离散数学 第1章 集合及其运算.ppt

离 散 数 学第1篇 集 合 论第1章 集合及其运算1.1 集合的概念与表示 一、集合的概念一些确定的、可以区别于其它个体的对象的 总 和称为集合集合中的个体对象称为集合的元素，常用a、b 等 小写字母表示集合通常用A、B等大写字母表示一些特定的 字母表示特定的集合，如 N、Z、Q、R、C元素与集合的关系称为属于关系 元素a是集合A中的元素，记作 ，元素a不是 集 合A中的元素，记作 在集合的概念中需要强调指出三点：1集合中相同的元素，不论出现多少次，都 被 看作为一个元素集合中的元素是没有排列顺序的例如集 合 A中的元素是a、b、c，集合B中的元素是c、a、b ， 那么，它们表示的是同一个集合集合中的元素可以是数、点、事物，还可 以 是集合根据集合中元素的个数，集合可分为有限集 合 和无限集合有限集合A中所包含的元素的个数以|A|表示 二、集合的表示方法 1．列举法列出集合中的所有元素，用大括号括起来 例如，A={a,b,c,d},N={0,1,2,3,…}描述法在大括号中，先说明元素怎样表示，再描述元素具有的共同属性， 例如，N={x|x是非负整数},D={(x,y)| } 3。

图示法——文氏图用一个简单的平面区域(通常用圆)表示一个集合，不同的集合用不同的平面区域表示区域内的点表示 集合中的元素三、集合之间的关系若集合A中的每一个元素都是集合B中的元素， 称 集合A是集合B的子集，记作 如 ，则 说明： 1包含关系只适用于集合与集合之间若 ，则A=B若 ，且B中包含不属于A的元素，则称A是 B的真子集，记作 集合的包含关系具有：⑴自反性， ⑵反对称性， ⑶传递性， 四、特殊集合 1空集：不包含任何元素的集合，记作φ 空集是任何集合的子集 φ 与{φ}是不同的全集：研究对象的全体组成的集合，用E表示任何集合都是全集的子集幂集：一个集合的所有子集组成的集合，记作 P(A) 如A={a,b}，P(A)={φ,{a},{b},{a,b}} 说明：⑴幂集中所有的元素都是集合。

⑵φ与P(φ)是不同的，φ中没有元素，P(φ)中有 一个元素φ ，P(φ)={φ}⑶若A中有n个元素，则P(A)中有2n个元素例1设A={1,2,3}，则P(A)= 解： P(A)= {φ,{1},{2}, {3},{1,2),{1,3},{2,3},A} 例2设A={φ ,{a}}，则P(A)= 解： P(A)= {φ,{φ},{{a}}, {φ,{a}}} 例3设A={a ,{a}}，下列命题中不正确的是 1) (2) (3) (4) 解:∵ P(A)= {φ,{a},{{a}}, {a,{a}}} ,∴不正确的是(2)1.2 集合的运算及其性质一、集合的运算集合的运算有并、交、差、补和对称差集合的并由所有属于A或属于B的元素组成的集合称为 集 合A与B的并集，记作 。

例如A={1,2,3,4}，B={2,4,6}， 2集合的交由所有既属于A又属于B的元素组成的集合称 为 集合A与B的交集，记作 例如A={1,2,3,4}，B={2,4,6}，集合的并、交与集合之间有如下关系： 1对于任意集合A、B2如果ABAB例4，证明证明集合命题的第一种方法是通过在集合中任 取 一个元素，利用集合的定义进行证明 证明：3集合的差由所有属于A但不属于B的元素组成的集合称 为 集合A与B的差，记作 A－B 集合A与B的差A－B与集合B与A的差B－A是不同 的 例如A={1,2,3,4}，B={2,4,6}，A－B={1,3}， B－A={6} 4补集由全集E中所有不属于A的元素组成的集合称 为 集合A的补集，记作~A E故有A-BB-AA~A例5设A,B,C是整数集Z的子集，其中A={1,2,4}求 解： A={1,2,4}，B={-3,-2,-1,0,1,2,3}，C={0,3,6,9}5集合的对称差集合 称为集合A、B的对称差 ， 记作 。

从右边的文氏图中可以看出: 例如A={1,2,3,4}，B={2,4,6}， 例6设E={1,2,3,4,5},A={1,4},B={1,2,5},C={2,4}求 解:A-BB-A例7设集合 ，求 解： 二、集合运算的性质集合的运算满足如下运算律 1交换律 2结合律3分配律4幂等律 5同一律 6零律 7补余律 8吸收律9摩根律10双补律 对称差的性质类似并集，有:交换律结合律分配律零一律消去律例8设A,B,C为任意集合，下列命题为真的是 A）如果 C）B）如果 D）例9，若 ，证明B=C证明集合恒等式的第二种方法是利用上面所述的运 算律进行证明 证明：D例10试证明对于任意集合A、B、C、D，有证明：例11化简下列集合表示式：解：(1)错误做法:正确做法是:(2)错误做法:正确做法是:1.3 有限集合的计数一、有限集合的计数定理(容斥定理)(1) (2) (3) (4) (5) 二、文氏图是有限集合计数的有效工具，图 形区域的面积就表示集合中元素的个数。

例13在20名青年中有10名是公务员，有12名是女 性，其中女公务员有5名，问不是公务员的男性有多少名？ 解: 设E={全体青年}，A={公务员}，B={女性} 则 |E|=20，|A|=10，|B|=12，用文氏图解答的情况如右： 例14求在1到500之间能被2，3，7任何一个数整除 的 整数的个数 解: 设A,B,C分别表示能被2,3,7整除的数的集合， 则 |A|=[500÷2]=250，|B|=[500÷3]=166 ，|C|=[500÷7]=71,用文氏图解答的情况如右： 。