31不等关系与不等式.ppt

3.1 3.1 不等关系与不等式不等关系与不等式第一课时第一课时 第三章第三章 不等式不等式问题提出问题提出1.1.在数学中，表示等量关系的式子叫做等式，那么在数学中，表示等量关系的式子叫做等式，那么““不等式不等式””的含义如何理解？的含义如何理解？表示不等关系的式子叫做表示不等关系的式子叫做不等式不等式. . 2.2.现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系着大量的不等关系. .例如，两点之间线段最短，三例如，两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，等等等等. .我们还经常用长与短、高与矮、轻与重、大我们还经常用长与短、高与矮、轻与重、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系量上存在的不等关系. .因此，如何用数学语言表述因此，如何用数学语言表述这样的不等关系，就成为一个新的学习的内容这样的不等关系，就成为一个新的学习的内容. .知识探究知识探究( (一一) )：用不等式表示不等关系：用不等式表示不等关系思考思考1 1：：限速限速40km/h40km/h的路标，指示司机在前方路段的路标，指示司机在前方路段行使时，应使汽车的速度行使时，应使汽车的速度v v不超过不超过40km/h.40km/h.怎样用不怎样用不等式表示这里的不等关系？等式表示这里的不等关系？ 思考思考2 2：：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量的含量f f应不少于应不少于2.5%2.5%，蛋白质的含量，蛋白质的含量p p 应不少于应不少于2.3%2.3%，怎样用不等式组表示这里的不等关系？，怎样用不等式组表示这里的不等关系？ 0 0＜＜v≤40 v≤40 思考思考3 3：：设点设点A A与平面与平面αα的距离为的距离为d d，，B B为平面为平面αα上的上的任意一点，则任意一点，则d d与与|AB||AB|的大小关系怎样表示？的大小关系怎样表示？d≤|AB|d≤|AB|A AB Bd d思考思考4:4:某种杂志原以每本某种杂志原以每本2.52.5元的价格销售，可以元的价格销售，可以售出售出8 8万本万本. .据市场调查，若单价每提高据市场调查，若单价每提高0.10.1元，销元，销售量就可能相应减少售量就可能相应减少20002000本本. .若把提价后杂志的定若把提价后杂志的定价设为价设为x x元，怎样用不等式表示销售的总收入不低元，怎样用不等式表示销售的总收入不低于于2020万元？万元？ 思考思考5 5：：某钢铁厂要把长度为某钢铁厂要把长度为4000mm4000mm的钢管截成的钢管截成500mm500mm和和600mm600mm两种两种. .按照生产的要求，按照生产的要求，600mm600mm钢管的钢管的数量不能超过数量不能超过500mm500mm钢管的钢管的3 3倍倍. .如何用不等式组表如何用不等式组表示上述所有不等关系？示上述所有不等关系？ 不等式的概念：不等式的概念：思考：思考：思考思考6 6：： 知识探究知识探究( (二二) )：比较实数大小的基本原理：比较实数大小的基本原理 思考思考1 1：：实数可以比较大小，对于两个实数实数可以比较大小，对于两个实数a a，，b b，，其大小关系有哪几种可能？其大小关系有哪几种可能？ a a＞＞b b，，a a＝＝b b，，a a＜＜b. b. 思考思考2 2：：任何一个实数都对应数轴上的一个点，那任何一个实数都对应数轴上的一个点，那么大数与小数所对应的点的相对位置关系如何？么大数与小数所对应的点的相对位置关系如何？ 大数对应的点位于小数对应的点的右边大数对应的点位于小数对应的点的右边 思考思考3 3：：如果两个实数的差是正数，那么这两个实如果两个实数的差是正数，那么这两个实数的大小关系如何？