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实验3 用三线摆测物体的转动惯量(new) ; 实验3用三线摆测定物体的转动惯量 实验3 用三线摆测定物体的转动惯量 转动惯量是刚体在转动中惯性大小的量度，它与刚体的质量的大小、转轴的位置和刚体质量的分布有关对于形状简单规那么的均匀刚体，测出其外形尺寸和质量，可用数学办法计算出其绕特定转轴的转动惯量，而对于形状复杂，质量分布不均匀的刚体用数学办法求转动惯量非常困难，有时甚至不可能，一般要通过实验办法来测定测定刚体转动惯量的实验办法有多种，如三线摆法及转动惯量仪法等本实验用三线摆法测定刚体的转动惯量，其特点是操作简单为了便于与理论计算值比拟，实验中被测物体仍采用形状简单规那么的刚体对于形状较复杂的刚体，如枪炮、弹丸、电动机转子、机器零件等都可以测量出其转动惯量 【实验目的】1. 学会正确测量长度、质量和时间的办法； 2. 用三线摆测定圆盘和圆环对称轴的转动惯量； 3. 验证转动惯量的平行轴定理实验仪器】FB210A型三线摆组合实验仪、FB213A型数显计时计数毫秒仪、米尺、游标卡尺 【实验原理】物理学中转动惯量的数学叙述式为I《《m《ri2i式中，mi为质元的质量、ri为该质元到转轴的距离。

1．测定悬盘绕中心轴的转动惯量J0 图1是三线摆实验装置的示意图上、下圆盘均处于水平，悬挂在横梁上三个对称分布的等长悬线将两圆盘相连上圆盘固定，下圆盘可绕中心轴OO《作扭摆运动因悬盘来回摆动的周期与其转动惯量大小有关，所以，悬挂物不同，转动惯量也就不同，相应的摆动周期也将发生变化如图2示，当悬盘离开平衡位置向某一方向转过一个很小的角度θ时，整个悬盘的位置也将升高一高度h，即悬盘既绕中心轴转动，又有升降运动，在任何时刻其转动动能为1d《《《J0《2《《《《，高低运动的平动动能为2dt《《12《dh《mv《v《《，重力势能为mgh，如果忽略摩擦力，那么在重力场中机械能守恒，即 2dt《《1《d《《1《dh《2J0《《+mgh=恒量〔1〕 《+2m《《dt《2《dt《2上式中m为悬盘的质量，J0为其转动惯量取悬盘在平衡位置对重力势能为零，在悬线足1《d《1《dh《够长，且悬盘作小角度转动时，m《《远小于J0《2《dt《2《dt2《《略去式〔1〕中平动动能并《2对时间求导，那么有d《d2《dhJ0()2《mg《0 〔2〕dtdtdt假设令高低盘之间的距离为H，悬线长为l，r和R分别表示高低盘上系线点到圆心的距离，那么根据图2，应用简单的几何关系可以得到悬盘回升的高度(a1c1)2《(a1c1《)2《《《《h《OO《a1c1《a1c1《a1c1《a1c1《222由于(a1c1)2《(a1b1)2《(bc 11)《l《(R《r)而(a1c1《)2《(a1b1《)2《(b1《c1《)2《l2《(R2《r2《2Rrcos《)《4Rrsin22，当偏转角θ很小时，得 h《2Rr(1《cos《)《a1c1《a1c1《a1c1《a1c1《sin图2《22《, ac《ac《《H ，即H《l2《(R《r)2，所以h《Rr《，对t求导得 《111122HdhRr《d《《() 〔3〕 dtHdtd2《mgRrd2《mgRr2将式〔3〕代入式〔2〕后可得，即《《()《《《《《 《()《《0022dtHJ0dtH0J可见，振动的角加速度与角位移成正比，方向相反，显然上式是一个简谐运动方程，其解为《《《0cos(《0t《《)，式中《0《动的周期TmgRr为悬盘转动的角频率，θ0为角振幅。

因为简谐运HJ0《2《《0，于是有J0《mgRr2T〔4〕 4《2H这就是测定悬盘绕中心轴转动的转动惯量的计算公式 2．测定圆环绕中心轴的转动惯量 将质量为M的圆环放在悬盘上，使两者中心重合〔使物体的质心恰好在仪器的转轴上〕，组成一个系统测得系统绕中心轴的转动的周期为T1，那么它们总的转动惯量为J1《(m《M)gRr2T1〔5〕4《2HM22(R内《R外)，式中R外为圆环外半径，2得圆环绕中心轴的转动惯量为 J= J1- J0圆环绕中心轴转动惯量的理论计算公式为 J《《R内为圆环内半径3．测定圆柱体绕中心轴的转动惯量Jx假设质量为m的物体绕过其质心轴的转动惯量为J0，当转轴平行移动距离x时〔如图3所示〕，那么此物体对新轴OO《的转动惯量为Joo'《J0《mx2这一结论称为转动惯量的平行轴定理将质量均为m'，形状和质量分布完全相同的两个圆柱体对称地放置在下圆盘上〔下盘有对称的两排小孔〕按上面同样的办法，测出两小圆柱体和下盘绕中心轴OO《的转动周期Tx，那么可求出每个柱体对中心转轴OO《的转动惯量:Jx《1《(m0《2m')gRrTx2《J0《(6)《2《4《2H《《如果测出小圆柱中心与下圆盘中心之间的距离x以及小圆柱体的半径Rx，那么由平行轴定理可求得O' xCm O 12J'x《m'x《m'Rx(7)2比拟Jx与J'x的大小,可验证平行轴定理。

