《微积分复习》PPT课件.ppt

1. 有理函数的积分有理函数的积分4.4 4.4 几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分2. 三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分3. 简单无理函数的积分简单无理函数的积分• 基本积分法基本积分法 :换元积分法换元积分法; ;分部积分法分部积分法• 初等函数初等函数求导求导初等函数初等函数积分积分一、有理函数的积分一、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分举例二、可化为有理函数的积分举例本节内容本节内容: : 直接积分法直接积分法; ;例如例如, ,下列函数积分都不是初等函数下列函数积分都不是初等函数有理函数有理函数两个多项式的商表示的函数称两个多项式的商表示的函数称真分式真分式; ;假分式假分式. .1. 1. 有理函数的积分有理函数的积分例例多项式的积分容易计算多项式的积分容易计算. .真分式的积分真分式的积分. .特别讨论特别讨论: :多项式多项式真分式真分式有理函数有理函数 = = 多项式多项式 + + 真分式真分式分解分解若干部分分式之和若干部分分式之和（（1)1)分母中若有因式分母中若有因式 ，则，则真分式真分式分解后含有分解后含有真分式的分母可分解为两种因式的乘积：真分式的分母可分解为两种因式的乘积：例例 对一般有理对一般有理真分式的积分真分式的积分, ,代数学中下代数学中下述定理起着关键性的作用述定理起着关键性的作用. .例例 分母中若有因式分母中若有因式 ，其中，其中则则真分式真分式分解后含有分解后含有注注系数的确定系数的确定, ,一般有两种方法一般有两种方法: :(2) (2) 等式两边同次幂系数相等等式两边同次幂系数相等; ;(1) (1) 赋值赋值; ;代入特殊值来确定系数代入特殊值来确定系数取取取取取取并将并将 值代入值代入例例 求求解解(1)(1)(1)(1) 赋值赋值例例 求求 解解比较同次比较同次幂系数幂系数例例 求求解解假分式假分式求求解解 因式分解因式分解取取取取 赋值赋值注注任意有理真分式的不定积分都归纳为下列任意有理真分式的不定积分都归纳为下列其中其中A,B, a, p, q都为常数都为常数,四种典型部分分式的积分四种典型部分分式的积分之和之和. .n为大于为大于1 1的正整数的正整数. .用递推公式用递推公式从理论上从理论上, ,但是，有理函数分成部分分式来积分的方法但是，有理函数分成部分分式来积分的方法, ,计算复杂计算复杂, , 故不宜轻易使用故不宜轻易使用, ,应尽量考虑其它方法应尽量考虑其它方法. .结论结论任意有理函数的不定积分一定可以积出来！任意有理函数的不定积分一定可以积出来！例例 求求 解解 原式原式= 分项分项凑微分凑微分 配方配方求求 解解原式原式=作变换作变换 例例 求求 比较麻烦比较麻烦 技巧技巧 例例 求求 解解 原式原式= = 求求解解 令令指数代换指数代换三角有理式的定义：三角有理式的定义： 由三角函数和常数经过有限次四则运算由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之．一般记为构成的函数称之．一般记为2. 三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分－－可化为有理式的积分－－可化为有理式的积分令令（万能置换公式）（万能置换公式）令令（万能置换公式）（万能置换公式）万能置换公式，把三角有理函数化为了有理函数，万能置换公式，把三角有理函数化为了有理函数，所以三角有理函数也一定可以按步就班的积分。

所以三角有理函数也一定可以按步就班的积分例例 求求解解 由由万能代换万能代换回代回代例例 求求解解 法法1回代回代 法法2 2 修改修改万能代换公式万能代换公式令令说明说明及及的有理式的积分时的有理式的积分时, ,更方便更方便. .用代换用代换通常求含通常求含 法法3 3 不用万能代换公式不用万能代换公式 比较以上比较以上3 3种解法种解法, ,便知万能代换不一便知万能代换不一定是最佳方法定是最佳方法, ,不得已才用万能代换不得已才用万能代换. .结论结论故三角有理式的计算先考虑故三角有理式的计算先考虑其它手段其它手段, ,例例 求求解解 例例 求求解解妙用妙用 求求解解 解解 或或 或或 被积函数含有无理函数被积函数含有无理函数解决方法解决方法 作代换去掉根号作代换去掉根号. .通常先将通常先将配方配方, ,再用三角变换化为三角函数有理式的积分或再用三角变换化为三角函数有理式的积分或直接利用积分公式计算直接利用积分公式计算. .3. 3. 简单无理函数的积分简单无理函数的积分回代回代例例 解解 令令原式原式=例例 求求解解先将无理函数的分子或分母有理化先将无理函数的分子或分母有理化. .分析分析原式原式例例 解解令令则则原式原式= =回代回代令令令令回代回代解解 令令 分部积分分部积分回代回代确定系数确定系数A、、B使下式成立使下式成立解解等式两边求导得等式两边求导得右边通分后比较等式两边的分子：右边通分后比较等式两边的分子：解得解得1.1.可积函数的特殊类型可积函数的特殊类型有理函数有理函数分解分解多项式及部分分式之和多项式及部分分式之和三角函数有理式三角函数有理式万能代换万能代换简单无理函数简单无理函数三角代换三角代换根式代换根式代换2.2.特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出, , 但不一定但不一定 要注意综合使用基本积分法要注意综合使用基本积分法, , 简便计算简便计算. .简便简便, , 小结小结作业作业：：P198 (1)——(6)提示：提示：答案答案9 两次分部积分两次分部积分。