2020年全国硕士研究生考试数学（三）真题（含解析）.pdf

2020年全国硕士研究生招生考试数学(三)(科目代码：303)一、选择题(18小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的，请将所选项前的字母写在题后的括号内.)(1) 设 1口 心 = b ,则 lim sinfQ) sina =().x-a x a x-*a 3C a(A)6sin a (B)6cos a (C)6sin /(a )iIn I 1 4- rr I(2) 函数心)=二 的第二类间断点的个数为(e 1) (j? 2)(A)l (B)2 (03(3) 设奇函数心)在(-00,-1-00)上具有连续导数，则( ).(A) f cos /(/)+ /(Olldr 是奇函数J 0(E)cos /(i)+/(Od 是偶函数J 0(C) cos/(/) +y(t)d/ 是奇函数J 0(D) cos 是偶函数J 0(D)bcos /(a).(D)4(4) 设幕级数2)的收敛区间为(一2,6),则工a”Q + l)2n的收敛区间为( ).n = n = 1(A)(-2,6) (B)(-3,l)(0(-5,3) (D)(- 17,15)(5) 设4阶矩阵A = (a“)不可逆,a*的代数余子式A12丰O,aj ,a2 ,a3 ,a,为矩阵A的列向量 组,A*为A的伴随矩阵，则方程组A*X= 0的通解为( ).(A) X=1a1 +2a2 +3a3,其中 kx,k2,k.为任意常数(B) X=1a1 + k2a2+k3a4,其中 k,k2,k3 为任意常数(C) X=bS +展as +匕。

4,其中紅,k2,k3为任意常数(D) X =kia2 k2a3 +怂4,其中 ki ,k2k3 为任意常数(6) 设A A为3阶矩阵,a,a】，a?为A A的属于特征值1的线性无关的特征向量,as为A的属于特征I1 值一1的特征向量，则满足P P_1_1AP=AP= 0 -1 0的可逆矩阵卩为( ).o 0 12020年全国硕士研究生考试数学三真题第 1 页，共 13 页(A) (a j a a 3 3 ,a,a 2 2, , a a 3 3) ) (B) (a+ ct2，a2， a 3)(C) (a 1+ a3, a3 ,a2) (D)(a T + a2 a3,a2)(7) 设A,B,C为三个随机事件，且PC A) =P() = P(C) =,P(AB) =O,P(AC) =P(BC) = 2，4 12则A,B,C中恰有一个事件发生的概率为( ).3 2 1 5(A) Z (B) T (C) 7 (D) 12(8) 设随机变量(X,Y)服从二维正态分布N(0,0；1,4； - ，则下列随机变量中服从标准正态分布且与X相互独立的是( ).(A)啤(X + Y) (B)尝(X 丫)5 5(C) y(X +Y) (D) y(X-Y)二、填空题(914小题，每小题4分，共24分.请将答案写在题中的横线上.)(9) 设 z = arctanRy + sin(z + 了),贝0 dz | (0,)= _.(10) 曲线jc y + e2iy = 0在点(0, 1)处的切线方程为_.(H)设某厂家生产某产品的产量为2,成本C(Q)=100 + 13Q,该产品的单价为/ ,需求量 2,则该厂家获得最大利润时的产量为(12)设平面区域。

卜，夕)| b.(I )求a的值；(H)求正交矩阵Q.Q.2020年全国硕士研究生考试数学三真题第 3 页，共 13 页(21)(本题满分11分)设A A为2阶矩阵,P P = = (a(a ,Aa,Aa )，其中a a是非零向量且不是A A的特征向量. (I )证明：P P为可逆矩阵；(H)若A A2 2a a +Aa+Aa -6a-6a =0,=0,求P P l lAP,AP,并判断A A是否相似于对角矩阵.(22)(本题满分11分)设二维随机变量(X,Y)在区域D =(工，夕)| 0 V夕V_芒上服从均匀分布，令_ (1, XY0, _ 1, X+Y0,1 =(0, X-YW0, 2 _(0, X+Yt与 PTs-t | T 5,其中 s 0,t 0；(D)任取个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为丿2,，几，若加已知，求0 的最大似然估计值丄2020年全国硕士研究生考试数学三真题第 4 页，共 13 页2020年数学(三)真题解析一、选择题(1) 【答案】(B).【解】 由lim - =b得lim/Crr ) =o x 一 Z e 一 1 Ze由/(I + 0) = OO得攵=1为第二类间断点； 由Iim/(J?) =00得鼻=2为第二类间断点，应选(C).Z f 2(3) 【答案】(A).【解】 因为于(工)为奇函数，所以十(工)为偶函数，又因为cos y(/)+ /(/)为偶函数，所以cos /(/)+ y(t)d/为奇函数，应选(A).J 0方法点评：关于函数、函数的导数、函数的原函数奇偶性之间的关系如下：(1) 设/)可导且为奇函数(或偶函数)，则_fQ)为偶函数(或奇函数)；(2) 设yCr)为奇函数，则fd 的任何一个原函数都是偶函数；(3) 若/(e)为偶函数，则f O 的原函数不一定是奇函数，但F(z)= f(t)dt 一定为J 0奇函数.(4) 【答案】(B).【解】 由工力”(工一2)的收敛区间为(一2,6)得其收敛半径为R =4,n = 1再由(工+1)的收敛半径与 2)相同得工a”Q +1)的收敛半径为n=1 n=1 n=1R =4,从而工a”(z+l)2的收敛半径为R。

