信号与系统chap3.ppt

2017/8/15,第3章 连续信号与系统的频域分析,3.0 引言 3.1 信号的正交分解 3.2 周期信号的傅里叶级数 3.3 周期信号的频谱 3.4 非周期信号的傅里叶变换 3.5 傅里叶变换的性质 3.6 周期信号的傅里叶变换 3.7 连续信号的抽样定理 3.8 连续系统的频域分析,2017/8/15,3.1 信号的正交分解,3.1.1 矢量的正交分解1. 正交矢量,图 3.1-1 两个矢量正交,两矢量V1与V2正交时的夹角为90°即两正交矢量的点积为零，,矢量点积,2017/8/15,2. 矢量的分解,平面矢量的分解,在平面空间中，相互正交的矢量V1与V2构成一个正交矢量集（完备的正交矢量集）在平面空间中的任一矢量V都可以精确地表示为V1与V2 的线性组合，如图所示，即,式中，V1·V2=0,2017/8/15,推广到n维空间：由n个相互正交的矢量组成一个n维的矢量空间，而正交矢量集{V1, V2, …，Vn}为n维空间的完备正交矢量集　　n维空间的任一矢量V，可以精确地表示为这n个正交矢量的线性组合， 即,式中，Vi·Vj=0 (i≠j)cr : 第r个分量的系数,2017/8/15,3.1.2 信号的正交分解,类似于两个矢量的正交，两个实函数g1(t)和 g2(t) 满足 ：,称g1(t)与 g2(t) 正交，正交区间为(t1, t2)；否则称它们不正交。

2017/8/15,即任意信号f(t)在区间(t1, t2)内可由组成信号空间的n个正交函数的线性组合近似表示为： f(t)≈c1g1(t)+c2g2(t)+…+cngn(t) 若正交函数集是完备的， 则： f(t)=c1g1(t)+c2g2(t)+…+cngn(t)+…,若函数集{gi(t)}在区间(t1，t2)内, 且函数g1(t)，…，gn(t)满足:,则这个函数集就是正交函数集,2017/8/15,定理 3.1-1 设｛gi(t)｝在(t1, t2)区间上是关于某一类信号 f(t)的完备的正交函数集，则这一类信号中的任何一个信号 f(t)都可以精确地表示为｛gi(t)｝的线性组合， 即,式(3.1-14)称为正交展开式，有时也称为广义傅里叶级数3.1-14),(3.1-15),定理 3.1-2 在信号正交展开条件下，有：,(3.1-16),2017/8/15,3.2 周期信号的傅里叶级数,3.2.1 三角形式的傅里叶级数,三角函数集｛cos nΩt, sin nΩt|n=0,1,2,…｝是一个正交函数集，正交区间为(t0, t0+T)。

这里T=2π/Ω是各个函数cos nΩt，sin nΩt 的周期三角函数集正交性的证明可利用如下公式：,2017/8/15,正交三角函数集可具体写为：,此正交函数集是完备的正交函数集　　将一周期为T的周期信号表示为这个正交函数集中各函数的线性组合2017/8/15,加权系数：,2017/8/15,而,2017/8/15,例 3.2-1 求图示信号的傅里叶级数展开式,解：,即：信号f(t)的直流分量为a0/2=E/22017/8/15,式中Ω=2π/T，所以an=0所以f(t)的傅里叶级数展开式为：,n为奇数,2017/8/15,例：偶函数（纵轴对称信号）fT(t)=fT(-t),2017/8/15,例　奇函数（原点对称信号）fT(t)=-fT(-t),2017/8/15,例　偶谐函数（半波重迭信号） fT(t)=f(t±T/2),半波重叠周期信号只含有正弦与余弦的偶次谐波分量，而无奇次谐波分量2017/8/15,该信号含有正弦各次谐波分量，直流分量2017/8/15,例　奇谐函数（半波镜像信号）fT(t)=-f(t±T/2),半波镜像周期信号只含有正弦与余弦的奇次谐波分量，而无直流分量与偶次谐波分量。