2图3 平行轴定理【实验内容】一．调整三线摆装置 ：1．察看上圆盘中心的水准器，并调节底板上三个调节螺钉，使仪器处于水平状态 2．察看下圆盘中心的水准器，利用上圆盘上的三个调节螺丝，使三悬线等长，并固定紧定螺钉，再用米尺，测量悬线的长度3．调整底板左上方的光电传感接收装置，使下圆盘边上的挡光杆能自由往返通过光电门槽口二．测量周期 T0 和T1、TX ：1．接通FB213A型数显计时计数毫秒仪的电源，把光电接收装置与毫秒仪连接合上毫秒仪电源开关， 使用“功能〞按钮选择周期“摆动〞，预置测量次数为50次〔可根据实验需要从1~99次任意设置〕2．设置计数次数时，可分别按“置数〞键的十位或个位按钮进行调节，〔注意数字调节只能按进位操作〕，设置完成后自动保持设置值，〔直到再次改变设置为止〕3．在下圆盘处于静止状态下，拨动上圆盘的“转动手柄〞，将上圆盘转过一个小角度〔5《左右〕，带动下圆盘绕中心轴 OO《作微小扭摆运动摆动假设干次后，按毫秒仪的“执行〞 键，毫秒仪开始计时，每计量一个周期，周期显示数值自动逐1递减 ，直到递减为0时，计时结束，毫秒仪显示出累计50个周期的时间〔表明：毫秒仪计时范围：0~99.999s,分辨率为1ms〕重复以上测量5次，将数据记录到表1。

如此测5次，进行下一次测量时，测试仪要先按“复位〞键4．将待测圆环置于悬盘上，使两者中心轴线重合，按以上办法求出圆环与悬盘系统的摆动周期T1，算出J1，从而计算出待测圆环的转动惯量J = J1－J05．取下圆环，把质量和形状都相同的两个圆柱体对称地置于悬盘上，再按同样办法求出摆动周期Tx6．如图4所示，分别测出小圆盘和悬盘三悬点之间的距离a和b，各取其平均值，算出悬点到中心的距离r和R 图47．测出两圆盘之间的垂直距离H、圆环的内直径2R内、外直径2R外、圆柱体直径2Rx和圆柱体中心至悬盘中心的距离x8．记下悬盘、圆环和圆柱体的质量m、M、m′〔上述质量均已标明在盘上〕 9．将各实验结果与理论计算相比拟，分析误差原因实验数据记录及数据处理】表1转动周期的测定 悬盘 摆动50次所需时间t(s) 周期(s) 1 2 3 平均 T0= 1 2 3 平均 T1=表2各长度量和质量的测定高低圆盘上圆盘悬之间的垂孔间距直距离-2a(10m) -2H(10m) 1 2 3 平均 r《悬盘加圆环 悬盘加两圆柱体 1 2 3 平均 Tx= 下挂悬盘悬孔间距-2b(10m)待测圆环 外直径2R外-2(10m)内直径2R内-2(10m)小圆柱体直径 2Rx -2(10m)放置小圆柱体两小孔间距-22x(10m)H《 a《 b《 R外《 R内《 Rx《 x《 33a《，R《b《33悬盘质量m=kg；待测圆环质量M=kg；圆柱体质量m′= kg 3．各转动惯量的数据计算〔有关计算应列出计算公式、代入实验数据、再写出计算结果，注意单位的统一性〕〔1〕悬盘绕中心轴的转动惯量：J0=〔2〕圆环绕中心轴的转动惯量：实验值J=；理论值J′=百分误差EJ=〔3〕圆柱体绕中心轴的转动惯量：实验值Jx= ；理论值J′x=百分误差EJx=并由此表明平行轴定理是否成立？如果不成立，请表明原因。

考前须知1．注意转动三线摆的上圆盘时，不可使下圆盘发生左右颤摆，因为我们没有考虑左右摆动的能量2．式〔4〕只有在θ很小，三边相等，张力相等，高低盘水平，绕过两盘中心的轴转动的条件下才成立所以在测定周期时，转角θ不宜过大，一般不超过10°3．怎样启动三线摆？先使已调水平的下圆盘保持静止，然后轻轻转动上圆盘约5°左右，随即退到原处 。