2,故 ”(工+1)2的收敛区间为n=l n=l2 Vh +1 V 2,即(一3,1),应选(E).(5)【答案】(C).a 11a 12a 13a 14a 21a 22a 23a 24【解】令人=a 31a 32a 33a 34041a 42a 43a 44,2020年全国硕士研究生考试数学三真题第 5 页，共 13 页a 11a 13a 14因为A】？ HO,所以严21a 3iSia 23a 33S324a 34可逆，从而a 21a 23a 24Q44a 3ia 33a 34的秩为3,即1?3,4线性0 41a 43Q 44无关，应选(C).(6)【答案】(D).【解】 由 Aa 1 = =： ： u u 1 , Aa 2 a 2, Aa 3 a 3 得A (a! + a2) )=a! + a2 ( a3) = ( a3) ,Aa2 =a2,a 9 Act 2令 P = (a! +a2, a3 ,a2),则 APAP =P=PI100I10 00-1 0，即 pT= 0-1 0 ,应选(D)001Z00 J(7)【答案】(D).【解】PCABC) =P(A B +C) =P(A) -P(AB +AC)= P(A) P(AE) -P(AC) +P(ABC)=丄 411211 _ 112 _6P(ABC) -P(B A+C) =P(B)P(AB+BC)= P(B) P(AB) P(BC) +P(ABC)= 4PCABC) =P(C -A +B) =P(C) -P(AC 4-BC)1 2 1=P CC) - P (AC) - P (BC) P CABC) - - = ,4 12 12- - 1 i 1 r故所求概率为PCABO+PCA BC)+PCA BC) = 士 + 士 +為=爲,应选(D). 6 6 12 12（8）【答案】（C）.【解】由（X,Y）N（0,0；l,4；）得X X N(0,l),Y N(0,4),且 “丫= E(X +Y) =0,D(X+Y) =yD(X) +D(Y) +2Cov(X,Y)=(1 + 4 + 2 (X) VD (Y) pxy)= 19Cov(x,y(x+Y)= y Cov(X,X)+Cov(X,Y)=y D(x)+0,应选（C）.2020年全国硕士研究生考试数学三真题第 6 页，共 13 页二、选择题(9)【答案】【解】(7t l)djr dy. dz y + cos(h + y )dzX + cos(z + y)3x 1 + 工夕 + sin(z + y )丁 1 + 工歹 + sin(_r + y) 了dzTt Ldy y =g 1.工+ y + e2xy =0两边对r求导得1 + + 2/ (jy + 尢ax 将工= 0,y= 1代入得学则JOX(10)【答案】【解】.(0,7t)= 19 故血 | (0,K)(o, ?t)=(it 一 1)djr 一 dy.=0,故切线方程为=1,0夕 + 1=(工一0),艮卩 y =x 1.(11)答案】&【解】 收益函数为R=pQ =带号3Q，利润函数为L-R-C =翳号-3Q- 100 13Q =豊号一16Q 100,一、 800(Q + 2) - 800Q “ 1600 16(0 + 2)L *厂飞-I(Q + 2)2(12)【答案】TV令 L(Q) =0 得 Q =8,因为当 Q 0；当 Q 8 时，L(Q) V 0, 故当产量Q=8时，利润最大.ln2 【解】所求的体积为2 x Ay + 7t4=TC 3 4a2 (13)答案】a丄 Z ： dy = TT+ 7T (in 2-=7TIn 2 1312 4j/2dj/ +0djy【解】4a01110-1a101 a0a1-11a100a0 a-11a001a-101a 11_ 10aa_ 1010-1a 1 a21a0a1011a-1=a1a_ 1-1a1 21 a-1a1 -a20V = Tt丄1-22 a0a=一 a0a= 4/ +a42020年全国硕士研究生考试数学三真题第 7 页，共 13 页o(14)【答案】【解】Y的可能取值为0,1,2,PY = 0 = pX=3S = 占k= k=l 厶PY = l =PX=3b + l =023&+1PY = 2 =PX=3b+2 =k = 0 k = 012 3怡+21 4 9故 E(Y)=0Xy + lXy + 2Xy =三、解答题(15)【解】因为所以1 = lim1 -n=Y-limna b “f8ln(l + 丄 nb n-*又因为limp所以1=一冇丘1111L.V n-*1_7丄Ti87? e=lim?2a b ”-* 8ln(1 + 7)12 n故If曲i解得。

i心(16)【解】由24y2 工=0y=0.112空=6,3x dyk = 0ee1187bnbng)12 n1n1n得丄Ts(f OO),112Z = 0 ,2x177273)et1-11neT丄32f _ 1 9m=48),当(z,;y) =(090)时 J = 0 ,B = 1 ,C = 0,因为AC-B2 VO,所以点(0,0)不是函数的极值点2020年全国硕士研究生考试数学三真题第 8 页，共 13 页当(工 9夕)=(_ 9 _ )时 9A = 1 = 1 C = 4 ? b 1Z /因为AC-B2 =3 0且A0,所以点(* ,言= + 8X古_存岂 216为函数fCx,y)的极小值点，极小值为1”丄丄八 6 12(17)解】(I )原方程的特征方程为A2 + 2A + 50,特征根为心.2= 1 士 2i, 原方程的通解为y = ex (Ci cos 2力 + C2 sin 2工)9yf = e_J (C cos + C2 sin 2x ) + e，( 2C)sin 2z + 2C2 cos 2工)9 由 /(0) =1，十(0) = 1 得(n)an =+oo r-/(j: )dj?=” J：*+Ci = 19C2 = 0 9 /(jc ) = e_J cos 2oc .e_r cos 2j? dj? = ICi J H7Te_T d(sin 2工)=esin 2z2一丄I4 J”=-(0 e_”)-a” ,4 4nit1 r+ _ e sin drnn+oo+亍nit Ct + 8e_z d(cos 2z ) =-e_J cos 2工4+8WK 4l-|-ooe_r cos 2jc d。