天天练11 导数的应用(二)一、选择题1．(2018·山东陵县一中月考)已知函数f(x)＝x2ex，当x＝[－1,1]时，不等式f(x)0，函数f(x)单调递增，且f(1)>f(－1)，故f(x)max＝f(1)＝e，则m>e.故选D.2．(2018·湖南郴州第二次质监)已知关于x的方程ln|x|－ax2＋＝0有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是( )A. B.C. D.答案：A解析：设f(x)＝ln|x|－ax2＋，则f(x)为偶函数，函数f(x)有4个零点等价于函数f(x)在区间(0，＋∞)有两个零点．若a≤0，当x>0时，函数f(x)＝ln|x|－ax2＋＝lnx－ax2＋在区间(0，＋∞)上单调递增，最多只有一个零点，由偶函数的性质可知，函数f(x)有两个零点，不符合题意．所以a>0.当x>0时，f(x)＝ln|x|－ax2＋＝lnx－ax2＋，f′(x)＝－2ax＝.由f′(x)>0得0，所以函数f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以f(x)max＝f＝ln＋1.函数f(x)在区间(0，＋∞)上有两个零点等价于f(x)max＝ln＋1>0，解得00(或f′(x)<0)在该区间上存在解集，得到关于参数的不等式，参变分离，确定参数的取值范围．(3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I上含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其对应区间的子集，从而求出参数的取值范围．4．函数f(x)＝lnx＋(a∈R)在区间[e－2，＋∞)上有两个零点，则a的取值范围是( )A. B.C. D.答案：A解析：令f(x)＝lnx＋＝0，x∈[e－2，＋∞)，得－a＝xlnx.记H(x)＝xlnx，x∈[e－2，＋∞)，则H′(x)＝1＋lnx，由此可知H(x)在[e－2，e－1]上单调递减，在(e－1，＋∞)上单调递增，且H(e－2)＝－2e－2，H(e－1)＝－e－1，当x→＋∞时，H(x)→＋∞，故当≤a<时，f(x)在[e－2，＋∞)上有两个零点，选A.5．设动直线x＝m与函数f(x)＝x3，g(x)＝lnx的图象分别交于点M，N，则|MN|的最小值为( )A.(1＋ln3) B.ln3C.(1－ln3) D．ln3－1答案：A解析：由f(x)和g(x)的图象可以看到|MN|就是两条曲线间的垂直距离，设F(x)＝f(x)－g(x)＝x3－lnx，求导得F′(x)＝3x2－，令F′(x)＞0，得x＞；令F′(x)＜0，得0＜x＜. 所以当x＝时，F(x)有最小值F()＝＋ln3＝(1＋ln3)，故选A.6．函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么f(x)的图象最有可能的是( )答案：A解析：根据f′(x)的图象知，函数y＝f(x)的极小值点是x＝－2，极大值点为x＝0，结合单调性知，选A.7．(2018·河南息县第一高级中学段测(五))函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间(－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是( )A．20 B．18C．3 D．0答案：A解析：对于区间(－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，等价于在区间(－3,2]上，f(x)max－f(x)min≤t.∵f(x)＝x3－3x－1，∴f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)．∵x∈(－3,2]，∴函数f(x)在[－3，－1]，[1,2]上单调递增，在[－1,1]上单调递减，∴f(x)max＝f(2)＝f(－1)＝1，f(x)min＝f(－3)＝－19，∴f(x)max－f(x)min＝20，∴t≥20，即实数t的最小值是20.8．(2018·山西大学附中期中)已知函数f(x)＝若m0时，函数y＝f(x)＝ln(x＋1)∈(0，＋∞)．所以00，函数g(t)单调递增．所以函数g(t)的最小值为g(ln2)＝eln2－2ln2＋1＝3－2ln2.因为g(0)＝e0＋1＝2，g(1)＝e－2＋1＝e－1<2，所以3－2ln2≤g(t)<2，即n－m的取值范围是[3－2ln2,2)．二、填空题9．(2018·长春质检)若函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是________．答案：解析：由题意知，y′＝3x2＋2x＋m.若函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则y′＝3x2＋2x＋m≥0恒成立，则对于方程3x2＋2x＋m＝0，Δ＝4－12m≤0，即m≥，故实数m的取值范围是.10．(2018·甘肃二诊)已知函数f(x)＝x2＋2ax－lnx，若f(x)在区间上是增函数，则实数a的取值范围为________．答案：解析：由题意知f′(x)＝x＋2a－≥0在上恒成立，即2a≥－x＋在上恒成立．又∵y＝－x＋在上单调递减，∴max＝，∴2a≥，即a≥.11．(2017·江苏卷，11)已知函数f(x)＝x3－2x＋ex－，其中e是自然对数的底数．若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是________．答案：解析：本题考查用导数研究函数单调性、函数单调性的应用．易知函数f(x)的定义域关于原点对称．∵f(x)＝x3－2x＋ex－，∴f(－x)＝(－x)3－2(－x)＋e－x－＝－x3＋2x＋－ex＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，又f′(x)＝3x2－2＋ex＋≥3x2－2＋2＝3x2≥0(当且仅当x＝0时，取“＝”)，从而f(x)在R上单调递增，所以f(a－1)＋f(2a2)≤0⇔f(a－1)≤f(－2a2)⇔－2a2≥a－1，解得－1≤a≤.方法小结 函数不等式的求解思路：(1)转化为f(φ(x))≤f(g(x))；(2)结合单调性转化为φ(x)≤g(x)或φ(x)≥g(x)．三、解答题12．(2017·新课标全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝lnx＋ax2＋(2a＋1)x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a<0时，证明f(x)≤－－2.解析：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋2ax＋2a＋1＝.若a≥0，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)单调递增．若a<0，则当x∈时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0.故f(x)在单调递增，在单调递减．(2)由(1)知，当a<0时，f(x)在x＝－取得最大值，最大值为f＝ln－1－.所以f(x)≤－－2等价于ln－1－≤－－2，即ln＋＋1≤0.设g(x)＝lnx－x＋1，则g′(x)＝－1.当x∈(0,1)时，g′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0.所以g(x)在(0,1)单调递增，在(1，＋∞)单调递减．故当x＝1时，g(x)取得最大值，最大值为g(1)＝0.所以当x>0时，g(x)≤0.从而当a<0时，ln＋＋1≤0，即f(x)≤－－2.。