反之成立吗？如何用数学语数的大小关系如何？反之成立吗？如何用数学语言描述这个原理？言描述这个原理？ a a－－b b＞＞0 a0 a＞＞b b 思考思考5 5：：如果两个实数的差等于零，那么这两个实如果两个实数的差等于零，那么这两个实数的大小关系如何？反之成立吗？如何用数学语言数的大小关系如何？反之成立吗？如何用数学语言描述这个原理？描述这个原理？ a a－－b=0 a=b b=0 a=b 思考思考4 4：：如果两个实数的差是负数，那么这两个实如果两个实数的差是负数，那么这两个实数的大小关系如何？反之成立吗？如何用数学语言数的大小关系如何？反之成立吗？如何用数学语言描述这个原理？描述这个原理？ a a－－b b＜＜0 a0 a＜＜b b 例题讲解例题讲解 例例1 1 某用户计划购买单价分别为某用户计划购买单价分别为6060元、元、7070元的单元的单片软件和盒装磁盘，使用资金不超过片软件和盒装磁盘，使用资金不超过500500元，根据元，根据需要，软件至少买需要，软件至少买3 3片，磁盘至少买片，磁盘至少买2 2盒，用不等式盒，用不等式组表示软件数组表示软件数x x与磁盘数与磁盘数y y应满足的条件应满足的条件. .  例例2 2 比较下列三组代数式的大小：比较下列三组代数式的大小： (1)x(1)x2 2+3+3与与3x3x；； (2) x (2) x6 6+1+1与与x x4 4+x+x2 2；；(3)(3)第二课时第二课时 3.1 3.1 不等关系与不等式不等关系与不等式问题提出问题提出1.1.反映实数大小关系的基本原理是什么？反映实数大小关系的基本原理是什么？a a－－b b＞＞0 a0 a＞＞b b a a－－b=0 a=b b=0 a=b a a－－b b＜＜0 a0 a＜＜b b 2.2.用用““差比法差比法””比较两个代数式大小的一般步骤如比较两个代数式大小的一般步骤如何？何？ 作差作差→→变形变形→→判断符号判断符号 探究（一）：不等式的基本性质探究（一）：不等式的基本性质 思考思考1 1：若甲的身材比乙高，则乙的身材比甲矮，：若甲的身材比乙高，则乙的身材比甲矮，反之亦然反之亦然. .从从数学的观点分析，这里反映了一个不数学的观点分析，这里反映了一个不等式性质，等式性质，你能用数学符号语言表述这个不等式性你能用数学符号语言表述这个不等式性质吗？质吗？ a a＞＞b bb b＜＜a a（对称性）（对称性） 思考思考2 2：若甲的身材比乙高，乙的身材比丙高，：若甲的身材比乙高，乙的身材比丙高，那么甲的身材比丙高，这里反映出的不等式性质那么甲的身材比丙高，这里反映出的不等式性质如何用数学符号语言表述？如何用数学符号语言表述？a a＞＞b b，，b b＞＞c ac a＞＞c c；；a a＜＜b b，，b b＜＜c ac a＜＜c c（（传递性传递性））思考思考3 3：：再有一个不争的事实：若甲的年薪比乙高，再有一个不争的事实：若甲的年薪比乙高，如果年终两人发同样多的奖金或捐赠同样多的善款，如果年终两人发同样多的奖金或捐赠同样多的善款，则甲的年薪仍然比乙高，这里反映出的不等式性质则甲的年薪仍然比乙高，这里反映出的不等式性质如何用数学符号语言表述？如何用数学符号语言表述？ a a＞＞b a+cb a+c＞＞b+cb+c（（可加性可加性）） 思考思考4 4：还有一个不争的事实：若甲班的：还有一个不争的事实：若甲班的男生比乙班多，甲班的女生也比乙班多，男生比乙班多，甲班的女生也比乙班多，则甲班的人数比乙班多则甲班的人数比乙班多. . 这里反映出的这里反映出的不等式性质如何用数学符号语言表述？不等式性质如何用数学符号语言表述？ a a＞＞b b，，c c＞＞d a+cd a+c＞＞b+db+d（同向可加性）（同向可加性）思考思考5 5：如果：如果a a＞＞b b，，c c＞＞0 0，那么，那么acac与与bcbc的的大小关系如何？如果大小关系如何？