数学 第一章 立体几何初步 6.1 垂直关系的判定 北师大版必修2.ppt

6.1　垂直关系的判定第一章　 §6　垂直关系学习目标1.掌握直线与平面垂直的定义、判定定理.2.掌握平面与平面垂直的概念、判定定理.3.会应用两定义及两定理证明有关的垂直问题.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考　　知识点一　直线与平面垂直的定义在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子，随着时间的变化，影子的位置在移动，在各个时刻旗杆所在的直线与其影子所在的直线夹角是否发生变化，为多少？答案答案答案　不变，90°.定义如果一条直线和一个平面内的 直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直记法___________有关概念直线l叫作平面α的 ，平面α叫作直线l的 ，它们唯一的公共点P叫作_________线面垂直的概念梳理梳理任何一条l⊥α垂线垂面垂足图示画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直知识点二　直线和平面垂直的判定定理将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触).观察折痕AD与桌面的位置关系.思考1　　折痕AD与桌面一定垂直吗？答案答案答案　不一定.思考2　　当折痕AD满足什么条件时，AD与桌面垂直？答案答案答案　当AD⊥BD且AD⊥CD时，折痕AD与桌面垂直.文字语言如果一条直线和一个平面内的 都垂直，那么该直线与此平面垂直符号语言图形语言判定定理梳理梳理两条相交直线思考1　　知识点三　二面角观察教室内门与墙面，当门绕着门轴旋转时，门所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状.数学上，用哪个概念来描述门所在的平面与墙面所在的平面所形成的角？答案答案答案　二面角.思考2　　平时，我们常说“把门开大一点”，在这里指的是哪个角大一点？答案答案答案　二面角的平面角.(1)定义：从一条直线出发的 所组成的图形.(2)相关概念：①这条直线叫作二面角的 .②两个半平面叫作二面角的 .(3)二面角的记法以直线AB为棱，半平面α，β为面的二面角，记作二面角面α－AB－β.(4) 二面角的平面角：若有①O l；②OA α，OB β；③OA l，OB l，则二面角α－l－β的平面角是 .梳理梳理两个半平面棱面⊥∈⊥∠AOB知识点四　平面与平面垂直思考　　建筑工人常在一根细线上拴一个重物，做成“铅锤”，用这种方法来检查墙与地面是否垂直.当挂铅锤的线从上面某一点垂下时，如果墙壁贴近铅锤线，则说明墙和地面什么关系？此时铅锤线与地面什么关系？答案答案答案　都是垂直.(1)平面与平面垂直的概念①定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直.②画法： ③记法： .梳理梳理直二面角α⊥β文字语言如果一个平面经过另一个平面的一条 ，那么这两个平面互相垂直图形语言符号语言l⊥α， ⇒α⊥β(2)判定定理垂线题型探究例例1　　如图，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，求证：BC⊥平面PAC.类型一　线面垂直的判定证明证明证明　∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC.而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.引申探究引申探究若本例中其他条件不变，作AE⊥PC交PC于点E，求证：AE⊥平面PBC.证明证明证明　由例1知BC⊥平面PAC，∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC.(1)使用直线与平面垂直的判定定理的关键是在平面内找到两条相交直线都与已知直线垂直，即把线面垂直转化为线线垂直来解决.(2)证明线面垂直的方法①线面垂直的定义.②线面垂直的判定定理.③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面.反思与感悟跟跟踪踪训训练练1　　如图，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E，作AF⊥PB于点F，求证：PB⊥平面AEF.证明证明证明　由引申探究知AE⊥平面PBC.∴AE⊥PB，又AF⊥PB，且AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF.例例2　如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC⊥平面ABCD，E为SA的中点.求证：平面EBD⊥平面ABCD.证明类型二　面面垂直的判定(1)由面面垂直的判定定理知，要证两个平面互相垂直，关键是证明其中一个平面经过另一个平面的垂线.(2)证明面面垂直的常用方法：①面面垂直的判定定理；②所成二面角是直二面角.反思与感悟跟踪训练跟踪训练2　如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∠ACB＝90°，AC＝AA1，D是棱AA1的中点.证明：平面BDC1⊥平面BDC.证明例例3　　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求二面角B－A1C1－B1的正切值.类型三　与二面角有关的计算解答(1)求二面角的大小关键是要找出或作出平面角.再把平面角放在三角形中，利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值，其步骤为作角→证明→计算.(2)为了能在适当位置作出平面角要注意观察二面角两个面的图形特点，如是否为等腰三角形等.反思与感悟跟跟踪踪训训练练3　　如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小.解答当堂训练1.如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边.A.①③ B.② C.②④ D.①②④√√答案2233445511解解析析　　由线面垂直的判定定理知，直线垂直于①③图形所在的平面.而②④图形中的两边不一定相交，故该直线与它们所在的平面不一定垂直.解析2.已知PA⊥矩形ABCD所在的平面(如图所示)，图中互相垂直的平面有A.1对 B.2对C.3对 D.5对答案√√2233445511解析3.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是A.异面 B.平行C.垂直 D.不确定答案√√2233445511同理BC⊥l，又BA∩BC＝B，∴l⊥平面ABC.解析4.三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝ ，AB＝10，BC＝8，CA＝6，则二面角P－AC－B的大小为_____.2233445511解析答案60°5. 如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E、F分别是AB、BD的中点.求证：平面EFC⊥平面BCD.2233445511证明规律与方法1.直线和平面垂直的判定方法：(1)利用线面垂直的定义；(2)利用线面垂直的判定定理；(3)利用下面两个结论：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β.2.证明两个平面垂直的主要途径：(1)利用面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.3.证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的.本课结束。