数字信号处理 黄海 课件第七章--滤波器设计方法.ppt

第七章第七章 滤波器设计方法滤波器设计方法Filter Design Techniques7.0 引言引言滤波器：滤波器：一种特别重要的线性时不变系统一种特别重要的线性时不变系统 线性时不变系统线性时不变系统选频滤波器：选频滤波器：对信号的频率成分进行选择（通过或拒绝）的对信号的频率成分进行选择（通过或拒绝）的系统系统滤波器的广义定义：滤波器的广义定义：能对某些频率进行修正的能对某些频率进行修正的系统系统两点说明：两点说明：（1）重点讨论）重点讨论选频滤波器选频滤波器设计设计 - 设计方法具有广泛应用价值设计方法具有广泛应用价值（2）滤波器是因果的）滤波器是因果的 （作一些修正可以得到非因果滤波器）（作一些修正可以得到非因果滤波器）滤波器内容包括：滤波器内容包括：（1）滤波器设计）滤波器设计（2）滤波器实现（结构、算法）滤波器实现（结构、算法）- 第六章第六章滤波器设计的步骤：滤波器设计的步骤：（1）给出系统所要求特性的技术指标）给出系统所要求特性的技术指标（频域）（频域）（2）用因果离散时间系统逼近这些技术指标）用因果离散时间系统逼近这些技术指标滤波器滤波器 - 离散时间系统离散时间系统 数字滤波器数字滤波器 （digital filters）对对连续时间信号连续时间信号进行进行离散时间滤波离散时间滤波的基本系统：的基本系统：技术指标（有效连续和离散时间滤波器）：技术指标（有效连续和离散时间滤波器）：频域的技术指标频域的技术指标如图所示连续与离散时间滤波器的等效条件：如图所示连续与离散时间滤波器的等效条件：输入带限；采样频率避免混叠输入带限；采样频率避免混叠即：即：有效连续滤波器指标有效连续滤波器指标 （转换为）（转换为） 离散滤波器指标离散滤波器指标 - =T离散滤波器的特性：离散滤波器的特性：例例7.1 离散时间滤波器指标的确定离散时间滤波器指标的确定低通离散时间滤波器：对连续时间信号进行低通滤波低通离散时间滤波器：对连续时间信号进行低通滤波采样频率为采样频率为10000样本样本/秒，即秒，即10000 Hz （10 kHz），（），（T= 10-4s）图示系统的特性：图示系统的特性：（1）在频带在频带02(2000)内内,增益增益|Heff(j)|应当在应当在单位幅度单位幅度0.01之内之内（2）在频带在频带 2(3000)内内,增益增益|Heff(j)|应当不大于应当不大于0.001|Heff(j)|的指标如图所示：的指标如图所示：图中的具体参数为：图中的具体参数为：理想的通带增益为理想的通带增益为1通带增益：通带增益：1+1 1-1 阻带增益：阻带增益：0 2以分贝表示：以分贝表示：相应的相应的离散时间滤波器离散时间滤波器指标（图）：指标（图）：与上图基本相同，以归一化频率：与上图基本相同，以归一化频率：=T， 0 其余频段：周期性导出其余频段：周期性导出相应的通带幅度：相应的通带幅度：其中其中1 = 0.01p= 2(2000)10-4 = 0.4 - 通带截止频率通带截止频率阻带幅度：阻带幅度：2 = 0.001s= 2(3000)10-4 = 0.6 - 阻带截止频率阻带截止频率实际可实现性实际可实现性 - 对理想滤波器的逼近对理想滤波器的逼近 - 过渡带（过渡带（ s - p ）从通带从通带光滑光滑过渡到阻带。