2017/8/15,3.2.2 指数形式的傅里叶级数,式中，T=2π/Ω为指数函数的公共周期，m、n为整数　　因此指数函数集{ejnt，n为整数}在区间(t0, t0+T)为正交函数集 当n取遍所有整数时，指数函数集{ejnt，n=0,1, 2 ,…} 为一完备的正交函数集所以，任意函数f(t)可在区间(t0, t0+T)内用此函数集表示为：,2017/8/15,一般来说Fn亦为一复数，即:,,2017/8/15,3.3 周期信号的频谱,3.3.1 周期信号的频谱　　　在信号的复振幅　　　为nΩ的实函数的特殊情况下，其复振幅与变量(nΩ)的关系也可以用一个图绘出2017/8/15,例 3.3-1,试画出f(t)的振幅谱和相位谱解: f(t)为周期信号，题中所给的f(t)表达式可视为f(t)的傅里叶级数展开式由,可知，其基波频率Ω=π(rad/s)，基本周期T=2 s，ω=2π、3π、 6 π分别为二、 三、六次谐波频率而且,其余,2017/8/15,信号的频谱 (a)振幅谱； (b) 相位谱,2017/8/15,信号的双边频谱(a) 振幅谱； (b) 相位谱,,2017/8/15,2017/8/15,,3.3.2 周期信号频谱的特点,以周期矩形脉冲信号为例讨论周期信号频谱的特点。

2017/8/15,为得到周期矩形脉冲信号的频谱，先求其傅里叶级数的复振幅定义取样函数为,2017/8/15,周期矩形脉冲信号的复振幅:,,2017/8/15,由图看出，此周期信号频谱具有以下几个特点： (1) 离散性，该频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以称: 不连续谱或离散谱  (2) 谐波性，该频谱的每一条谱线只出现在基波频率Ω的整数倍频率上  (3) 收敛性，该频谱的各次谐波分量的振幅虽然随nΩ的变化有起伏变化，但总的趋势是随着nΩ的增大而逐渐减小当nΩ→∞时，|Fn|→02017/8/15,周期矩形信号τ值变化对频谱的影响,τ=T/5,τ=T/10,2017/8/15,周期矩形信号T值变化时频谱的变化,T=5τ,T=10 τ,2017/8/15,利用帕塞瓦尔定理(式(3.1-16)),3.3.3 周期信号的功率,周期信号的功率-----周期信号在1Ω电阻上消耗的平均功率 对于周期信号 f(t) ，其平均功率均为 :,而,物理意义：任意周期信号的平均功率等于信号所包含的直流、基波以及各次谐波的平均功率之和2017/8/15,EXERCISE (P142)3.6（d）3.83.10,2017/8/15,3.4 非周期信号的连续时间傅里叶变换,周期为T、宽度为t的周期矩形脉冲的Fourier系数为,各频率分量的能量仍按一定的比例分布。

2017/8/15,3.4.1 傅里叶变换,设有一个周期信号f(t)，将其展开成指数形式的傅里叶级数,而,当T 时，Fn 0，若给上式两端同乘以T，则有：,对于非周期信号，重复周期T趋于无限大，谱线间隔趋于无穷小量dω，而离散频率nΩ变成连续频率ω2017/8/15,在这种极限情况下，Fn趋于无穷小量，但 趋于有限值，且为一个连续函数，通常记为F(jω)，即：,称F(jω)为非周期信号 f(t) 的频谱密度函数正变换,2017/8/15,3.4.2 非周期信号的频谱函数,由非周期信号的傅里叶变换可知:,频谱函数F(jω)一般是复函数，记为：,将F(ω)~ω的关系曲线称为非周期信号的幅度频谱 (注：F(ω)并不是幅度!)将φ(ω)~ω曲线称为相位频谱，它们都是ω的连续函数2017/8/15,f(t)为实函数时，根据频谱函数的定义式可得:,式中：,,2017/8/15,利用上述关系，可得到以下结论：当 f(t)是实函数时： (1) 若f(t)为t的偶函数 [ f(t)=f(-t)]，则 f(t)的频谱函数F(jω)为ω的实函数， 且为ω的偶函数。

