全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及解析文件.pdf

1 2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及解析一、选择题： 18 小题，每小题4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在答题纸指定位置上. 1、已知当0 x时，函数( )3sinsin 3f xxx与kcx等价无穷小，则（A）1,4kc（B）1,4kc（ C ）3,4kc（D）3,4kc【分析】 本题考查等价无穷小的有关知识.可以利用罗必达法则或泰勒公式完成详解】 法一 :由题设知1003sinsin 33cos3cos31= lim=limkkxxxxxxcxkcx23003sin9sin 33cos27cos3=lim=lim(1)(1)(2)kkxxxxxxk kcxk kkcx3024=lim(1)(2)kxk kkcx从而(1)(2)243k kkck，故3,4kc从而应选（C ） 法二 :333333(3 )( )3()(3()4()3!3!xxfxxo xxo xxo x所以3,4kc ，从而应选（C） 2、已知( )f x在0 x处可导，且(0)0f，则2330( )2 ()limxx f xf xx（A）2(0)f（ B）(0)f（C）(0)f（D）0【分析】 本题考查导数的定义。

通过适当变形， 凑出( )f x在0 x点导数定义形式求解详解】2322333300( )2 ()( )(0)()(0)limlim2xxx f xf xx fxx ff xfxxx2233300( )(0)()(0)lim2lim 0 xxx f xx ff xffxx故应选（ B） 评注：已知抽象函数在一点可导，求含有该函数的某个极限，一般应利用导数定义完成3、函数( )ln (1)(2)(3)f xxxx的驻点个数（A）0 （B）1 （C）2 （ D）3 2 【分析】 本题考查驻点的定义先求出导函数，进而求出导函数的零点即可详解】：2(2)(3)(1)(3)(1)(2)31211( )(1)(2)(3)(1)(2)(3)xxxxxxxxfxxxxxxx令231211( )0(1)(2)(3)xxfxxxx，只需求2312110 xx，由于2124 3 11120，所以有两解故应选（ C） 4、微分方程2(0)xxyyee的特解形式为（A）()xxa ee（B）()xxax ee（C）()xxx aebe（D）2()xxxaebe【分析】 考查二阶常系数线性非齐次方程待定特解的形式。

首先将方程右端分解，然后分别写出待定特解详解】 特征方程为220r，解得,rr所以2xyye的特解为1*xyaxe、2xyye的特解为2*xybxe由叠加原理知2xxyyee的特解形式为()xxx aebe5、 设 函 数( )f x，( )g x具 有 连 续 二 阶 连 续 导 数 ， 满 足( 0)0f，(0)0g， 且( 0 ) ( 0)0fg，则函数( )( )zfx g y在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是（A）(0)0f，(0)0g（B）(0)0f，(0)0g（C）(0)0f，(0)0g（D）(0)0f，(0)0g【分析】本题考查二元函数极值的充分条件.利用二阶连续可偏导二元函数取极小值的充分条件求解 . 【详解】 由于( ) ( )zfx g yx，22( ) ( )zfx g yx，2( )( )zfx g yx y；( )( )zf x gyy，22( )( )zf x gyy所以在点(0,0)处，(0)(0)Afg、(0)(0)0Bfg、(0)(0)Cfg要 使()()zfxgy在 点( 0 , 0 )处 取 得 极 小 值 ， 则 必 有200BA CA, 从 而( 0 , 0 )0 xxAz，(0,0)0yyCz, 所以(0)0f,(0)0g. 从而应选 (A) . 3 6、 设40ln sinIxdx，40ln cotjxdx，40ln cosKxdx，则,I J K的大小关系是（A）IJK（B）IKJ（C）JIK（D）KJI【分析】 利用积分的性质直接比较被积函数在积分区间上的大小. 【详解】 因为(0,)4x，0sincoscotxxx，所以ln sinln cosln cotxxx而反常积分40ln sinIxdx与40ln cotjxdx都收敛 , 利用积分的保号性知：444000ln sinln cosln cotxdxxdxxdx。

故应选 (B). 评注 : 40ln sinIxdx与40ln cotjxdx都是以0 x为瑕点的反常积分, 不难证明他们都是收敛的 ; 对于收敛的反常积分,类似于定积分的比较性质也成立.7、设A为三阶矩阵，将A的第二列加到第一列得矩阵B，再交换B的第二行与第三行得单位矩阵，记1100110001P，2100001010P，则A（A）12PP（B）112P P（C）21PP（D）121P P【分析】 考查矩阵初等变换与初等矩阵的关系和逆矩阵的基本知识. 【详解】 对mn阶矩阵做一次初等行（列）变换，相当于用一个相应的m阶 (n阶)初等矩阵左（右）乘矩阵A由题设1BAP，而2P BE，因此21EP AP，所以1112121AP PP P故应选 (D) 8、设1234(,)A是 4 阶矩阵，*A是A的伴随矩阵， 若(1,0,1,0)T是方程组0AX的一个基础解系，则*0A X的一个基础解系为（A）13,（B）12,（ C）123,（D）234,【分析】 本题考查伴随矩阵和向量组相关性及方程组基础解系的有关知识. 4 【详解】 显然( )3r A，所以*()1r A，从而*0A X的基础解系中含3 个线性无关的解向量。