虚线表示实际滤波器的幅度响应过渡到阻带虚线表示实际滤波器的幅度响应实际数字滤波器设计，考虑到：实际数字滤波器设计，考虑到：（1）实际应用中的离散时间信号并不都是由连续时间信号导出；）实际应用中的离散时间信号并不都是由连续时间信号导出；（2）离散时间系统的讨论，采样周期无影响（归一化频率）离散时间系统的讨论，采样周期无影响（归一化频率）滤波器设计滤波器设计 - 离散频率变量离散频率变量表示的技术指标（表示的技术指标（域指标）域指标）主要的技术指标：主要的技术指标：幅度响应（幅度响应（域）域）相位响应相位响应 - 不是非常重要（满足滤波器隐含的稳定性和因果性不是非常重要（满足滤波器隐含的稳定性和因果性要求；要求；FIR滤波器的线性相位要求）滤波器的线性相位要求）具体的滤波器设计：具体的滤波器设计：确定符合频率指标要求的确定符合频率指标要求的系统函数（频率响应、脉冲响应）系统函数（频率响应、脉冲响应）即：即：H(z)，H(ej)，hn - 函数逼近问题函数逼近问题对于对于IIR滤波器滤波器 - 利用利用z的有理函数逼近的有理函数逼近对于对于FIR滤波器滤波器 - 多项式逼近多项式逼近7.1 由连续时间滤波器设计离散时间由连续时间滤波器设计离散时间IIR滤波器滤波器IIR滤波器的传统设计方法：滤波器的传统设计方法：连续时间滤波器连续时间滤波器 (变换变换) 满足预定指标的离散时间滤波器满足预定指标的离散时间滤波器理由理由：连续：连续IIR滤波器设计方法成熟，简单（公式），方便，快捷滤波器设计方法成熟，简单（公式），方便，快捷滤波器设计技术指标：滤波器设计技术指标：离散（滤波器）频率域指标离散（滤波器）频率域指标设计过程：原型连续时间滤波器设计过程：原型连续时间滤波器(变换变换) 离散时间滤波器离散时间滤波器即：即：Hc(s) (变换变换) H(z) s域域z域的变换或映射域的变换或映射检验：检验：Hc(j) H(ej)首先需要：首先需要：离散（滤波器）频率域指标离散（滤波器）频率域指标 （转换）原型连续（滤波器）频率域指标（转换）原型连续（滤波器）频率域指标设计（变换）的两个基本要求设计（变换）的两个基本要求：（1）频率响应的一致性频率响应的一致性，即，即s平面虚轴（代表连续频率变量）必须平面虚轴（代表连续频率变量）必须映射到映射到z平面单位圆（代表离散频率变换），保持频率与频率对平面单位圆（代表离散频率变换），保持频率与频率对应；应；（2）因果稳定性因果稳定性，即因果，即因果稳定的稳定的Hc(s)因果稳定的因果稳定的H(z)，亦即亦即s左半平面映射到左半平面映射到z平面单位圆内平面单位圆内连续时间滤波器的主要类型（设计方法）（附录连续时间滤波器的主要类型（设计方法）（附录B）u巴特沃兹滤波器（巴特沃兹滤波器（Butterworth filter）u切比雪夫滤波器（切比雪夫滤波器（Chebyshev filter）u椭圆滤波器（椭圆滤波器（elliptic filter）由模拟滤波器设计由模拟滤波器设计IIR数字滤波器的主要方法：数字滤波器的主要方法：u脉冲响应不变法（脉冲响应不变法（impulse invariance）u阶跃响应不变法阶跃响应不变法（step invariance）u双线性变换法（双线性变换法（bilinear transformation）7.1.1 滤波器设计的脉冲响应不变法滤波器设计的脉冲响应不变法连续滤波器连续滤波器 （变换）（变换） 离散滤波器离散滤波器hc(t), Hc(s) hn, H(z)脉冲响应不变法：脉冲响应不变法：通过通过hc(t) hn （离散，即保持不变）（离散，即保持不变）实现实现 Hc(s) （连续系统）（连续系统） H(z) （离散系统）的变换（离散系统）的变换即：即： hn = Tdhc(nTd) Td -采样间隔采样间隔H(z)hn的的z变换，设计完成？变换，设计完成？给定的滤波器设计指标给定的滤波器设计指标 - 滤波器的频率响应滤波器的频率响应设法方法必须考虑：设法方法必须考虑： Hc(j) H(ej) 之间的联系之间的联系根据以前的采样讨论，时域离散根据以前的采样讨论，时域离散 频域关系，可以得到：频域关系，可以得到：如果连续时间滤波器是带限的，则有如果连续时间滤波器是带限的，则有两者之间关系：两者之间关系：频率轴的线性关系频率轴的线性关系，即，即|时，时， = Td实际情况：任何连续时间滤波器都不能是完全带限的（实际情况：任何连续时间滤波器都不能是完全带限的（即使低通即使低通） 因此，混叠存在。