如果a a＞＞b b，，c c＜＜0 0，那么，那么acac与与bcbc的大小关系如何？为什么？的大小关系如何？为什么？思考思考6 6：如果：如果a a＞＞b b＞＞0 0，，c c＞＞d d＞＞0 0，那么，那么acac与与bdbd的大小关系如何？为什么？的大小关系如何？为什么？ a a＞＞b b，，c c＞＞0 ac0 ac＞＞bcbc；； a a＞＞b b，，c c＜＜0 ac0 ac＜＜bcbc a a＞＞b b＞＞0 0，，c c＞＞d d＞＞0 ac0 ac＞＞bd bd 思考思考7 7：如果：如果a a＞＞b b＞＞0 0，，n∈Nn∈N*，那么，那么a an n与与b bn n的大小关系如何？的大小关系如何？思考思考8 8：如果：如果a a＞＞b b＞＞0 0，，n∈Nn∈N*，那么，那么与与 的大小关系如何？的大小关系如何？ a a＞＞b b＞＞0 0 ＞＞ (n∈N(n∈N*) ) a a＞＞b b＞＞0 a0 an n＞＞b bn n (n∈N (n∈N*) )探究（二）：探究（二）：不等式的拓展性质不等式的拓展性质 思考思考1 1：在等式中有移项法则，即：在等式中有移项法则，即a a＋＋b b＝＝c ac a＝＝c c－－b b，那么移项法则在不等式，那么移项法则在不等式中成立吗？中成立吗？ a a＋＋b b＞＞c ac a＞＞c c－－b b思考思考2 2：如果：如果a ai i＞＞b bi i(i(i＝＝1 1，，2 2，，3 3，，……，，n)n)，，a a1 1＋＋a a2 2＋＋……＋＋a an n与与b b1 1＋＋b b2 2＋＋……＋＋b bn n的大的大小关系如何？小关系如何？a ai i＞＞b bi i (i(i＝＝1 1，，2 2，，3 3，，……，，n)n)a a1 1＋＋a a2 2＋＋……＋＋a an n＞＞b b1 1＋＋b b2 2＋＋……＋＋b bn n 思考思考3 3：如果：如果a ai i＞＞b bi i(i(i＝＝1 1，，2 2，，3 3，，……，，n)n)，那么，那么a a1 1·a a2 2……a an n＞＞b b1 1·b b2 2……b bn n吗？吗？ai＞bi＞0 (i＝1，2，3，…，n) a1·a2…an＞b1·b2…bn思考思考4 4：如果：如果a a＞＞b b，那么，那么a an n与与b bn n的大小关的大小关系确定吗？系确定吗？ a a＞＞b b，，n n为正奇数为正奇数 a an n＞＞b bn n思考思考5 5：如果：如果a a＞＞b b，，c c＜＜d d，那么，那么a a＋＋c c与与b b＋＋d d的大小关系确定吗？的大小关系确定吗？a a－－c c与与b b－－d d的大的大小关系确定吗？小关系确定吗？a a＞＞b b，，c c＜＜d ad a－－c c＞＞b b－－d d思考思考6 6：： 若若a a＞＞b b，，abab＞＞0 0，那么，那么 的大小关系如何？的大小关系如何？ a a＞＞b b，，abab＞＞0 0理论迁移理论迁移 例例1 1 已知已知a a＞＞b b＞＞0 0，，c c＜＜0 0，， 求证求证: .: . 例例2 2 已知已知 ，，x x＞＞y y＞＞0 0，， 求证：求证： . .  例例3 3 若若a a＜＜b b＜＜0 0，判断下列结论是否成，判断下列结论是否成立立. .（（1 1）） （（2 2）） （（3 3）） （（4 4））acac2 2＜＜bcbc2 2 例例4 4 给出三个不等式：给出三个不等式： ①ab ①ab＞＞0 0，，②② , ③bc③bc＞＞adad，， 以其中任意两个作条件，余下一个做结以其中任意两个作条件，余下一个做结论，可组成几个正确命题论，可组成几个正确命题. .小结作业小结作业1.1.不等式的不等式的8 8条基本性质，就是不等式的条基本性质，就是不等式的运算法则，是分析、研究和解决不等式运算法则，是分析、研究和解决不等式问题的逻辑依据，在此基础上还可引伸问题的逻辑依据，在此基础上还可引伸出许多其他性质，学习上要求掌握基本出许多其他性质，学习上要求掌握基本性质，了解拓展性质性质，了解拓展性质. .2.2.