 (2) 若f(t)为t的奇函数 [ f(-t)=-f(t)]，则 f(t)的频谱函数F(jω)为ω的虚函数，且为ω的奇函数,2017/8/15,非周期信号的傅里叶变换表示式也可改写成三角函数形式，即：,若f(t)是实函数，据F(ω)、(ω) 的奇偶性，有：,非周期信号也可以分解成许多不同频率的正弦分量 基波频率趋于无穷小量包含了所有的频率分量 振幅趋于无穷小只能用密度函数F()来表述各分量的相对大小2017/8/15,3.4.3 典型信号的傅里叶变换,解： 门函数gτ(t)可表示为：,例3.4-1 门函数gτ(t) ，其宽度为τ，高度为1求其频谱函数2017/8/15,图 3.4-1 门函数及其频谱,门函数的频谱,门函数,幅度谱,相位谱,,2017/8/15,例 3.4-2 求指数函数f(t)的频谱函数解,振幅频谱,相位频谱,2017/8/15,例 3.4-5 求单位冲激函数δ(t)的频谱函数解,δ(t)中包含了所有的频率分量，而各频率分量的频谱密度都相等2017/8/15,例 3.4-6 求直流信号”1”的频谱函数解 直流信号”1”可表示为,利用δ(t)与 “1”构成傅里叶变换对的关系，可得：,因此：,即：,2017/8/15,例 3.4-7 求符号函数Sgn(t)的频谱函数。

解：对符号函数直接按定义式无法求得所需结果当→0时，其极限为符号函数Sgn(t)用令当→0的极限的方法来求得Sgn(t)的频谱函数2017/8/15,2017/8/15,例 3.4-8 求阶跃函数ε(t)的频谱函数从而ε(t)的频谱函数:,2017/8/15,表 3.1 常用傅里叶变换对（ P 111）,2017/8/15,续表,2017/8/15,例 3.4-3 求图 3.4-3(a)所示双边指数函数的频谱函数解,2017/8/15,EXERCISE P142-1433.5 (a)3.6 (d) 3.11,2017/8/15,3.5 傅里叶变换的性质,按傅里叶变换的定义，一个非周期信号可以表示为指数函数的积分， 即:,时间函数f(t)与频谱函数F( jω) 存在一一对应的关系，记为 ：,2017/8/15,1. 线性,若,设a1, a2为常数，则有：,例 3.4-8,2017/8/15,2. 时移性若f(t)  F(jω)， t0为实常数(可为正或负)，则有：,证明：,2017/8/15,例 3.5-1 求图 3.5-1(a)所示信号的频谱函数解：,,,2017/8/15,,,2017/8/15,3. 频移性,2017/8/15,频谱搬移的原理是将信号f(t)乘以载波信号cosω0t (sinω0t ) 因为：,所以有：,该关系式也称为调制定理,2017/8/15,1,1,1,2017/8/15,,例 3.5-2 求高频脉冲信号f(t)的频谱。

频谱,由调制定理,,,解: 图示信号f(t)可以表述为门函数gτ(t)与cosω0t 相乘，即： 　　　　　　　f(t) ＝gτ(t) cosω0t　　因为:,2017/8/15,4. 尺度变换,证 ：将 f(at) 代入傅里叶正变换的定义式，有:,当a>0时：,当a<0时：,综合有：,2017/8/15,例： 信号的尺度变换,－0.1,0.1,2017/8/15,5. 对称性,证：由傅里叶反变换的关系式，有,令x＝-t，则,,2017/8/15,,例如,另外 (t)  1,利用对称性，有: 1  2(),。