如图，因此，混叠存在如图，方法的实用性（逼近）：方法的实用性（逼近）：如果如果Hc(j) 高频部分趋近于零，则混叠很高频部分趋近于零，则混叠很小，可以忽略小，可以忽略 - - 逼近逼近 由由H(ej) 指标指标 Hc(j) 指标：指标： = /Td 确定出确定出Hc(j) Hc(s)，再由脉冲响应不变法，由再由脉冲响应不变法，由Hc(s) 得到得到H(z) 具体的方法（直接，不通过具体的方法（直接，不通过hc(t) hh的过程）：的过程）：设连续时间滤波器的传递函数具有一阶极点的形式（不失一般性）：设连续时间滤波器的传递函数具有一阶极点的形式（不失一般性）：对应的脉冲响应：对应的脉冲响应：根据脉冲响应不变（采样），有根据脉冲响应不变（采样），有作作z反变换，得到离散时间滤波器的系统函数：反变换，得到离散时间滤波器的系统函数：比较连续时间滤波器的系统函数：比较连续时间滤波器的系统函数：可见，可见，(1) s平面中的极点平面中的极点s = sk变换成变换成z平面中的极点平面中的极点(2) 除了比例系数除了比例系数Td外，完全相同外，完全相同表示：可以通过极点的对应关系表示：可以通过极点的对应关系 直接由直接由Hc(s) 得到得到H(z) 几点说明：几点说明：（1）Hc(s)因果稳定（极点在左边平面）因果稳定（极点在左边平面） H(z) 因果稳定（极点在因果稳定（极点在单位圆内），因为单位圆内），因为 Resk0，；，；|zk | 1（2）s平面与平面与z平面只有极点有对应关系，平面只有极点有对应关系， s平面与平面与z平面之间没有平面之间没有这种对应关系（这种对应关系（唯一唯一），（如系统的零点就没有这种对应关系），（如系统的零点就没有这种对应关系）表示脉冲响应不变法，表示脉冲响应不变法， 其其s平面到平面到z平面的映射关系（变换）并非是平面的映射关系（变换）并非是 的简单映射关系（的简单映射关系（单映射单映射）。

不能直接代入不能直接代入Hc(s)得到得到H(z)例例7.2 用脉冲响应不变法设计用脉冲响应不变法设计Butterworth滤波器滤波器设计一低通离散时间滤波器，步骤：设计一低通离散时间滤波器，步骤：（1）由低通离散时间滤波器指标求出低通连续时间滤波器指标）由低通离散时间滤波器指标求出低通连续时间滤波器指标（2）确定相应的连续时间）确定相应的连续时间Butterworth滤波器滤波器（3）由脉冲响应不变法，求得所需的低通离散时间滤波器）由脉冲响应不变法，求得所需的低通离散时间滤波器第一步第一步，离散时间滤波器的技术指标：，离散时间滤波器的技术指标：说明：说明： 过程（过程（1）和过程（）和过程（3），），系数系数Td抵消，可选抵消，可选Td = 1， = 可得连续时间可得连续时间Butterworth滤波器滤波器的技术指标为：的技术指标为：由于由于Butterworth滤波器频率响应的幅度响应是单调的，则应滤波器频率响应的幅度响应是单调的，则应和和第二步第二步，Butterworth滤波器的幅度平方函数为：滤波器的幅度平方函数为：需确定出满足所需技术指标的参数需确定出满足所需技术指标的参数N和和c将上式带入指标式，并取等号，有：将上式带入指标式，并取等号，有：两个方程的解为：两个方程的解为：N = 5.8858和和c = 0.70474 取取N为整数为整数6，代入方程得，代入方程得c = 0.7032 （参数选取的原则：超过指（参数选取的原则：超过指标）标）幅度平方函数幅度平方函数 的的12个极点均匀分布在个极点均匀分布在半半径径c = 0.7032 的圆周上的圆周上取左半平面的三对极点：取左半平面的三对极点：说明说明s = j作为作为Hc(s)，即，即第三步，第三步，将上式作部分分式展开，进行将上式作部分分式展开，进行极点映射极点映射，得到，得到H (z),根据上式，可以直接用并联形式实现。

根据上式，可以直接用并联形式实现设计得到的离散时间系统（滤波器）的频率响应如图：设计得到的离散时间系统（滤波器）的频率响应如图：。