上述不等式性质都是可以证明的结论，上述不等式性质都是可以证明的结论，反映实数大小关系的基本原理是证明不反映实数大小关系的基本原理是证明不等式性质的理论基础等式性质的理论基础. .3.3.在不等式的基本性质中，有些条件与在不等式的基本性质中，有些条件与结论是等价的，有些是不等价的，在不结论是等价的，有些是不等价的，在不等式的乘法、乘方、开方运算性质中，等式的乘法、乘方、开方运算性质中，还要附加大于还要附加大于0 0的条件，应用时必须认准的条件，应用时必须认准. .4.4.不等式的不等式的8 8条基本性质还可作适当变条基本性质还可作适当变通，如通，如a≥ba≥b，，b b＞＞c ac a＞＞c c；；a≥ba≥b，，c c＞＞0 ac≥bc0 ac≥bc；；a a＜＜b b，，c c＜＜0 ac0 ac＞＞bcbc等等等等. . 第三课时第三课时 3.1 3.1 不等关系与不等式不等关系与不等式1. 1. 两个实数大小关系的比较原理两个实数大小关系的比较原理知识梳理知识梳理a a－－b b＞＞0 a0 a＞＞b b a a－－b=0 a=b b=0 a=b a a－－b b＜＜0 a0 a＜＜b b 2.2.不等式的基本性质不等式的基本性质（（1 1））a a＞＞b bb b＜＜a a（对称性）（对称性） （（2 2））a a＞＞b b，，b b＞＞c ac a＞＞c c；； a a＜＜b b，，b b＜＜c ac a＜＜c c（传递性）（传递性）（（3 3））a a＞＞b a+cb a+c＞＞b+cb+c（可加性）（可加性） （（4 4））a a＞＞b b，，c c＞＞d a+cd a+c＞＞b+db+d（（5 5））a a＞＞b b，，c c＞＞0 ac0 ac＞＞bcbc；； a a＞＞b b，，c c＜＜0 ac0 ac＜＜bcbc（（6 6））a a＞＞b b＞＞0 0，，c c＞＞d d＞＞0 ac0 ac＞＞bd bd （（7 7））a a＞＞b b＞＞0 a0 an n＞＞b bn n (n∈N (n∈N*) )（（8 8））a a＞＞b b＞＞0 0 ＞＞ (n∈N(n∈N*) )应用举例应用举例 例例1 1 已知已知 a a＞＞b b＞＞1 1，求证：，求证： 例例2 2 已知已知b b＞＞a a＞＞c c，，a a＞＞0 0，求证：，求证：  例例3 3 已知已知a a、、b b为正实数，求证：为正实数，求证： 例例4 4 比较下列各组代数式的大小：比较下列各组代数式的大小： （（1 1））a a2 2＋＋b b2 2与与2(a2(a＋＋b b－－1)1)；； （（2 2））(a(a＋＋b)(ab)(a3 3＋＋b b3 3) )与与(a(a2 2＋＋b b2 2) )2 2 (a(a＞＞0 0，，b b＜＜0).0). 例例5 5 已知已知c c＞＞a a＞＞0 0，， c c＞＞b b＞＞0 0，比较，比较 a a与与 . . 例例6 6 已知数列已知数列{a{an n} }是等比数列，数是等比数列，数列列{b{bn n} }是等差数列，且是等差数列，且a a1 1＝＝b b1 1＞＞0 0，，a a3 3＝＝b b3 3＞＞0 0，，a a1 1≠a≠a3 3，试比较，试比较a a5 5与与b b5 5的大小的大小. .小结作业小结作业1.1.证明不等式和比较大小，是不等式的证明不等式和比较大小，是不等式的两个基本问题，解决不等式问题必须以两个基本问题，解决不等式问题必须以不等式性质为理论依据，常用方法有比不等式性质为理论依据，常用方法有比较法、综合法、分析法等较法、综合法、分析法等. . 2.2.比较法包括差比法和商比法比较法包括差比法和商比法. .其中商比其中商比法的理论依据是法的理论依据是 或或 . .。