例４例４ 证明：若证明：若 是矩阵是矩阵A的特征值，的特征值， 是是A的属于的属于　的特征向量，则　的特征向量，则证明证明再继续施行上述步骤再继续施行上述步骤 次，就得次，就得证明证明则则即即类推之，有类推之，有二、特征值和特征向量的性质把上列各式合写成矩阵形式，得把上列各式合写成矩阵形式，得注意注意　　１　　１.　属于不同特征值的特征向量是线性无关　属于不同特征值的特征向量是线性无关的．的．　　２　　２.　属于同一特征值的特征向量的非零线性　属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量．组合仍是属于这个特征值的特征向量．　　３　　３.　矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征　矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征向量不能属于不同的特征值．一个特征向量不能属于不同的特征值．一、相似矩阵与相似变换的概念1. 等价关系等价关系二、相似矩阵与相似变换的性质证明证明推论推论 若若 阶方阵阶方阵A A与对角阵与对角阵证明证明三、利用相似变换将方阵对角化命题得证命题得证.说明说明 　　　如果　　　如果 阶矩阵阶矩阵 的的 个特征值互不相等，个特征值互不相等，则则 与对角阵相似．与对角阵相似．推论推论　　　如果　　　如果 的特征方程有重根，此时不一定有的特征方程有重根，此时不一定有 个线性无关的特征向量，从而矩阵个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能不一定能对角化，但如果能找到对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量，个线性无关的特征向量， 还是能对角化．还是能对角化．例例1 1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？判断下列实矩阵能否化为对角阵？解解解之得基础解系解之得基础解系求得基础解系求得基础解系解之得基础解系解之得基础解系故故 不能化为对角矩阵不能化为对角矩阵.四、小结　　　　１．相似矩阵１．相似矩阵　　 相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好的性质，除了课堂内介绍的以外，还有：的性质，除了课堂内介绍的以外，还有：一、二次型及其标准形的概念称为二次型称为二次型. .只含有平方项的二次型只含有平方项的二次型称为二次型的标准形（或法式）．称为二次型的标准形（或法式）．例如例如都为都为二次型；二次型；为二次型的标准形为二次型的标准形. .1 1．用和号表示．用和号表示对对二次型二次型二、二次型的表示方法2 2．用矩阵表示．用矩阵表示三、二次型的矩阵及秩　　在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，　　在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二次型与对称矩阵之间存在次型与对称矩阵之间存在一一对应一一对应的关系．的关系．解解例１例１设设四、化二次型为标准形　　对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求　　对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形．可逆的线性变换，将二次型化为标准形．证明证明即即 为对称矩阵为对称矩阵.说明说明用正交变换化二次型为标准形的具体步骤用正交变换化二次型为标准形的具体步骤解解1 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值例例2 2从而得特征值从而得特征值2 2．求特征向量．求特征向量3 3．将特征向量正交化．将特征向量正交化得正交向量组得正交向量组4 4．将正交向量组单位化，得正交矩阵．将正交向量组单位化，得正交矩阵于是所求正交变换为于是所求正交变换为２．相似变换与相似变换矩阵２．相似变换与相似变换矩阵　　这种变换的重要意义在于　　这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种简化对矩阵的各种运算运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对角矩阵的运算．角矩阵的运算．　　　　相似变换相似变换是对方阵进行的一种运算，它把是对方阵进行的一种运算，它把A变成　　　，而可逆矩阵变成　　　，而可逆矩阵 称为进行这一变换的称为进行这一变换的相似变换矩阵相似变换矩阵．．。