因为A AA E，所以1234,都是方程组*0A X的解，又因为(1,0,1,0)T是方程组0AX的一个基础解系， 所以13,线性相关， 因此234,线性无关 故234,是*0A X的基础解系评 注 ： 涉 及 伴 随 矩 阵 的 问 题 ， 常 常 用 到 下 列 结 论 ： *AAA AA E； 1*(2 )nAAn；2*()nAAA；*1*()nkAkA；*()()TTAA；*, ()()1, ()10,()2n r AnrArAnr An； 若A可逆， 则*1()AAA，*11 *()()AA，*1AA A二、填空题：9-14 小题，每小题4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上. 9、1012lim()2xxx_分析】 考查1未定式 .可以利用重要极限、罗必达法则及常用求此类极限的方法求出详解】 法一 :00121ln 2limlim22012lim()22xxxxxxxxxee法二 : 21 2111221000122121lim()lim(1)lim(1)222xxxxxmxxxxxxe其中0021 1ln 2 1ln 2limlim222xxxxmxx因此1012lim()22xxx法三：002 ln 2111 2ln2limlimln21 22012lim()22xxxxxxxxxeee评注：求1常用方法：设0lim( )0 xxA x，0lim( )xxB x，则00lim ( )( )( )lim(1( )xxA x B xB xxxA xe5 10、微分方程cosxyyex满足条件(0)0y的解为y_。

分析】 考查一阶线性微分方程求特解的方法，可利用公式直接计算详解】()()( )(c o s)( si n)Pxd xPxd xxxyeeQ x dxCexdxCexc因为(0)0y，所以0C故所求特解为sinxyex11、曲线0tanxytdt(0)4t的弧长s_分析】 直接利用直角坐标系下求弧长公式计算详解】24440001tansecln(sectan ) |ln(21)sxdxxdxxt12、若函数0( )00 xxef xx，0，则( )xf x dx_ 【分析】 考查分段函数的反常积分详解】00( )lim()bxxbxf x dxxedxxde00111lim (|)lim ()bxbxbbbbxeedxbee13、 设平面区域D由直线yx圆222xyy及y轴所组成，则二重积分Dxyd_ 【分析】 考查初等函数二重积分的计算由于积分域是圆的一部分，故选择极坐标计算详解】2 s i n3522044sincos4sincosDxyddrdrd62447sin|61214、二次型222123123121323(,)3222f xxxxxxx xx xx x，则f的正惯性指数为_ 【分析】 考查二次型的有关知识。

求正惯性指数， 只要求出二次型矩阵的特征根，判断特征根的符号即可，或化为标准型来确定详解】 法一：二次型矩阵为111131111A，而111131(4)(1)111AE所以矩阵A特征值为0,1,4，因此f的正惯性指数为26 法 二 ： 二 次 型222123123121323(,)3222f x xxxxxx xx xx x通 过 配 方 法 化 为22124yy，从而正惯性指数为2. 三、解答题：15 23 小题，共94 分 .请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、 （本题满分10 分）已知函数20ln(1)( )xtdxF xx，设lim( )0 xF x，0lim( )0 xF x，试求a的取值范围【分析】 考查极限逆问题、未定式的极限、变上限函数求导详解】 因为lim( )0 xF x，所以0；2222012122ln(1)ln(1)211limlimlimlim ()(1)(1)1xxxxxxtdxxxxxxxxx121lim(1)xx要使lim( )0 xF x则必有10，所以1；因为222011000ln(1)ln(1)limlimlimxxxxtdxxxxxx要使0lim( )0 xF x，必有12，所以3。

综上可得1316、 （本题满分11 分）设函数( )yy x由参数方程3311331133xttytt确定，求函数( )yy x的极值和曲线( )yy x的凹、凸区间及拐点分析】 考查参数方程确定函数的求导方法、极值和拐点的确定方法、凹凸区间的判别法先求出函数的一阶、二阶导数， 然后求函数驻点和二阶导数等于零的点，进而分区间判断各子区间上一阶、二阶导函数的符号，确定出函数的极值点与拐点详解】322311()133111()33dttdytdxtdtt，2222231()41(1)tdd yttdxdxt7 令0dydx，解得1t，1t，由于2121|02td ydx，所以当1t时，即53x时，函数取极小值13y；2121|02td ydx，所以当1t时，即1x时，函数取极大值1y；令220d ydx，解得0t，当0t时，220d ydx；当0t时，220d ydx又当0t时，1(,)3x，所以曲线( )yy x的凹区间是1(,)3；当0t时，1(,)3x，所以曲线( )yy x的凸区间是1(, )3，且点1 1( ,)3 3是曲线( )yy x的拐点17、 （本题满分9 分）设(,( )zf xy yg x其中函数f具有二阶连续偏导数，函数( )g x可导， 且在1x处取得极值(1)1g，求211xyzx y【分析】 考查多元抽象复合函数求二阶偏导数。

使用复合函数链式法则求出二阶混合偏导数注意题设中的条件“函数( )g x可导，且在1x处取得极值(1)1g” ，对于可导函数( )g x而言，这意味着(1)0g详解】12zy fy gfx21111222122()()zfyxfg fgfy gxfg fx y因为函数( )g x可导，且在1x处取得极值(1)1g，所以(1)1g，(1)0g从而21111121(1,1)(1,1)(1,1)xyzfffx y18、 （本题满分10 分）设函数( )yy x具有二阶导数，且曲线:( )lyy x与直线yx相切于原点，。